Написанные билеты, страница 9

Êðîìå òîãî, â ñèëó ìàëîñòè âåêòîðà ~r ïî ñðàâíåíèþ ñ ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêî óñðåäíåíèÿïëîñêèõ âîëíàõ |E00ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñ k áóäåò òàêæå ðàâíî íóëþ. Îñòàåòñÿ:~ 0 e−iωt , E~0 = E~ 0 0 e−i~kR~ 0m~r¨ + γm~r˙ + ω02 m~r = eEÄîìíîæàÿ ýòî íà çàðÿä è äåëÿ íà ìàññó:e2 ~ −iωt¨d~ + γ~r˙ + ω02 d~ = E0emÐåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó áóäåì èñêàòü â ÷àñòíîì âèäå, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî óñòàíîâèâøèåñÿêîëåáàíèÿ. Òîãäà:~0e2 ~e2 E~d~ = d~0 e−iωt => −ω 2 d~0 − γiω d~0 + ω02 d~0 = E0 => d0 =2mm(ω0 − ω 2 − iωγ)È, òàêèì îáðàçîì:2~0N e2ω02 − ω 2 + iωγEωγ~ 0 e−iωt = N e pP~ =Ee−i(ωt−Ψ) , Ψ = arctg 222222222222m ((ω0 − ω ) + ω γ )mω(ω0 − ω ) + ω γ0 −ωÎòêóäà òóò æå ñëåäóåò, ÷òî, âåêòîð ïîëÿðèçàöèè íå ñèíâàçåí â òî÷êå ñ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè, òàê êàê åñòü çàïàçäûâàíèå íà ôàçó Ψ.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàì èçâåñòíî, ÷òî:~ =E~ + 4π P~ => ε(ω) = 1 +ε(ω)E4πN e2eiΨpm(ω02 − ω 2 )2 − γ 2 ω 22eÌíîæèòåëü 4πN= ωp2 îêàçàëñÿ òàê âàæåí, ÷òî ïîëó÷èë ñîáñòâåííîå íàçâàíèå - ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà èëè ëåíãìþðmðîâñêàÿ ÷àñòîòà(â êâàäðàòå, surely). Ñ åå ïîìîùüþ âûðàæåíèå äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ïåðåïèñûâàåòñÿêàê:ωp2 (ω02 − ω 2 + iγω)ε(ω) = 1 + 2(ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2Ýòî è åñòü âûðàæåíèå äëÿ äèñïåðñèè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.3.21Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ìíèìîé ÷àñòè êîìïëåêñíîé ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñîñòîèò â ñâèäåòåëüñòâå íàëè÷èè äèññèïàöèè â ñðåäå.  ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ïîòîê â ñðåäå:ZZZZZ~Π=~σ dS < 0 =>div~σ dVSV=−!~~1~ ∂ ReB + ReE~ ∂ ReD≡−ReH4π∂t∂t!~~∗~~∗~ +H~ ∗ ) ∂ B + B + (E~ +E~ ∗) ∂D + D(H=∂t∂t~~~ ∂B − E~ ∂D−H∂t∂tc~ H]~ = c (Hrot~~ − Erot~~ = 1div[E,EH)div~σ =4π4π4π18π!=Ïðåäïîëàãàÿ äàëüøå ãàðìîíè÷íîñòü âñåõ âîëí:=−1 ~~ ∗ )(B~ ∗ − B)~ + (E~ +E~ ∗ )(D~ ∗ − D)~(H + H8πÒåïåðü ó÷òåì ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïðè÷åì çàôèãà÷èì ê äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ìíèìóþ ÷àòñü: ε =ε0 + iε001 ~~ ∗ )(H~ ∗ − H)~ + (E~ +E~ ∗ )((ε0 − iε00 )E~ ∗ − (ε0 + iε00 )E)~ =µ(H + H=−8π1 ~ ∗2 ~ 2~ ∗2 − E~ 2 ) − iε00 (E~ +E~ ∗ )2=−µ(H − H ) + ε0 (E8πÒåïåðü óñðåäíèì ýòó ôèãíþ ïî ïåðèîäó âîëíû.

