Написанные билеты

1.1Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è èõ ôèçè÷åñêîå îáîñíàâàíèå. Ñèëà Ëîðåíöà.Äëÿ âûâîäà íàì ïîòðåáóåòñÿ ÷åòûðå ñ ïîëîâèíîé ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèÿ, óñòàíîâëåííûõ îïûòíûì ïóòåì:~ = qQ3R~ , R~ = ~r − r~0 . ~r ñîîòâåòñòâóåò çàðÿäó q , à r~0 ,a) Çàêîí Êóëîíà, â ìàòåìàòè÷åñêîì âèäå îòðàæåííûé: F~ = q ERñîîòâåòñòâåííî, çàðÿäó Q.b) Çàêîí Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà. Îí îïèñûâàåò ïðàâèëî, ñîãëàñíî êîòîðîìó ñîçäàþòñÿ òîêàìè â ïðîñòðàíñòâå~~ r − r~0 , è ~r ñîîòâåòñâóåò òî÷êå, â êîòîðîé~ = I[d~l,3R]ìàãíèòíûå ïîëÿ è â ìàòåìàòè÷åñêîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ êàê: HcR , R = ~ìû õîòèì óçíàòü âåëè÷èíó ïîëÿ, à r~0 - íàïðàâëåíèþ íà ýëåìåíò ëèíèè òîêà.r ,t)c) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.

À èìåííî: dρ(~= 0, òî åñòü îòñóòñòâèå âîçíèêíîâåíèÿ èçáûòêàdtêàêèõ-ëèáî çàðÿäîâ íà ïóñòîì ìåñòå.d) Çàêîí Ôàðàäåÿ, êîòîðûé ñâÿçàûâàåò ýëåêòðè÷åñêóþ èíäóêöèþ ñ èçìåíåíèåì ïîòîêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ:RRH∂~ S~ = −c Ed~ ~lHd∂tSLe) Áóäåò óêàçàíî òàì, ãäå îíî èñïîëüçóåòñÿ.Òàêæå íàì ïîòðåáóåòñÿ ïàðà-äðóãàÿ âåêòîðíûõ òîæäåñòâ. Âî-ïåðâûõ, òåîðåìû Ñòîêñà è Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññàäëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé:RRH ~ r~0 )dS~0 =~ d~l1) Ñòîêñ: S rotr0 A(A,L RRRRR~ r~0 dS~0 =~ r~0 )dV 02) Îñòðîãðàäñêèé-Ãàóññ: S AdivA(VÂñå îíè ñôîðìóëèðîâàíû äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé, ãäå Î-à òðåáóåò çàìêíóòîñòè S , à Ñòîêñ - çàìêíóòîñòè L. Òàêæå ïàðî÷êà òîæäåñòâ íà äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû:~ ≡ divgradA~ − ∆A~rotrotA~ ≡ 0, divrotA~≡0rotgradA∆1|~r − r~0 |= −4πδ(~r − r~0 )Ñî âñåì ýòèì â çàïàñå, ïðèñòóïèì. Äëÿ íà÷àëà âûâåäåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.

Äëÿ ýòîãîðàññìîòðèì ëþáîé îáúåì V è îãðàíè÷èâàþùóþ åãî çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S . Òîãäà ñóòü (c) ñâåäåòñÿ ê òîìó, ÷òîèçìåíåíèå ïîëíîãî çàðÿäà Q â îáúåìå V ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî çà ñ÷åò ïåðåíîñà ýòîãî çàðÿäà ÷åðåç ïîâåðõíîñòüS , à èìåííî:!ZZZZZZZZZ~0 (t), t)~0 , t) X ∂ρ ∂xiddρ(r∂ρ(rd000Q≡ρ(r~ , t)dV =dV =+dV 0 =dtdtdt∂t∂x∂tiVVVi!!ZZZZZZ∂ρ(r~0 , t)∂ρ(r~0 , t)0=+ div~v ρ dV ≡+ div~j(r~0 , t) dV 0∂t∂tVVÎòñþäà, ñîãëàñíî íàøåìó çàêîíó:ZZZV!∂ρ(r~0 , t)∂ρ(r~0 , t)+ div~j(r~0 , t) dV 0 = 0 =>+ div~j(r~0 , t) = 0∂t∂t∂ρ(r~0 , t)+ div~j(r~0 , t) = 0∂tÒåïåðü ïðåîáðàçóåì çàêîí Êóëîíà.

