Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 13

Число слагаемых с положительными(отрицательными) каноническими коэффициентами в каноническом видеквадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формык каноническому виду.585.3. Знакоопределенные квадратичные формыКвадратичная форма называется положительноОпределение.определенной (отрицательно определенной), если для любого ненулевогоf ( x) > 0элементавыполняется неравенствоx = ( x1 ,..., xn ) ∈ R n(соответственно f ( x ) < 0 ).Определение.

Квадратичная форма называется неотрицательноопределенной (неположительно определенной), если для любогоненулевого элемента x = ( x1 ,..., xn ) ∈ R n выполняется неравенство f ( x ) ≥ 0(соответственно f ( x ) ≤ 0 ), и существует такойненулевой элементx = ( x1 ,..., xn ) ∈ R n , для которого f ( x ) = 0.Определение. Квадратичная форма называется знакопеременной,если существуют такие элементы x , y ∈ R n , что f ( x ) > 0, а f ( y ) < 0 .Примеры.

Квадратичная форма f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = 3 x12 + x22 являетсяположительно определенной; квадратичная форма f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = 3 x12является неотрицательно определенной, т.к. существует ненулевой элементx = (0,1)∈ R 2 : f ( x ) = 0 ; квадратичная форма f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = 3 x12 − x22знакопеременная, т.к.

f ( x ) = f (1, 0) = 3 > 0 , а f ( y ) = f (0,1) = −1 < 0 .Утверждение. Пусть A – матрица квадратичной формы в некоторомбазисе, λi , i = 1,2,..., n , собственные значения матрицы A .1)Квадратичная форма f ( x ) является положительно (отрицательно)определенной тогда и только тогда, когда λi > 0 ∀i = 1,2,..., n (соответственноλi < 0 ∀i = 1,2,..., n ).2) Квадратичная форма f ( x ) является неотрицательно (неположительно)определенной тогда и только тогда, когда λi ≥ 0 ∀i = 1,2,..., n (соответственноλi ≤ 0 ∀i = 1,2,..., n ) и хотя бы одно собственное значение равно нулю.3) Квадратичная форма f ( x ) является знакопеременной тогда и толькотогда, когда существуют собственные значения разных знаков.Замечание.

Невырожденная квадратичная форма ( det A ≠ 0 ) можетбыть либо положительно определенной, либо отрицательно определенной,либо знакопеременной.Действительно, если det A ≠ 0 , то λ = 0 не может быть корнемхарактеристическое уравнение A − λE = 0 , следовательно, λ = 0 не можетбыть собственным значением матрицы A .Тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственныхзначений ее матрицы. Пусть A – матрица квадратичной формы размера n × n59в произвольном базисе. Рассмотрим угловые миноры матрицы A : Δ1 = a11 ,a11 ...

a1na11 a12,…, Δ n = ... ... ... .Δ2 =a 21 a 22an1 ... annТеорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная формаот n переменныхбыла положительно определенной, необходимо идостаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы в произвольном базисебыли положительны: Δ1 > 0 , Δ 2 > 0 ,…, Δ n > 0 .Следствие из критерия Сильвестра. Для того чтобы квадратичнаяформа от n переменных была отрицательно определенной, необходимо идостаточно, чтобы знаки угловых миноров ее матрицы в произвольномбазисе чередовались, начиная с минуса: Δ1 < 0 , Δ 2 > 0 , Δ 3 < 0 ,…,(− 1)n Δ n > 0 .Задачи.1.Исследоватьзнакоопределенностьквадратичнойформы22f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x1 + 10 x1 x 2 +26 x2 .Решение.

Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые1 5⎛1 5 ⎞⎟⎟ , Δ1 = 1 , Δ 2 == 1 . Поскольку все угловые минорыминоры: A = ⎜⎜526526⎝⎠матрицы A положительные, по критерию Сильвестра квадратичная формаявляется положительно определенной.2.Исследоватьзнакоопределенностьквадратичнойформы222f ( x ) = f ( x1 , x2 , x3 ) = −11x1 − 6 x2 − 6 x3 + 12 x1 x 2 −12 x1 x3 + 6 x2 x3 .Решение. Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые⎛ − 11 6 − 6 ⎞⎜⎟− 11 6= 30 > 0 ,Δ2 =миноры:A = ⎜ 6 − 6 3 ⎟,Δ1 = −11 < 0 ,66−⎜ − 6 3 − 6⎟⎝⎠− 11 6 − 6Δ 3 = 6 − 6 3 = −81 < 0 . Поскольку знаки угловых миноров чередуются,−6 3 −6начиная с минуса, квадратичная форма является отрицательно определеннойпо следствию из критерия Сильвестра.3. Исследовать знакоопределенность квадратичной формы взависимостиотзначенияпараметраλ:22f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = 2λx1 + ( 2λ + 8) x1 x 2 + (λ + 1) x2 .Решение.

Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые2λ λ + 4⎛ 2λ λ + 4 ⎞⎟⎟ , Δ1 = 2λ , Δ 2 == λ2 − 6λ − 16 .миноры: A = ⎜⎜λ + 4 λ +1⎝λ + 4 λ + 1⎠60а) Найдем всеλ , при которых квадратичная форма являетсяневырожденной. det A ≠ 0 при всех λ ≠ 8 , λ ≠ −2 . Применяя критерийСильвестра и следствие из него, получим, что квадратичная форма являетсяΔ 1 = 2λ > 0⎧положительно определенной, если, т.е. при⎨2⎩Δ 2 = λ − 6λ − 16 > 0Δ 1 = 2λ < 0⎧, т.е. приλ ∈ (8, + ∞ ) ; отрицательно определенной, если ⎨2Δ=−6−16>0λλ⎩ 2λ ∈ (− ∞, − 2 ) . Невырожденная квадратичная форма может быть только либоположительно определенной, либо отрицательно определенной, либознакопеременной. Поэтому при λ ∈ (−2, 8 ) квадратичная форма являетсязнакопеременной.б) При λ = 8 и λ = −2 квадратичная форма является вырожденной.Рассмотрим квадратичную форму при λ = 8 :f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = 16 x12 + 24 x1 x 2 +9 x22 = (4 x1 + 3 x2 ) 2 ≥ 0 .

Квадратичная формаявляется неотрицательно определенной при λ = 8 , т.к. существует такойненулевой элемент x = (3, − 4) : f ( x ) = 0 .в) Рассмотрим квадратичную форму при λ = −2 :f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = −4 x12 + 4 x1 x 2 − x22 = −( 2 x1 − x2 ) 2 ≤ 0 . Квадратичная формаявляется неположительно определенной при λ = −2 , т.к. существует такойненулевой элемент x = (1,2) : f ( x ) = 0 .Задачи для самостоятельного решения.1. Привести матрицу линейного самосопряженного оператора кдиагональному виду ортогональным преобразованием.

Указать матрицу2 − 3⎞⎛ 0⎜⎟3 − 6⎟ .перехода. A = ⎜ 2⎜− 3 − 6 8 ⎟⎝⎠2. Исследовать знакоопределенность квадратичной формы взависимости от значения параметра α .1) αx 2 + 12 xy + (α − 5) y 2 .2) (α − 3)x 2 + 4αxy + αy 2 .3) αx 2 + αy 2 + (α − 6 )z 2 + 4 xy − 8 xz + 8 yz .3. Даны два многочлена p1 и p2 от переменных x1 , x2 и x3 . Возможноли равенство p12 + p22 = x12 + x22 + x32 ?Указание. Равенство p12 + p22 = x12 + x22 + x32 возможно только в случае, еслимногочлены p1 и p2 имеют первую степень и нулевой свободный член.Далее нужно применить закон инерции.4.

Доказать, что если квадратичная форма распадается в произведениедвух линейных сомножителей, то ее ранг не превосходит 2.61Указание. Сделаем замену переменных, при которой каждый из этих двухсомножителей примем за новую переменную. Тогда квадратичная формабудет представлять собой произведение двух переменных.5.

Доказать, что в положительно определенной квадратичной форме всекоэффициенты при квадратах переменных положительны. Является ли этоусловие достаточным для положительной определенности формы?6. Сформулировать необходимое и достаточное условие, при которомквадратичные формы f ( x ) и − f ( x ) могут быть приведены к одному и томуже каноническому виду.7. Доказать, что квадратичная форма является положительноопределенной тогда и только тогда, когда все собственные значения еематрицы положительны, и отрицательно определенной тогда и только тогда,когда все собственные значения ее матрицы отрицательны.8. Привести квадратичную форму − x 2 + 2 y 2 − z 2 + 4 xy − 2 xz − 4 yz кканоническому видуа) методом Лагранжа; б) ортогональнымпреобразованием.Глава VI.

Приведение уравнений кривых и поверхностей второгопорядка к каноническому видуРассмотрим n -мерное вещественное евклидово пространство R n .Фиксируем в R n ортонормированный базис e . Координаты вектора x (точкиx ) в этом базисе обозначим через ( x1 , x2 ,..., x n ) .Определение.

Геометрическое место точекудовлетворяющих уравнениюnni , j =1i =1x ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R n ,∑ aij xi x j + ∑ bi xi + c = 0(1)с действительными коэффициентами c , aij , i, j = 1,2,..., n , bi , i = 1,2,..., n , гдеaij = a ji ∀i, j = 1,2,..., n , называется гиперповерхностью второго порядка.Замечание 1.

Слагаемоеn∑ aij xi x jбудем называть группой старшихi , j =1членов уравнения (1), группу слагаемыхn∑ bi xi + cбудем называтьi =1линейной частью уравнения (1).Замечание 2. Группа старших членов является квадратичной формой⎛ a11 ... a1n ⎞n⎜⎟f ( x ) = f ( x1, x 2 ,..., xn ) = ∑ aij xi x j с матрицейA = ⎜ ... ... ... ⎟ , членыi , j =1⎜a⎟⎝ n1 ... ann ⎠62n∑ bi xiпервого порядка образуют линейную форму(с матрицей–строкойi =1)B = b1 b2 ... bn . Уравнение гиперповерхности второго порядка можнозаписать в матричном виде:(2)XT AX + BX + c =0,⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜x ⎟где X = ⎜ 2 ⎟ – матрица-столбец переменных....⎜⎜ ⎟⎟⎝ xn ⎠Замечание 3. При n = 2 гиперповерхность является кривой второгопорядка на плоскости, при n = 3 гиперповерхность является поверхностьювторого порядка в трехмерном пространстве.Упростим уравнение (1).