 ðåçóëüòàòå âñå êâàäðàòè÷íûå ïîëÿ óñðåäíÿòñÿ â íîëü, òàê êàê áóäóòñîäåðæàòü ìíîæèòåëè êîëåáàíèé íà óäâîåííîé ÷àñòîòå. Îñòàíåòñÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå:div~σ = −~E~∗iε00 E 2iε00 E=−8π8πÏðè ýòîì èíòãðàë ïî îáúåìó îò ýòîé âåëè÷èíû îòðàçèò îòêëîíåíèå ïîòîêà îò íóëÿ, ïðè÷åì äëÿ ïîëîæèòåëüíîé ε00îòêëîíåíèå áóäåò êàêèì íóæíî - îòðèöàòåëüíûì, à ñðåäà - äèññèïèðóþùåé. Èíà÷å - àíòèäèññèïèðóþùåé.

Åñëè æåäèññèïàöèÿ îòñóòñòâóåò, òî íå äîëæíî áûòü è ìíèìîé ÷àñòè.3.22Ôîðìóëû Êðàìåðñà-Êðîíèãà.Ôîðìóëû Êðàìåðñî-Êðîíèãà äåìîíñòðèðóþò ñâÿçü ìåæäó äåéñòâèòåëüíîé è êîìïëåêñíîé ÷àñòÿìè äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòè. Ìû óæå ïîëó÷èëè âûøå, ÷òî âåêòîð ïîëÿðèçàöèè íà÷èíàåò çàïàçäûâàòü ïî ñðàâíåíèþ ñ íàïðÿæåííîñòüþ ïðè ó÷åòå òîêà ñìåùåíèÿ, è ýòî â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå. ×òîáû çàïèñàòü îáùåå ñîîòíîøåíèå â ñèëó ïðèíöèïàïðè÷èííîñòè ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû èíäóêöèÿ ñêëàäûâàëàñü èç íàïðÿæåííîñòåé âî âñå ïðåäøåñòâóþùèåìîìåíòû âðåìåíè ñ íåêîòîðûì âåñîì:Z ∞~ =E~ + 4π~ − τ )f (τ )dτDE(t0Ýòî ñîîòíîøåíèå ïðîñòî âûðàæàåò ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè. Âåñîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ, áûñòðîñïàäàþùàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, áåç îñîáåííîñòåé.

Òîãäà, ðàñêëàäûâàÿ âñ¼ ýòî â èíòåãðàë ôóðüå ïî âðåìåíè:Z +∞Z +∞Z +∞−iωt−iωtiωτ~~D(ω)edω =E(ω)e1 + 4πe f (τ )dτ−∞−∞0Ñîîòâåòñòâåííî, â ñèëó åäèíñòâåííîñòè èíòåãðàëà ôóðüå, ïåðåïèñûâàåì:Z ∞Ziωτ~~~D(ω) = E(ω) 1 + 4πe f (τ )dτ = E(ω)ε(ω) => ε(ω) = 1 + 4π00Zε(z) − 1 = 4π0∞eizτ f (τ )dτ∞eiωτ f (τ )dτ×òîáû âçÿòü ýòîò èíòåãðàë, èçó÷èì ïîáëèæå åãî ñâîéñòâà.

 ñèëó îñîáåííîñòåé ôóíêöèè f ó íåãî íåò ïîëþñîâ âåðõíåéïëîñêîñòè(Im(ω) > 0) íèãäå, â òîì ÷èñëå íà ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè.  ñàìîì äåëå, ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà íàõîäèò òàìçàòóõàþùóþ ýêñïîíåíòó.  ñâÿçè ñ ýòèì èíòåãðàë áóäåò áðàòüñÿ âñþäó, à èç-çà áûñòðîãî óáûâàíèÿ f - áóäåò áðàòüñÿäàæå íà ïðÿìîé Im(ω) = 0. Ó÷òÿ âñå ýòî, äàâàéòå ïîñ÷èòàåì ñëåäóþùèé èíòåãðàë:Zε(z) − 1dzI=C z−ωÃäå êîíòóð C îáõîäèò âñþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè è îáõîäèò òî÷êó z = ω . Ýòîò èíòåãðàëìîæíî ðàçáèòü íà ÷åòûðå êóñêà: îáõîä áåñêîíå÷íîñòè, îáõîä îñîáåííîñòè z = ω , è èíòåãðàë èç ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè äîîñîáåííîñòè è îò îñîáåííîñòè äî ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè. Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâûé èíòåãðàë çàíóëèòüñÿ, òàê êàê òàì åñòüêàê çàòóõàþùàÿ ýêñïîíåíòà, òàê è áûñòðî ñïàäàþùàÿ f .

