Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 15

Разбор типового расчета по линейной алгебреЗадача 1. Исследовать на линейную зависимость систему векторов:a 1 , a 2 , a 3 . a 1 = (5,2,−1,3,4) , a 2 = (3,1,−2,3,5) , a 3 = (6,3,−2,4,7) .Решение. Из столбцов координат векторов a1 , a 2 , a 3 составим матрицу36 ⎞⎛5⎜⎟13 ⎟⎜ 2A = ⎜ − 1 − 2 − 2 ⎟ . Поскольку ранг матрицы A равен 3 и матрица состоит из⎜⎟34 ⎟⎜ 3⎜ 457 ⎟⎠⎝трех столбцов, столбцы матрицы A линейно независимы, следовательно,система векторов a1 , a 2 , a3 линейно независима.Задача 2. Рассматривая векторы f1 , f 2 , f 3 как новый базис в R 3 ,вычислить: а) координаты вектора b в исходном базисе e , зная егокоординаты в новом базисе f ; б) координаты вектора c в новом базисе f ,зная его координаты в исходном базисе e .

f 1 = ( 2,−1,1) , f 2 = ( 2,0,2) ,f 3 = (3,0,1) , b = (2,0,1) , c = (9,−3,8) .Решение. а) Докажем, что векторы f1 , f 2 , f 3 образуют базис в пространстве⎛ 2 2 3⎞⎜⎟3R . Из столбцов координат векторов составим матрицу A = ⎜ − 1 0 0 ⎟ .⎜ 1 2 1⎟⎝⎠Поскольку det A ≠ 0 , столбцы матрицы A линейно независимы,следовательно, система векторов линейно независима. Поскольку количестволинейно независимых векторов совпадает с размерностью пространства R 3 ,эти векторы образуют базис в пространстве R 3 .б) Данная матрица A и есть матрица перехода от базиса e в базис f .( 2,0,1) – координаты вектора b в базисе f = ( f1 , f 2 , f 3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) –⎛ 2⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟координаты вектора b в исходном базисе e , т.е. B f = ⎜ 0 ⎟ , Be = ⎜ x2 ⎟ .⎜1⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠Учитывая, что координаты вектора b в базисах e и f связаны между собойсоотношением Be = Te→ f ⋅ B f , где Te→ f – матрица перехода от базиса e кбазисуf , подставим матрицы Be , B f , A⎛ x1 ⎞ ⎛ 2⎜ ⎟ ⎜⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 1⎜x ⎟ ⎜ 1⎝ 3⎠ ⎝x 2 = −2 , x3в последнююформулу:2 3⎞ ⎛ 2⎞⎟ ⎜ ⎟0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ .

Перемножив две матрицы, найдем x1 , x2 , x3 : x1 = 7 ,2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠= 3 . Итак, b = (7, − 2, 3) в базисе e .70в) (9,−3,8) – координаты вектора c в исходном базисе e , ( x1 , x2 , x3 ) –⎛ 9 ⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟координаты вектора c в базисе f = ( f1 , f 2 , f 3 ) , т.е. Ce = ⎜ − 3 ⎟ , C f = ⎜ x2 ⎟ .⎜ 8 ⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠Подставив матрицы C e , C f , A в формулу Ce = Te→ f ⋅ C f , получим СЛАУ,⎛ 9 ⎞ ⎛ 2 2 3 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜записанную в матричном виде: ⎜ − 3 ⎟ = ⎜ − 1 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ . Решив эту систему⎜ 8 ⎟ ⎜ 1 2 1⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝методом Гаусса, получим x1 = 3 , x2 = 3 , x3 = −1 .

Итак, c = (3, 3, − 1) вбазисе f .Задача 3. Убедившись в линейности оператора A :V3 → V3 ,переводящего вектора x = ( x1 , x2 , x3 ) в y = Ax , найти его матрицу вортонормированном базисе i , j , k . Ax = [ x , a ] , где a = (3,1,−2 ) .Решение. Линейность данного оператора вытекает из свойств векторногопроизведения:1) A( x + y ) = [ x + y, a ] = [ x , a ] + [ y , a ] = Ax + Ay ∀x , y ∈ V3 ;2) A(λx ) = [λx , a ] = λ ⋅ [ x , a ] = λ ⋅ Ax ∀x ∈ V3 , ∀λ ∈ R .Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыAi = [i , a ] = (0,2,1) ,базисныхвекторов:Aj = [ j , a ] = (− 2,0,−3) ,Ak = [k , a ] = (− 1,3,0 ) .