Äëÿ ýòîãî ñîâìåñòèì íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ çàðÿäîì q è ðàññìîòðèìïîòîê îò ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S , îãðàíè÷èâàþùóþ îáúåì V , ãäå íàõîäÿòñÿ âñå íàøè çàðÿäû:ρ(r~0 )(~r − r~0 ) 0dV|~r − r~0 |3VZZZZ ZZZρ(r~0 )(~r − r~0 ) 0 ~~EdS=dV dS|~r − r~0 |3SSV~ r) =E(~ZZZÐàññìîòðèì ïîâíèìàòåëüíåå ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, ïîìåíÿâ ìåñòàìè èíòåãðàëû è òåïåðü èíòåãðèðóÿ òîëüêîïî S:ZZZ Z ρ(r~0 ) ~r − r~0 , ~nρ(r~0 )(~r − r~0 )dS =dS =R3|~r − r~0 |SS~ ~n)dS = RdSsph(R,~Ïîñëåäíåå åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè ñ íîðìàëüþ ïî íàïðàâëåíèþ RR íà ðàññòîÿíèè R. Òàêîé ýëåìåíòìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ó÷àñòêîì ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, åñëè ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû îòñ÷èòûâàòü îò íóëÿ~ , à èìåííî:âåêòîðà R~ ~n dS = RdSsph = R3 dθdϕ sin θ ≡ R3 dΩR,dΩ - ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà.

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî îáðàòíî â èíòåãðàë:ZZ=Sρ(r~0 ) 3R dΩ = 4πρ(r~0 )R3Ïîñëåäíåå ñäåëàíî â ñèëó îäíîñâÿçíîñòè è çàìêíóòîñòè íàøåé ïîâåðõíîñòè. Òàêèì îáðàçîì:ZZZZZZZZ~~EdS= 4πρ(r~0 )dV 0 =divEdVSVVÏîñëåäíåå â ñèëó (2). Ïåðåîáîçíà÷èâ âî âòîðîì èíòåãðàëå ïåðåìåííûå è ïåðåíåñÿ âñå â îäíó ÷àñòü:ZZZ ~ r) − 4πρ(~r) dV = 0 =>divE(~V~ r) = 4πρ(~r)divE(~Çäåñü ìû è ïðèìåíèì (å) - ïîñòóëàò, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè:~ r, t) = 4πρ(~r, t)divE(~(1)Òåïåðü áóäåì ïðèñòàëüíî âãëÿäûâàòüñÿ â çàêîí áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåêèé î÷åíü òîíêèéêîíòóð ñ òîêîì L0 è åãî ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì S 0 . Òîãäà äëÿ íåãî, ïåðåïèñûâàÿ ïîëíûé òîê êàê:ZZ~~j(r~0 )dS 0 : [Id~l ≡ dlI]I~ =S0~ r) =H(~Ihi~dl0 ~j(r~0 ), RZZL0cR3S0Çàìåòèì, ÷òî:dS 0 =V0ih~~j(r~0 ), RR3 ñàìîì äåëå:ex~j(r~0 )∂rotr= xjx|~r − r~0 |= rotrcR3dV 0~j(r~0 )|~r − r~0 |hihi~ ~jez~jjz Ry − jy Rz∇R,R,1∂z = − 2  jx Rz − jz Rx  = −=−RR2R3jzjR−jRyxxyRey∂yjyRRhi~~j(r~0 ), RZZZÎòëè÷íî.