Ïîëþñîâ â ïîëóïëîñêîñòè íåò, ïîýòîìó, ïî îñíîâíîé òåîðåìåòåîðèè âû÷åòîâ:Z 0Z ωZ +∞ε(z) − 1ε(z) − 1ε(ω + ρeiϕ ) − 1ρieiϕ dϕ=I=dz +dz + limρ→0 πz−ωρeiϕ−∞ z − ωωZ ωZ +∞ε(z) − 1ε(z) − 1=dz +dz − πi(ε(ω) − 1) = 0 =>z−ωz−ω−∞ωZ +∞ε(z) − 1πi(ε(ω) − 1) = Pdzz−ω−∞Ãäå áóêâà P Îçíà÷àåò âçÿòèå èíòåãðàëà â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ. Ïîäñòàíîâêà ìíèìîé è äåéñòâèòåëüíîé ïðîíèöàåìîñòåé äàåò Ôîðìóëû Êðàìåðñà-Êðîíèíãà:Z1 +∞ ε00 (z)dzε0 (ω) − 1 = Pπ −∞ z − ω1ε (ω) = Pπ00Z+∞1 − ε0 (z)dzz−ω−∞3.23Ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè ñâåòà â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå.Åñëè ó íàñ åñòü ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå, òî åå ñêîðîñòüþ ïðèíÿòî íàçûâàòü ñêîðîñòüïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû.

Óðàâíåíèé ýòîé ïîâåõðíîñòè:ωt − ~k~r = constÄèôôåðåíöèðóÿ åãî ïî âðåìåíè:ω − ~k(ω)~vf = 0 => vf =ωk(ω)Ïîñëåäíåå ñäåëàíî â ñèóë òîãî, ÷òî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü íàïðàâëåíà íîðìàëüíî ê âîëíîâîìó ôðîíòó. Òî åñòü ìû òîëüêî÷òî îïðåäåëèëè ôàçîâóþ ñêîðîñòü âîëíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìû èìååì íåêèé âîëíîâîé ïàêåò, òî â äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå åãî êîìïîíåíòû, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîãóò èìåòü ðàçíóþ ñêîðîñòü.  òàêîì ñëó÷àå, ÷òîáû îïèñàòü åãî äâèæåíèÿèñïîëüçóþò ïîíÿòèå ãðóïïîâîé ñêîðîñòè èëè ñêîðîñòè åãî ìàêñèìóìà. Âîëíîâîé ïàêåò:Zω0 +δΨ(~r, t) =Ψ(ω)e−i(ωt−~k(ω)~r)Zδdω =ω0 −δ~Ψ(ω0 + ξ)e−i(ω0 t+ξt−k(ω0 +ξ)~r) dξ−δÅñëè äèàïàçîí ÷àñòîò ìàë, ÷òîáû ëåæàùèå â íåì ôàçîâûå ñêîðîñòè ìàëî îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà, òî k ìîæíîðàçëîæèòü â ðÿä òåéëîðà â îêðåñòíîñòè ω0 , îãðàíè÷èâøèñü ëèíåéíûì ÷ëåíîì.