Из полученных векторов составим матрицу линейного⎛ 0 − 2 − 1⎞⎜⎟3 ⎟.оператора: A = ⎜ 2 0⎜1 − 3 0 ⎟⎝⎠Задача 4. Привести матрицу A линейного оператора A кдиагональному виду. Указать соответствующую матрицу перехода.⎛ 2 − 1 − 1⎞⎜⎟A = ⎜ − 1 2 − 1⎟ .⎜−1 −1 2 ⎟⎝⎠Решение. Будем опираться на теорему: матрица линейного оператораA : L → L в некотором базисе является диагональной тогда и только тогда,когда все векторы этого базиса являются собственными векторамиоператора A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим2−λ−1−1характеристическое уравнение A − λE = − 1 2 − λ− 1 = 0 . λ1 = 0 ,−1−1 2 − λλ2 = λ3 = 3 – корни характеристического уравнения.71б) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ⎧ 2 x1 − x2 − x3 = 0( A − λE ) ⋅ X = O .

Для λ1 = 0 СЛАУ имеет вид ⎪⎨− x1 + 2 x2 − x3 = 0 . Ранг⎪− x − x + 2 x = 023⎩ 1матрицы системы равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1решения. Решив СЛАУ методом Гаусса, получим общее решение⎛ 1⎞⎛1⎞⎛α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟системы X = ⎜ α ⎟ = α ⎜1⎟ ∀α , где ⎜1⎟ – ФСР системы. f 1 = (1,1,1) –⎜ 1⎟⎜1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠собственный вектор, отвечающий собственному значению λ1 = 0 .

Для⎧− x1 − x2 − x3 = 0⎪λ2 = λ3 = 3 СЛАУ имеет вид ⎨− x1 − x2 − x3 = 0 . Ранг матрицы системы⎪− x − x − x = 023⎩ 1равен 1, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений. Общее⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎛−α − β ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟решение СЛАУ имеет вид X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 1 ⎟ + β ⎜ 0 ⎟ ∀α , β , где ⎜ 1 ⎟ и⎜1⎟⎜ 0⎟⎜ β ⎟⎜0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ 0 ⎟ – ФСР системы. f 2 = ( −1,1,0) f 3 = ( −1,0,1) – линейно независимые⎜1⎟⎝ ⎠собственные векторы, отвечающие собственному значению λ2 = λ3 = 3 .Таким образом, найденные векторыf 1 = (1,1,1) ,f 2 = (−1,1,0)f 3 = ( −1,0,1) образуют искомый базис, состоящий из собственных векторовоператора A .

Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид⎛0 0 0⎞⎜⎟A f = ⎜ 0 3 0 ⎟ . На диагонали матрицы A f расположены собственные⎜ 0 0 3⎟⎝⎠значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.⎛ 1 − 1 − 1⎞⎜⎟Матрица перехода от базиса e к базису f имеет вид Te→ f = ⎜1 10 ⎟,⎜1 01 ⎟⎠⎝причем A f = Te−→1 f ⋅ A ⋅T e→ f .Замечание. Для решения данной задачи необходимо найти линейнонезависимые собственные векторы оператора A .

Нет необходимостинормировать найденные собственные векторы.72Задача 5. Привести квадратичную форму к каноническому видуметодом Лагранжа. Указать соответствующую матрицу перехода.f ( x ) = f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + 5 x22 + 5 x32 − 4 x1 x2 + 6 x1 x3 + 20 x2 x3 .Решение. Так как a11 = 1 ≠ 0, то соберем слагаемые, содержащие x1 , идополним полученное выражение до полного квадрата:x12 − 4 x1 x2 + 6 x1 x3 = x12 + 2 x1 ( −2 x2 + 3 x3 ) + ( −2 x2 + 3 x3 ) 2 − (−2 x2 + 3 x3 ) 2 == ( x1 − 2 x2 + 3 x3 ) 2 − (4 x22 − 12 x2 x3 + 9 x32 ) = y12 − 4 x22 + 12 x2 x3 − 9 x32 ,где y1 = x1 − 2 x2 + 3 x3 .Итак,f ( x ) = y12 − 4 x22 + 12 x2 x3 − 9 x32 + 5 x22 + 5 x32 + 20 x2 x3 = y12 + x22 − 4 x32 + 32 x2 x3 .Так как коэффициент при x 22 равен 1 ≠ 0 , то соберем все слагаемые,содержащие x 2 , и дополним полученное выражение до полного квадрата:x22 + 32 x2 x3 = x22 + 2 x2 ⋅ 16 x3 + (16 x3 ) 2 − (16 x3 ) 2 == ( x2 + 16 x3 ) 2 − 256 x32 = y 22 − 256 x32 , где y 2 = x2 + 16 x3 .Итак, f ( x ) = y12 + y 22 − 256 x32 − 4 x32 = y12 + y 22 − 260 x32 = y12 + y 22 − 260 y32 , гдеy1 = x1 − 2 x2 + 3 x3 , y 2 = x2 + 16 x3 , y3 = x3 .