Òåïåðü âîçüìåì ðîòîð îò íàïðÿæåííîñòè:~ =1rotr HcZZZZZZ~j(r~0 ) 01rotr rotrdV =RcV0V0=1cZZZ∇r divrV0~j(r~0 )~j(r~0 )∇r divr− ∆rRR!dV 0 =~j(r~0 ) Z Z Z~j(r~0 ) 0−∆rdVRRV0Ðàçáåðåì êàæäîå ñëàãàåìîå ïî îòäåëüíîñòè.~j(r~0 )=−divrRPi ji (xi −R3x0i )Ñ äðóãîé ñòîðîíû:divr0~j(r~0 )=−RP~0 )(x0 − xi ) − R2 divr0~j(r~0 )~j(r~0 )1i= −divr+ divr0~j(r~0 )3RRRi ji ( rÏðåêðàñíî.

Òîãäà, ïî óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè:divr0~j(r~0 ) = −∂ρ(r~0 )=0∂tÒ.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñòàöèîíàðíûå ïåðåìåùåíèÿ. Òîãäà:ZZZZZZZ Z ~j(r~0 ), ~n~j(r~0 ) 0~j(r~0 ) 0∇r divrdV = −∇rdivr0dV = −∇rdSRRRV0V0SÏîâåðõíîñòü S - áåñêîíåí÷î óäàëåííàÿ, òàê êàê îíà âûðàæàåò ãðàíèöó îáúåìà, â êîòîðîì æèâóò íàøè òîêè. Ñ äðóãîéñòîðîíû, áåñêîíå÷íî äàëåêî íèêàêèõ òîêîâ áûòü íå äîëæíî, òàê ÷òî ~j = 0 => çàíóëÿåòñÿ âñå ïåðâîå ñëàãàåìîå. ×òîäî âòîðîãî, òî òóò íàì ïðèãîäèòñÿ óðàâíåíèå íà äåëüòà-ôóíêöèþ:ZZZ∆rV0ZZZ~j(r~0 ) 00~~j(r~0 )4πδ(R)dVdV = −= −4π~j(~r)RV0Òàêèì îáðàçîì:~ = 4π ~j(~r)rotr HcÅñëè ìû âîçüìåì äèâåðãåíöèþ îò ýòîãî óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì:0=−4π ∂ρc ∂tÎ÷åâèäíî, ÷òîáû ïåðåéòè ê ñëó÷àþ íåñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèÿ íàì ïîòðåáóåòñÿ ìîäèôèöèðîâàòü íàøå óðàâíåíèÿ,ââåäÿ òàê íàçûâàåìûé òîê ñìåùåíèÿ:~ = 4π ~j + ~jdisrotr Hc∂ρ∂ divE1 ∂E~Ïðè÷åì: divjdis === div, îòêóäà òóò æå äîñòàòî÷íî:∂t∂t4π4π ∂t~ =rotB4π ~ 1 ∂Ej+cc ∂t(2)Îñòàëîñü ïîñëåäíåå óðàâíåíèå.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû åãî ïîëó÷èòü, ïðèìåíèì òåîðåìó ñòîêñà!ZZIZZ ~1 ∂H~ = (Ed~ ~l) =~ dS~ =>−dSrotEc ∂tSLSIL~~ + 1 ∂HrotEc ∂t!d~l = 0 =>~1 ∂H=0c ∂tÏîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, âçÿâ äèâåðãåíöèþ îò òðåòüåãî. Òîãäà:~+rotE(3)∂~ =0divH∂tÒàê êàê âåêòîð íàïðÿæåííîñòè â îáùåì ñëó÷àå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî îòñþäà:~ =0divHÏîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé:~rotH~rotE~divE~divH(4)~ 1 ∂E= 4πc j + c ∂t~1 ∂H= − c ∂t= 4πρ= 0Ïëîòíîñòü æå ñèëû Ëîðåíöà äàåòñÿ æå âûðàæåíèåì:hi~ r) + 1 ~j(~r), B(~~ r)f~(~r) = ρ(~r)D(~c1.2Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ìèêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.Âåêòîð Ïîéíòèíãà.~ , âòîðîå - íà H~ è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî:Äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ìàêñâåëëà íà E~ ~~ ~~~ − Hrot~~ = 4π E~ ~j + E ∂ E + H ∂ HErotHEcc ∂tc ∂tËåâóþ ÷àñòü ìû ïðåîáðàçóåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû äëÿ ðîòîðà îò âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, à ïðàâóþ - ñ ïîìîùüþïðîèçâîäíîé îò êâàäðàòà:~ E]~ = 4π E~ ~j + 1 ∂ (E 2 + H 2 ) <=>rot[H,c2c ∂t22∂ E +H~ ~j + rot c [E,~ H]~ =0+E∂t8π4πÊàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòèõ âûðàæåíèé? Ñðåäíåå ñóòü ìîùíîñòü äæîóëåâà òåïëà, à èìåííî - èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íàøèõ ÷àñòèö.

