Написанные билеты, страница 7

À îñòàþòñÿ òîëüêî èíòåãðàëü÷èêè ïî ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé êàæäûé èç ïðîâîäíèêîâ:ZZZZ~ϕD~ = − ϕi~D~dSdSIi = −8πSiSi 8πÎòìåòèì, ÷òî òóò âåêòîð íîðìàëè íàïðàâëåí âíóòðü ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà.  òî æå âðåìÿ ìû çíàåì, ÷òîZZ~ ~n)dS = 4πqi(D,SiÏî èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Ìàêñâåëëà, òàêæå èçâåñòíîìó êàê òåîðåìà Ãàóññà.

 òàêîì ñëó÷àå:Ii =ϕi qi2Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé ìàêñâåëëà êàæäûé èç çàðÿäîâ ïðîâîäíèêîâ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ âñåõ ïîòåíöèàëîâ. À êàæäûé ïîòåíöèàë - ÷åðåç âñå çàðÿäû:Xqk = Ckn ϕn ; ϕk =Skn qnÊîýôôèöèåíòû C çàâèñÿò îò ðàñïîëîæåíèÿ, äèýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñðåäû è ôîðìû ïðîâîäíèêîâ è íàçûâàþòñÿåìêîñòíûìè. Êîýôôèöèåíòû S íàçûâàþòñÿ ïîòåíöèàëüíûìè. ×Òî ïèñàòü ïðî ñèëû íå î÷åíü ïîíÿòíî.3.9Ïîñòàíîâêà çàäà÷è(óðàâíåíèÿ è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ) äëÿ ñòàöèîíàðíûõ òîêîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ïðîâîäíèêàõ.Çàïèøåì óðàâíåíèÿ ìàãíèòîñòàòèêè:~ =0divD~ =0divB~ =0rotE~ = 4π ~jrotHc~ = D~ = 0.

À H~ = rotA~ .Îäíàêî íà ýòîò ðàç+ Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî îòñþäà òóò æå ñëåäóåò E~èíòåðåñíûå âèä ïðèíèìàþò óñëîâèÿ íà òîê j . Îí äîëæåí áûòü ñîëåíîèäàëüíûì â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäîâ, íîâ ïðîâîäíèêàõ ñàì îí ñòàíîâèòñÿ ôóíêöèåé âíåøíèõ ïîëåé è ñâîéñòâ ñðåäû:~ H,~ P, T, ..)~j = ~j(E, íàøèõ óñëâîèÿõ, â ìàëûõ ïîëÿõ, ìîæíî ñ÷èòàòü ýòó çàâèñèìîñòü ñâÿçàííîé çàêîíîì îìà:~ +E~ ñòîð )~j = λ(EÈç óñëîâèÿ íà ñîëåíîèäàëüíîñòü òîêà ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äàþò, êàê è äëÿ âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ: jn1 = jn2 ,è ïîëíàÿ ñèñòåìà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:~1 + E~1~2 ~2λ 1 (Ennñòîð ) = λ2 (En + Enñòîð )∂ϕ2∂ϕ1− ε1= 4πρs∂n∂n~1−H~ 2 ] = 4π ~js[~n, Hc~ τ1 = E~ τ2Eε2~ n1 = µ2 H~ n2µ1 H3.10Ïîòåíöèàë è ìàãíèòíîå ïîëå ñòàöèîíàðíûõ òîêîâ.Çàäà÷ó î ïîëå ñòàöèîíàðíûõ òîêîâ ìû áóäåì ðåøàòü òîëüêî äëÿ ëèíåéíûõ ïðîâîäíèêîâ, òî åñòü òàêèõ, ó êîòîðûõëèíåéíûå ðàçìåðû ìíîãî áîëüøå, ÷åì èõ ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå.

 òàêîì ñëó÷àå, ðàññìîòðèì óñëîâèå ñîëåíîèäàëüíîñòèòîêà, ïðîèíòåãðèðîâàâ åãî äèâåðãåíöèþ ïî öèëèíäðó, êîàêñèàëüíîìó ñ íàøèì ïðîâîäíèêîì:ZZZZZZZZZ~=0~+~+~jdS~jdS~jdSdiv~jdV =S2S1S3Ãäå S1 , S2 - îñíîâàíèÿ öèëèíäðà, à S~3 - åãî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü. Òàê êàê ñðåäà ó íàñ íåïðîâîäÿùàÿ, òî òîêè íà S3Îòñóòñòâóþò, âìåñòå ñ ~j íà ãðàíèöå ïðîâîäíèêà.  òàêîì ñëó÷àå, òàê êàê îñíîâàíèÿ öèëèíäðà èìåþò ïðîòèâîïîëîæíîíàïðàâëåííûå íîðìàëè:ZZ~=~=I~jdS~jdSS1S2Òî åñòü òîê ÷åðåç ëþáîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ðïîâîäíèêà ïîñòîÿíåí.

