Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 12

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.Закон инерцииОпределение.Квадратичнаяформаnf ( x1 , x 2 ,..., xn ) = ∑ aii xi2 ,i =1содержащая только квадраты переменных, называется квадратичнойформой канонического вида. Коэффициенты aii , i = 1,2,..., n , квадратичнойформы канонического вида называются каноническими коэффициентами.Замечание. Матрица квадратичной формы канонического видаявляется диагональной.Теорема. Для любой квадратичной формы существует базис, в которомона имеет канонический вид.Определение. Базис, в котором квадратичная форма имеетканонический вид, называется каноническим базисом.Рассмотрим методы приведения квадратичной формы к каноническомувиду: метод Лагранжа и метод ортогональных преобразований.I.

Метод Лагранжа.Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническомувиду состоит в последовательном выделении полных квадратов переменных.Коротко опишем этот метод. Если a11 ≠ 0 , то вынесем a11 за скобку, в скобкесоберем все слагаемые, содержащие x1 , и дополним полученное выражениедо полного квадрата. В результате получим2n⎞⎛гдеf1 ( x2 ,..., x n ) –f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 ⋅ ⎜⎜ x1 + ∑ b j x j ⎟⎟ + f1 ( x2 ,..., xn ) ,j =2⎠⎝квадратичная форма, не содержащая переменную x1 .

Выполнив линейнуюзамену y1 = x1 +n∑b j x j ,j =2получим f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 ⋅ y12 + f1 ( x2 ,..., xn ) . Сквадратичной формой f1 ( x2 ,..., x n ) поступим аналогично. Проиллюстрируемэтот метод на конкретном примере.Задача.Привестиквадратичнуюформу22f ( x ) = f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + x3 − 3 x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x2 x3 к каноническому видуметодом Лагранжа.Решение. Поскольку a11 = 1 ≠ 0, соберем слагаемые, содержащие x1 , идополним полученное выражение до полного квадрата:x12 − 3x1 x2 + 4 x1 x3 = x12 + 2 x1 ( − 32 x2 + 2 x3 ) + (− 32 x2 + 2 x3 ) 2 − (− 32 x2 + 2 x3 ) 2 == ( x1 − 32 x2 + 2 x3 ) 2 − ( 94 x22 − 6 x2 x3 + 4 x32 ) = y12 − 94 x22 + 6 x2 x3 − 4 x32 ,где y1 = x1 − 32 x2 + 2x3 .54Итак, f ( x ) = y12 − 94 x22 + 6 x2 x3 − 4 x32 + x32 + 2 x2 x3 = y12 − 94 x22 − 3 x32 + 8 x2 x3 .Поскольку коэффициент при x 22 не равен нулю, вынесем этот коэффициентза скобку, в скобке соберем все слагаемые, содержащие x 2 , и дополнимполученное выражение до полного квадрата:− 94 x22 + 8 x2 x3 = − 94 ( x22 − 32x x ) = − 94 ( x22 − 2 x2 ⋅ 169 x3 + (169 x3 ) 2 − (169 x3 ) 2 ) =9 2 3= − 94 ( x2 − 169 x3 ) 2 +x .где y 2 = x2 − 169 3Итак, f ( x ) = y12 −− 94 y 22 + 37x 2 = y12 − 94 y 22 + 37y2,9 39 364 x 2 = − 9 y 2 + 64 x 2 ,9 34 29 32229 y + 64 x − 3 x = y 2314 29 3гдеy1 = x1 − 32 x2 + 2x3 , y 2 = x2 − 169 x3 , y3 = x3 .

Найдем матрицу перехода отстарого базиса к новому. Для этого выразим переменные x1 , x 2 , x3 через⎛ 1 32⎧ x1 = y1 + 32 y 2 + 32 y3⎜⎪y1 , y 2 , y3 : ⎨ x2 = y 2 + 169 y3 . Итак, X = UY , где U = ⎜ 0 1⎜0 0⎪x3 = y 3⎝⎩перехода от старого базиса e к новому базису f .2 ⎞3 ⎟169 ⎟1 ⎟⎠– матрицаf ( x ) = y12 − 94 y 22 + 37y2 .Указанный9 3канонический вид квадратичная форма имеет в каноническом базисе f 1 = e1 ,Окончательнополучим:f 2 = 32 e1 + e 2 , f 3 = 32 e1 + 169 e 2 + e 3 .Замечание 1. Если коэффициент a11 = 0 , т.е. нет слагаемого x12 , ноотличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой переменной,то надо начинать выделение полного квадрата с этой переменной.Замечание 2.