Îñòàëüíûå äâà ñëàãàåìûõ - òîëüêî õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ.  òàêîì ñëó÷àå ñîïîñòàâèìïåðâîìó ïëîòíîñòü ýíåðãèè, à òðåòüåìó - ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïî÷åìó ýòî ôèçè÷åñêèî÷åâèäíî ñòàíåò ïîíÿòíî èç èíòåãðàëüíîé ôîðìû ýòîãî çàêîíà.  ñàìîì äåëå, îáîçíà÷èâ:w=E2 + H 24π ~ ~, ~σ =[E, H] =>8πc∂w~ ~j = 0+ rot~σ + E∂tZZZZZZZZZZdd(Ef + Ekin )~~=0~~ωdV ++~σ dS +~σ dSE jdV = 0 =dtdtVSSV~σ - Âåêòîð Óìîâà-Ïîéíòèíãà èëè âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

w - ïëîòíîñòü ýíåðãèèýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.1.3Ïîòåíöèàëû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Âûâîä óðàâíåíèé äëÿ ïîòåíöèàëîâ ïðèêàëèáðîâêå Ëîðåíöà.Ïîòåíöèàëû ââîäÿòñÿ, ÷òîáû ïîíèçèòü ÷èñëî óðàâíåíèé íàíåèçâåñòíûå, ïîâûñèâ èõ ïîðÿäîê. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ îò 8 çàâèñèìûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ïåðåéòè ê ÷åòûðåì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ïîðÿäêà. ×òîáû âûâåñòè~ = 0 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð H~ ÿâïîòåíöèàëû, ïîñìîòðèì íà ìàãíèòíóþ ïàðó óðàâíåíèé ìàêñâåëëà. Èç óñëîâèÿ divHëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì âñåãäà, òî åñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ðîòîð îò íåêîåãî äðóãîãî âåêòîðà, èìåíóåìîãî~ = rotA~ .

 òàêîì ñëó÷àå ýòî óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà âûïîëíèòñÿ òîæäåñòâåííî, à äðóãîå äàñò:âåêòîð-ïîòåíöèàëîì: H"#~~1 ∂A1 ∂A~~=> rot E +=0rotE = −rotc ∂tc ∂tÎòêóäà òóò æå, â ñèëó åãî âûïîëíåíèÿ âñþäó:~~ + 1 ∂ A = −gradϕ =>Ec ∂tÍàøè ïîòåíöèàëû~ = rotA~H~~ = −gradϕ − 1 ∂ AEc ∂tϕ íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëîì. Ïîòåíöèàëû, íå îòðàæàÿ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè, ÿâëÿþòñÿ íåîäíîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè. Ïðåäåëû ýòîé íåîäíîçíà÷íîñòè çàäàþòñÿ òàê íàçûâàåìûìèêàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.  ñàìîì äåëå, âåêòîð-ïîòåíöèàë ìîæíî èçìåíèòü íà:~0 = A~ + gradf (~r, t) => H~ 0 = rotA~ 0 = rotA~=H~AÀ äðóãîå óðàâíåíèå äàñò íàì:~0~~ 0 = −gradϕ0 − 1 ∂ A = −grad ϕ0 + 1 ∂f − 1 ∂ AEc ∂tc ∂tc ∂t~ íåîáõîäèìî:Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñîõðàííîñòè Eϕ0 = ϕ −È êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:1 ∂fc ∂t~0 = A~ + gradfA1 ∂fc ∂tÎòëè÷íî.