 ñèëó òîãî, ÷òî ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ðïîâîäíèêàìàëî, ìû ìîæåì â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ñ÷èòàòü ïëîòíîñòü òîêà îäèíàêîâîå â ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèÿõ. Ïðè ýòîì: ~jdl = jd~lâ ñèëó ðàâåíñòâà íóëþ íîðìàëüíîãî òîêà íà ãðàíèöå. Òîãäà, ïî äàâíî èçâåñòíîé ôîðìóëå:Z ~ ~0Z Z ~j(r )dV 0µj~=µA=dSdlc VRc S LRÊàê ìû óæå íàïèñàëè, ïëîòíîñòü òîêà ïîñòîÿííà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. À åñëè áðàòü ~r äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ãðàíèöû,òî ïîñòîÿííûì áóäåò è ìíîæèòåëü R1 , òàê êàê åãî èçìåíåíèå áóäåò ïðåíåáðåæèìî ìàëî.

 òàêîì ñëó÷àå èíòåãðàë ïîïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ ëåãêî äàåòñÿ:Z ~µIdl~A=c LR##ZZ " ~Z "~µI1 ~ µIR ~µIR~~~H = rotA =rot dl =− 3 , dl =dl, 3c LRc LRc LRÍåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íà åäèíèöó äëèíû ïðîâîäíèêà ýòî âûðàæåíèå ñîâïàäàåò ñ çàêîíîì Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà. Èíòåãðàëû âûøå îáû÷íî õðåí âû÷èñëèøü, òàê ÷òî âìåñòî íèõ èñïîëüçóþòñÿ ïðèáëèæåíèÿ. Âäàëè îò òîêà - ìóëüòèïîëüíîåðïèáëèæåíèå, êîòîðîå â íàøåì ñëó÷àå äàåò:#Z "~0~r)µ1(r~=~jA+ 3 dV 0c Vrr×òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàëû ÷åðåç ìóëüòèïîëè âîñïîëüçóåìñÿ òåì æå òðþêîì, ÷òî è ðàíüøå. Ïðîèíòåãðèðóåì òîê ñãðàäèåíòîì îò íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè:ZZ ZZZZ~ = 0 => f = x, y, z =>~j∇f dV =~jdV = 0div(~jf ) − f div~j dV = −dS~jf dSjx,y,z dV = 0 =>VVSVVÒî åñòü íåò ìîíîïîëüíîãî ïîòåíöèàëà. Åñëè f = (~a, ~r)(~r, r~0 ) =>Z Vgradf = ~a(~r, r~0 ) + r~0 (~a, ~r) =>Z hZiµ0000000~~~~~~j(r~0 , ~r) − r~0 (~j, ~r) dV 0 =~~~~(j, ~a)(r , ~r) + (j, ~r)(~a, r ) dV =>j(r , ~r)dV = −r (j, ~r)dV => A =2cr3 VVVZ h hZiiµ[m,~ ~r]µ=~r ~j, r~0 dV 0 ≡m~ =[r~0 , ~j]dV 0332cr Vr2c VZ~ ~r) − r2 m~~ = 3~r(m,B5r3.11Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàöèîíàðíûõ òîêîâ.