Ýòî äàåò:!!Z +δhihi~k∂~k∂~r)−iξ(t−~ t) =∂ωexp −iω0 t + ~k(ω0 )~r ≡ Ψ0 ω0 , ~t −~r exp −iω0 t + ~k(ω0 )~rΨ(R,Ψ(ω0 + ξ)e∂ω−δÎ÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ìàêñèìóì îãèáàþùåé â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè ñóòü:t−∂~k ~∂~k ~∂ωR = φmax => 1 −Vg = 0 => Vg =∂ω∂ω∂k(ω)Ïîñëåäíåå âåðíî òîëüêî âî âðåìÿ êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðà ïðîèçâîäíîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè.3.24Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòîìàãíèòíûõ âîëí â ðïîçðà÷íîé ñðåäå. Ñâÿçü âåêòîðîâ ïîëÿ, ÷àñòîòû è âîëíîâîãî âåêòîðà.Ðàññìîòðèì ìàêðîñêîïè÷åñêèå óðàâíåíèÿ â ñðåäå áåç çàðÿäîâ è òîêîâ:~ =0divD~ =0divB~1 ∂Bc ∂t~1 ∂D~ =−rotE~ =rotHc ∂tÀ çàòåì ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ïëîñêîé âîëíîé, ìåíÿþùåéñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:~ =E~ 0 e−i(ωt−~k~r) ; H~ =H~ 0 e−i(ωt−~k~r) =>E~ = ε(ω)E;~ divB~ = µH~ ≡ H,~ â èíòåðåñóþùåì íàñ ñëó÷àå.D~ = εdivE~ 0 e−i(ωt−~k~r) = εe−i(ωt−~k~r) (+i)(~k, E~ 0 ) = 0 => ε(~k, E~ 0) = 0εdivE~ = 0 => (~k, H~ 0) = 0divH~ 0 <=> [~k, E~ 0] = ω H~0~ 0 ] = − −iω Hi[~k, Ecc~ 0 => [~k, H~ 0 ] = − εω E~0~ 0 ] = ε (−iω)Ei[~k, HccÄàëüøå åñòü äâà ñëó÷àÿ.

Ïåðâûé: ε(ω) = 0 =>~ 0) = 0(~k, H~ 0] = 0[~k, H~ 0] = ω H~0[~k, Ec~ 0 = 0 =>Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ íåìåäëåííî äàþò H~ 0] = 0[~k, EÒî åñòü èìååì ïðîäîëüíûå âîëíû, íåâîçìîæíûå â âàêóóìå. Ïóñòü òåïåðü ε 6= 0, Òîãäà ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ìîæíîîïóñòèòü, òàê êàê îíè ñëåäóþò èç âòîðûõ äâóõ. Òîãäà:~ 0 ] = − εω E~0[~k, Hch hii22~ 0 => ~k, c ~k, E~ 0 = c ~k(~k, E~ 0) − E~ 0 c k 2 = − ck E~ 0 = − εω E~ 0 => k 2 − ε ω~0 = 0~ 0] = ω HE[~k, Ecωωωωcc2Òî åñòü äëÿ ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ íåîáõîäèìîk 2 (ω) =ω2ε(ω)c2Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü îòäåëüíî äëÿ äåéñòâèòåëüíî è ìíèìîé ÷àñòè, òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãîóðàâíåíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, êîìïëåêñíàÿ. Îòñþäà íåìåäëåííî:k 02 − k 002 =ω2 0εc2ω 2 00εc2Ýòî óðàâíåíèå çàâèñèò îò äâóõ îìäóëåé è îäíîã îóãëà ìåæäó âåêòîðàìè, òàê ÷òî îäèí èç ýòèõ ïàðàìåòðîâ îñòàåòñÿñâîáîäíûì.

Ýòî - óãîë. Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîðà êîëëèíåàðíû è áóäåì ðàáîòàòü â ýòîì êëþ÷å. Òîãäà, ââîäÿòàêóþ âåëè÷èíó n è òàêîé âåêòîð ~q: ~k = ~q ωc n:2k~0 k~00 =n2 = ε(ω) <=> n02 − n002 = ε0 ; 2n0 n00 = ε00Ðàçðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò:s√ε02 + ε002 + ε02s√ε02 + ε002 − ε0n00 =2n0 =Äëÿ íàøåãî êîýôôèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ. Ïðè ýòîì, êîíå÷íî æå, ïðîçðà÷íîñòü ñðåäû õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîéìíèìîé ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè è â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè: ε00 ε0 :√n0 = ε0 , n00 ≈ 0ÏÎÁÅÄÀ!!!!!.