Òåïåðü ïîëó÷èì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ âî âòîðóþ ïàðóóðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:~1 ∂A∂−gradϕ−c ∂t~ = 4π ~j + 1rotrotAcc∂t!~1 ∂Adiv −gradϕ −= 4πρ =>c ∂tϕ0 = ϕ −2~~ − ∆A~ = 4π ~j − grad 1 ∂ϕ − 1 ∂ AgraddivAcc ∂tc2 ∂t2~1 ∂A−∆ϕ − div= 4πρ =>c ∂t~1 ∂2A4π ~1 ∂ϕ~~~A ≡ 2 2 − ∆ A =j − grad divA +c ∂tcc ∂t1 ∂ 1 ∂ϕ~+ divAϕ = 4πρ +c ∂t c ∂tÎòëè÷íî. Ýòè óðàâíåíèÿ õîòåëîñü áû óïðîñòèòü. È îíè ñèëüíî óïðîùàþòñÿ, åñëè âûðàæåíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. ×òîáû äîñòè÷ü ýòîãî, âîñïîëüçóåìñÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Ñíà÷àëà ïîêàæåì,÷òî óðàâíåíèÿ íå ìåíÿþòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ:~=A~ 0 − gradf ; ϕ = ϕ0 + 1 ∂fAc ∂t2 2 0~ 0 + 1 ∂ϕ − grad −∆f + 1 ∂ f =>~ 0 − gradf = 4π ~j − grad divAAcc ∂tc ∂t20~ 0 = 4π ~j − grad divA~ 0 + 1 ∂ϕ + gradf − gradfAcc ∂tÎ÷åâèäíî, grad = grad è âñå ó íàñ õîðîøî.

Âòîðîå óðàâíåíèå:1 ∂1 ∂ 1 ∂ϕ01 ∂1 ∂2f00~ϕ + − ∆f =>f = 4πρ ++ divA +c ∂tc ∂t c ∂tc ∂t c2 ∂t21 ∂ 1 ∂ϕ0~ 0 + 1 ∂ f − 1 ∂ fϕ0 = 4πρ ++ divAc ∂t c ∂tc ∂tc ∂tÈ ÷.ò.ï. Òåïåðü, ìîæíî ëè âûáðàòü òàêóþ êàëèáðîâêó, ÷òîáû çàíóëèòü âûðàæåíèå â ñêîáêàõ? Ïîñìîòðèì:21 ∂ϕ0~ 0 = 0 = 1 ∂ϕ − 1 ∂ f + divA~ + ∆f = F (~r, t) − f+ divA2c ∂tc ∂tc ∂t2Ãäå F - ñòàðîå çíà÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ. Î÷åâèäíî èç êóðñà ÌÌÔ, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà f = F èìåþò ðåøåíèå âñåãäà. òàêîì ñëó÷àå, ÷.ò.ï.

Óñëîâèå, êîãäà çàíóëÿåòñÿ ýòà ôèãóðíàÿ ñêîáêà íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà. Îòìåòèì,÷òî Ëîðåíö íåîäíîçíà÷åí. Òàê, äàëüíåéøèå êàëèáðîâêè ñ f 0 = 0 íå ñíèìàþò Ëîðåíöåâó êàëèáðîâêó.  ëîðåíöåóðàâíåíèÿ èìåþò âèä:~ = 4π ~jAcϕ = 4πρ1.4Ðàçëîæåíèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ìóëüòèïîëÿì äî êâàäðóïîëÿ âêëþ÷èòåëüíîÄëÿ íà÷àëà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.  òàêìî ñëó÷àå òîêîâ íåò, à ìåñòå ñíèìè - íè÷åãî ìàãíèòíîãî, è âñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìàêñâåëëà ñâîäèòñÿ ê:~ = 4πρ; rotE~ =0divEÏîñëåäíåå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî ñ ââåäåíèåì ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà, à ïåðâîå ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ ïóàññîíà:∆ϕ = −4πρÝòî óðàâíåíèå ìû ðåøàåì ìåòîäîì ôóíêöèè Ãðèíà. Ïî îïðåäåëåíèþ:Zϕ(~r) =G(~r, r~0 )ρ(r~0 )dV 0VÍàéäåì ÿâíûé âèä ôóíêöèè Ãðèíà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: ϕ →r→∞ 0.