Ìàãíèòíûé ïîòîê. Êîýôôèöèåíòû âçàèìîèíäóêöèè è âçàèìíîéèíäóêöèè.Ïîäñ÷åò ýíåðãèè ïðîèçâîäèì ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì:ZZZE=VZZZ ~ZZZZZZ Z Z Z dV 4π~B~~1HHrotAdV ~~~~~~~jdV~div[A, H] + ArotH =dV =dV =A j=A8π8πc2cV 8πVV 8πV~=µAcZZZZ Z ~ ~ ~0~ ~0 )µj(~r)j(r )dV=> E = 2R2c V V 0R0 j(rVÂû÷èñëåíèå ýòîãî èíòåãðàëà â îáùåì ñëó÷àå õðåí ïðîâåäåøü, çàòî â ñëó÷àå ëèíåéíûõ ïðîâîäíèêîâ - íå ïðîáëåìà.Äëÿ íèõ, ïîëüçóÿñü ñëàáîé èçìåí÷èâîñòüþ R â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïëîòíîñòè òîêîâ çàìåíÿþòñÿ íà ñàìè òîêè è ìûèìååì, ðàçáèâàÿ ïëîòíîñòè â ñóììó ïî ðàçíûì ïðîâîäíèêàì â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è:E=X µIi Ij Zi,j2c2LiZLjd~ld~l0R òî æå âðåìÿ, â îáùåì(íî õîðîøåì) ñëó÷àå ïëîòíîñòü òîêà â êàæäîì ïðîâîäíèêå äîëæíà îñòàâàòüñÿ ëèíåéíîéôóíêöèåé îò âñåõ îñòàëüíûõ ïîëíûõ òîêîâ.

 òàêîì ñëó÷àå:~ji =XiLij Ij => E =I IX µIi Ij Z Z d~ld~l01 Xd~ld~l0LII==>L=µij i jij222c i,j2cLi Lj RLi Lj Ri,jÊàçàëîñü áû - âñå, ìû íàøëè âñå êîýôôèöèåíòû âçàèìíîé èíäóêöèè ïðîâîäíèêîâ(à ýòî èìåííî îíè). Âïðî÷åì, òåõíè÷åñêè, òàê è åñòü - ìû íàøëè âñå, êðîìå îäíîãî(N, âîîáùå ãîâîðÿ) - êîýôôèöèåíòà ñàìîèíäóêöèè Lii . Äëÿ íåãîíåëüçÿ òàê ïðîñòî ïðîâåñòè ÿâíîå èíòåãðèðîâàíèå âûøå, ïîòîìó ÷òî R1 âñåãäà îñòàåòñÿ âáëèçè ïðîâîäíèêà ñ òîêîìè íà÷èíàåò ñóùåñòâåííî çàâèñåòü îò ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Âìåñòî ýòîãî äëÿ íåãî ìû ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèå òîêîâ âèñõîäíóþ ôîðìóëó äëÿ ýíåðãèè:ZZXXI1~~~ji dV = 1AE=d~l j AdS2c V2c i LSiÒàê êàê ïîëå ñëàáî ìåíÿåòñÿ âíóòðè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë äàåòñÿ ëåãêî:IX Ii Z ZX Ii Z ZX Ii1X1 X~~~~~ S~=dlAIi =rotAdS =BdΦi => Φi =Lij IjE=2c i Li2c2c2cc jSiSiiiiÎòêóäà ïîñëåäíèå êîýôôèöèåíòû ñàìîèíäóêöèè íàõîäÿòñÿ ÿâíûì îáðàçîì. Èõ ôèçè÷åñêèé ñìûñë, î÷åâèäíî, âêëàä âýíåðãèþ ïîëÿ îò åäèíè÷íîãî òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç ïðîâîäíèê.3.12Êâàçèñòàöèîíàðíîå ïðèáëèæåíèå.

Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ. Ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè.Êâàçèñòàöèîíàðíîå ðïèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ïî ñëîæíîñòè ïîñëå ñòàòè÷åñêîãî è âûðàæàåòñÿ â òðåõôèçè÷åñêèõ óñëîâèÿõ:à) Äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ìíîãî áîëüøå, ÷åì õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñèñòåìû. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëàãàòü, ÷òî ó ïîëåé âîâñåõ òî÷êàõ ñèñòåìûôàçà ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâàÿ.

Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî óñëîâèå âûðàæàåòñÿ â âèäå:√0l εµl cω <=> T cá) Âòîðîå óñëîâèå - óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè çíà÷åíèÿ ïðîâîäèìîñòè è ïðîíèöàåìîñòè èç ïðèáëèæåíèÿ ñòàöèîíàðíûõïîëåé. Ýòî óñëîâèå ñîîòâåòñòâóåò ìàëîñòè âðåìåíè ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå ïî ñðàâíåíèþñ ïåðèîäîì èçìåíåíèÿ âîëíû.â) Òðåòüå óñëîâèå - ìàëîñòü òîêà ñìåùåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêîì ïðîâîäèìîñòè:~1 ∂D~ +E~ ñòîð )|| |λ(E|~jñì | |~j| <=> |4π ∂t∂~ = εE,~ E~ ñòîð = 0 =>≈ω· ; D∂tωεε λ <=> T 4πλ òàêèõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïðèíèìàþò âèä:~ = 4πρdivD~ =0divB~ = 4π ~jrotHc~~ = − 1 ∂BrotEc ∂tÏè ýòîì óñëîâèå ñîëåíîèäàëüíîñòè òîêà ïðîâîäèìîñòè âûïîëíÿåòñÿ è èç óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè òóò æå ñëåäóåò:∂ρ=0∂tÀ âñÿ ðàçíèöà ñâîäèòñÿ ê ó÷åòîì ÿâëåíèÿ ý/ì èíäóêöèè ôàðàäåÿ.

 òàêîì ñëó÷àå ïðîñòè ýòè óðàâíåíèÿ åùå áîëüøå,ïîëüçóÿñü ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè:~ = µH;~ D~ = εE;~ ~j = λE~BÄëÿ ýòîãî âîçüìåì ðîòîð îò òðåòüåãî óðàâíåíèÿ è âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì Îìà:~ = graddivH~ − ∆H~ = −∆H~ = 4πλ rotE~ = 4πλrotrotHcc~µ ∂H−c ∂t!=>~4πλµ ∂ H2c∂tÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, áåðÿ ðîòîð îò 4 óðàâíåíèÿ, â ïðåäïîëîæåíèè îòñóòñòâèÿ ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ â èíòåðåñóþùèìíàñ îáúåìå(ρ = 0):~~~ = 4πλµ ∂ E => ∆~j = 4πµλ ∂ j∆E22c∂tc ∂tÒàêèì îáðàçîì, âñå óðàâíåíèÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ïðèáëèæåíèÿ îäèíàêîâûå. Äîñòàòî÷íî íàéòè ÷òî-òî îäíî, à çàòåìíàéòè îñòàëüíûå, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ:~ =∆H~~~ = j ; ∂ B = −c rotE;~ ~j = c rotH~Eλ ∂t4π3.13Ïðîíèêíîâåíèÿ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùèõñÿ ïîëåé â ïðîâîäíèê â êâàçèñòàöèîíàðíîì ïðèáëèæåíèè.

Ñêèí-ýôôåêò.Ñêèí-ýôôåêòîì, ñîáñòâåííî è íàçûâàåòñÿ ïðîíèêíîâåíèÿ ïîëåé â ïðîâîäíèê. ×òîáû ïîíÿòü ìåõàíèçì ýòîãî ÿâëåíèÿ ðåøèì çàäà÷ó ñ ïëîñêèì ïðîâîäíèêîì: ïðîâîäíèê çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü y > 0, à äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî~ = H~ 0 eiωt . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìû âîçüìåì îò ýòîãîçàíèìàåò âàêóóì. Íà ãðàíèöå ïðîâîäíèêà ìàãíèòíîå ïîëå Hâûðàæåíèÿ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü â ñàìîì êîíöå. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå:~4πλµ ∂ H(y,t)d2 ~4πµλ ~~ =C~ 1 eα1 y + C~ 2 eα 2 y :<=>H(y) =H(y, t)iω => H2~c2dyc2∂t√2ic2 iπ/22 iπ/44πµλω2√=α2 =i=>δ==>α=e=>α=±e1,2c2δ2δ2δ2πλµω~∆H(y,t) =Ïðè ýòîì îäèí êîðåíü áóäåò ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ è ñîîòâåòñòâîâàòü ýêñïîíåíòå, â êîòîðîé ïîëåóñèëèâàåòñÿ ñ óõîäîì âãëóáü ïðîâîäíèêà, à âòîðîé - ñ îòðèöàòåëüíîé è çàòóõàþùåé ýêñïîíåíòîé. Ôèçè÷åñêè î÷åâèäíî,÷òî ïåðâûé ñëó÷àé íàñ çäåñü íå èíòåðåñóåò, è ýòî áóäåò âòîðîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå,êîòîðîå ñâÿçûâàåò íàøå ðåøåíèå.Òîãäà:~~ 1 e− 1+i~ 0 e− yδ e−i yδ => H(y,~~ 0 e− yδ ei(ωt− yδ )δ y = HH(y)=Ct) = HÁèíãî.