Если все коэффициенты при квадратах переменныхравны нулю, то сначала надо выполнить промежуточную заменупеременных. Пусть, например, a12 ≠ 0 , т.е. присутствует слагаемое 2a12 x1 x2 .Сделаем замену переменных: x1 = x1′ + x2′ , x2 = x1′ − x′2 , xi = xi′ , i = 3,4,..., n ,()22тогда 2a12 x1 x2 = 2a12 ⋅ ( x1′ + x′2 )( x1′ − x′2 ) = 2a12 ( x1′ ) − ( x2′ ) . После заменыпеременных получим квадратичную форму, у которой коэффициент при(x1′ )2 отличен от нуля.II. Метод ортогонального преобразования.При переходе от базиса e к базису f матрица квадратичной формыменяется по закону A f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f , где Te→ f – матрица перехода отбазиса e к базису f .

Поскольку матрица квадратичной формы являетсясимметрической,онаможетбытьприведенаортогональнымпреобразованием к диагональному виду, т.е. для матрицы Ae существуетортогональная матрица U ( U −1 = U T ) такая, что U T Ae U = Λ . Здесь Λ –диагональная матрица, диагональными элементами которой являютсясобственные значения матрицы Ae , повторяющиеся столько раз, какова их55кратность. При этом матрица U является матрицей перехода из старогоортонормированного базиса к новому ортонормированному базису,состоящему из собственных векторов матрицы Ae .⎛ λ1 0 ...

0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟Квадратичная форма с матрицей A f = Λ = ⎜имеет... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λ⎝n⎠канонический вид: f ( x ) = λ1 y12 + ... + λn y n2 . Ортонормированный базис f ,состоящий из собственных векторов матрицы Ae , является каноническимбазисом квадратичной формы.Задачи.Найтиортогональноепреобразование,приводящееквадратичную форму к каноническому виду. Написать канонический вид.1.

f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x12 + 4 x1 x2 + x22 .⎛ 1 2⎞⎟⎟ – матрица квадратичной формы в исходномРешение. а) A = ⎜⎜21⎝⎠ортонормированном базисе e . Найдем собственные значения матрицы A .Для этого решим характеристическое уравнение1− λ2A − λE == (1 − λ ) 2 − 4 = 0 .λ = −1,λ =3–корни21− λ⎛ − 1 0⎞⎟⎟ – матрица квадратичнойΛ = ⎜⎜характеристического уравнения.03⎝⎠формы в новом базисе f (ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ).

В базисе f квадратичная форма имеет каноническийвид f ( x ) = f ( y1, y 2 ) = − y12 + 3 y 22 .б) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O . Для λ = −1⎛ 2 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞СЛАУ, записанная в матричной форме, имеет вид: ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 2 2 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎛ α ⎞⎛1⎞⎟⎟ = α ⎜⎜ ⎟⎟ ∀α .Решив СЛАУ, получим общее решение системы: X = ⎜⎜⎝−α ⎠⎝ − 1⎠Вектор a 1 = (1,−1) является собственным вектором матрицы A , отвечающимсобственному значению λ = −1.Координаты собственного вектора, отвечающего собственному значению⎛ − 2 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞λ = 3 , найдем из СЛАУ ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .

Решив СЛАУ, получим2−2⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝⎛α ⎞⎛1⎞общее решение системы: X = ⎜⎜ ⎟⎟ = α ⎜⎜ ⎟⎟ ∀α . Вектор a 2 = (1, 1) является⎝α ⎠⎝1⎠56собственным вектором матрицы A , отвечающим собственному значениюλ = 3 . Нормируя собственные векторы, получим ортонормированный базис,состоящий из собственных векторов матрицы A :f 1 = 12 , − 12 ,f2 =((12,12)), в котором квадратичная форма имеет указанный канонический1 ⎞⎛ 122⎟⎜является ортогональной матрицей перехода отвид. Матрица U =1 ⎟⎜− 12⎠⎝ 2базиса e к базису f . (Легко проверить, что матрицы квадратичной формыA и Λ в базисах e и f связаны соотношением Λ = U T A U ). Изменениебазиса привело к линейной замене переменных X = U ⋅ Y в квадратичной⎧⎪ x1 = 1 y1 + 1 y 222форме: ⎨.1 y + 1 yx=−⎪⎩ 212222. f ( x ) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 11x12 + 5 x22 + 2 x32 + 16 x1 x2 + 4 x1 x3 − 20 x2 x3 .2 ⎞⎛11 8⎜⎟5Решение.

а) A = ⎜ 8− 10 ⎟ – матрица квадратичной формы в исходном⎜ 2 − 102 ⎟⎠⎝ортонормированном базисе e . Найдем собственные значения матрицы A .Дляэтогорешимхарактеристическоеуравнение11 − λ82A − λE = 85 − λ − 10 = 0 .λ = 18 , λ = 9 , λ = −9 – корни− 10 2 − λ2⎛18 0 0 ⎞⎜⎟характеристического уравнения. Λ = ⎜ 0 9 0 ⎟ – матрица квадратичной⎜ 0 0 − 9⎟⎝⎠формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ). В базисе f квадратичная форма имеет каноническийвид f ( x ) = f ( y1, y 2 , y3 ) = 18 y12 + 9 y 22 − 9 y32 .б) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O .

Для λ = 18 СЛАУ,82 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎛− 7⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟записанная в матричной форме, имеет вид: ⎜ 8 − 13 − 10 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .⎜ 2 − 10 − 16 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎛ − 2⎞⎛ − 2α ⎞⎜ ⎟⎜⎟Решив СЛАУ, получим общее решение системы: X = ⎜ − 2α ⎟ = α ⎜ − 2 ⎟ ∀α .⎜ 1 ⎟⎜ α ⎟⎝ ⎠⎝⎠Вектор a 1 = (− 2,−2,1) является собственным вектором матрицы A ,57отвечающим собственному значению λ = 18 .

Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ = 9 , найдем из СЛАУ2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎛2 8⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 8 − 4 − 10 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Решив СЛАУ, получим общее решение системы:⎜ 2 − 10 − 7 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎛ − 2⎞⎛ − 2α ⎞⎜ ⎟⎜⎟X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 1 ⎟ ∀α . Вектор a 2 = (− 2,1,−2 ) является собственным⎜ − 2⎟⎜ − 2α ⎟⎝ ⎠⎝⎠вектором матрицы A ,отвечающим собственному значению λ = 9 .Аналогично найдем координаты собственного вектора, отвечающегоa3 = (− 12 , 1, 1) . Нормируя собственныесобственному значению λ = −9 ,векторы, получим ортонормированный базис, состоящий из собственныхвекторов матрицы A : f 1 = (− 32 ,− 32 , 13 ), f 2 = (− 23 , 13 , − 32 ) , f 3 = (− 13 , 32 , 23 ) . Вэтом базисе квадратичная форма имеет указанный канонический вид.⎛ − 23 − 23 − 13 ⎞⎜⎟2Матрица U = ⎜ − 23 13является ортогональной матрицей перехода от3 ⎟⎜ 1 −2 2 ⎟33 ⎠⎝ 3базиса e к базису f , Λ = U T A U . Изменение базиса привело к линейнойзаменепеременныхX =U ⋅Yвквадратичнойформе:221⎧ x1 = − 3 y1 − 3 y 2 − 3 y3⎪212⎨ x2 = − 3 y1 + 3 y 2 + 3 y3 .⎪ x =1y −2y +2y⎩ 3 3 1 3 2 3 3Замечание.

Ни канонический базис, ни канонический видквадратичной формы не определены однозначно. Возникает вопрос: чтообщего у различных канонических видов одной и той же квадратичнойформы?Определение. Ранг матрицы квадратичной формы в произвольномбазисе называется рангом квадратичной формы.Теорема. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденныхлинейных преобразованиях и равен1) числу отличных от нуля канонических коэффициентов;2) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичнойформы в любом базисе (с учетом их кратности).Теорема (закон инерции).