Ýòî è åñòü ñêèí-ýôôåêò - ýêñïîíåíöèàëüíîå ïðîíèêíîâåíèå ïîëÿ âãëóáü ïðîâîäíèêà. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è òîê:~ 0 f (y)) = c [gradf, H~ 0 ] = c −1 − i e−y( δ1 − δi )+iωt [~ey , H~ 0]~j = c rot(H4π4π4πδ√~jc 2 iπ/4 −y/δ i(ωt−y/δ)~~ 0]E= =−eee[~ey , Hλ4πδλÒî åñòü è òî, è äðóãîå ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàþò, è ñäâèíóòû ïî ôàçå íà π/4. êà÷åñòâå äîïîëíåíèÿ ðåøèì çàäà÷ó î òîêå íà ïîâåðõíîñòè öèëèíäðè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü óíèâåðñàëüíîñòü êà÷åñòâåííûõ çàêîíîâ ñêèí-ýôôåêòà îòíîñèòåëüíî ãåîìåòðèè çàäà÷è:~j(R, t) = j0~ez e−iωt => ~j(r, ϕ, z, t) = j(r)~ez e−iωt =>∆~j = ~ez e−iωt1 ∂r2 ∂r 21 ∂j4πµλ∂j∂ j+2(−iω)j~ez e−iωt =>r2= ~ez e−iωt ==∂r∂r2r ∂rc22 ∂j∂2j2 ∂j∂2j4πµλωi2i+j => 2 +=−+ 2j = 022∂rr ∂rc∂rr ∂r δÝòî ñóòü óðàâíåíèå áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà. Åãî ðåøåíèÿ - Íåéìàí è Áåññåëü, íî ïåðâûé èç íèõ áóäåò äàâàòüáåñêîíå÷íûå òîêè â öåíòðå ïðîâîäíèêà è íàì íå èíòåðåñåí, òàê ÷òî âìåñòî íåãî ðåøåíèå ïèøåì ÷èñòûì Áåññåëåì:√ √ !J0 δ2i r2ir = j0 √j = CJ02iδJR0δÀññèìïòîòèêà ýòîãî âûðàæåíèå ïðè R, r δ :rr22 r/δ −i(r/delta−π/4)J0 (kr) ≈cos(kr − π/4) ≈e eπkrπkrÏîñëåäíèå ïåðåõîä ñäåëàíâ ñèëó òîãî, ÷òî äðóãàÿ ýêñïîíåíòà ó êîñèíóñà áóäåò èìåòü ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëóþ àìïëè√2iòóäó.

Ïîä k ïîíèìàåòñÿ δ .  ïðåäåëå ïîëó÷èì:rj = j0R − R−r i( R−re δ e δ )rÈ îïÿòü ýêñïîíåíöèàëüíîå óáûâàíèå. ×òî è òðåáîâàëîñü.3.14Îáîáùåííûé çàêîí Îìà äëÿ ëèíåéíîé öåïè ñ èíäóêòèâíîñòÿìè è åìêîñòÿìè â êâàçèñòàöèîíàðíîìïðèáëèæåíèè.Äëÿ âûâîäà çàêîíà Îìà, ïðîèíòåãðèðóåì äèôôåðåíöèàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïî âñåìó îáúåìó:~D~ +H~B~∂ Ec ~ ~~ =0+[E, H] + ~j E∂t8π4πÌû óæå áðàëè ïàðî÷êó ïîäîáíûõ èíòåãðàëîâ, â ÷àñòíîñòè - ýíåðãèþ ñèñòåì èç ëèíåéíûõ ïðîâîäíèêîâ è ñèñòåìêîíäåíñàòîðîâ.  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî åìêîñòè ëèíåéíûõ ïðîâîäíèêîâ ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åìêîñòÿìèêîíäåíñàòîðîâ, à òîêè â êîíäåíñàòîðàõ ïðåíåáðåæèìî ìàëû, òîV~2εE1X=qi qj Sij8π2 ijV~2µH1X=Lij Ii Ij8π2 ijZZiÏðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîíäåíñàòîðû ñîåäèíåíû ñ ëèíåéíûìè ïðîâîäíèêàìè òàê, ÷òî ∂q∂t = Ii .