Найдем матрицу перехода отстарого базиса к новому. Для этого выразим переменные x1 , x 2 , x3 через⎛ 1 2 − 35 ⎞⎧ x1 = y1 + 2 y 2 − 35 y3⎜⎟⎪. Итак, X = UY , где U = ⎜ 0 1 − 16 ⎟ –y1 , y 2 , y3 : ⎨ x2 = y 2 − 16 y3⎜0 0⎪x = y1 ⎟⎠3⎝⎩ 3матрица перехода от старого базиса e к новому базису f .Окончательно получим: f ( x ) = y12 + y 22 − 260 y32 . Указанный каноническийвид квадратичная форма имеет в каноническом базисе f 1 = e1 , f 2 = 2 e 1 + e 2 ,f 3 = −35 e 1 − 16 e 2 + e 3 .Задача 6.

Привести квадратичную форму к каноническому видуортогональным преобразованием.f ( x ) = f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 4 x2 x3 .⎛ 1 − 2 − 2⎞⎜⎟Решение. а) A = ⎜ − 2 1 − 2 ⎟ – матрица квадратичной формы в исходном⎜− 2 − 2 1 ⎟⎝⎠ортонормированном базисе e . Найдем собственные значения матрицы A .Для этого решим характеристическое уравнение731− λA − λE = − 2−2−2−21− λ − 2 = 0.− 2 1− λλ1 = λ2 = 3 ,λ3 = −3–корни⎛3 0 0 ⎞⎜⎟характеристического уравнения. Λ = ⎜ 0 3 0 ⎟ – матрица квадратичной⎜ 0 0 − 3⎟⎝⎠формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ). В базисе f квадратичная форма имеет каноническийвид f ( x ) = f ( y1, y 2 , y3 ) = 3 y12 + 3 y 22 − 3 y32 .б) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O .

Для λ3 = −3СЛАУ,записаннаявматричнойформе,имеетвид⎛ 4 − 2 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − 2 4 − 2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Решив СЛАУ, получим общее решение системы:⎜ − 2 − 2 4 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜0⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎛ 1⎞⎛α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟X = ⎜ α ⎟ = α ⎜1⎟ ∀α . Вектор a 3 = (1,1,1) является собственным вектором⎜ 1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠матрицы A , отвечающим собственному значению λ3 = −3 .

Нормируясобственный вектор a 3 , получим f 3 = 13 , 13 , 13 . Координаты собственных(векторов,⎛− 2 − 2⎜⎜− 2 − 2⎜− 2 − 2⎝)отвечающих собственному значению λ1 = λ2 = 3 , найдем из СЛАУ− 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ОбщеерешениеСЛАУимеетвид− 2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .− 2 ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠⎛ − 1⎞⎛−α − β ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 0 ⎟ + β ⎜ 1 ⎟ ∀α , β . a 1 = ( −1,0,1) , a 2 = (−1,1,0) - линейно⎜0⎟⎜ β ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠независимые собственные векторы, отвечающие собственному значениюλ1 = λ2 = 3 .в) Найденные собственные векторы a 1 = ( −1,0,1) и a 2 = ( −1,1,0) линейнонезависимы,ноортогональныминеявляются.Построимортонормированную пару собственных векторов, соответствующуюсобственному значению λ1 = λ2 = 3 , при помощи метода ортогонализацииГрама-Шмидта:1) g1 = a 1 = ( −1,0,1) ,f 1 = g1 / g1 = − 12 , 0, 12 ;()742) (a 2 , f 1 ) =12(f 2 = g2 / g2 = −Найденные(), g 2 = a 2 − (a 2 , f 1 ) ⋅ f 1 = − 12 , 1, − 12 ,1 , 266векторы,−16).(f1 = −12, 0,12(),f2 = −ортонормированными.г) Таким образом, найденные векторы f 1 = −f3 =((1 , 1 , 133312, 0,1 , 26612),,−16()f2 = −являются1 , 266,−16),) образуют искомый ортонормированный базис, состоящий из1 ⎞⎛− 1 − 1⎜ 263⎟21⎜⎟ являетсясобственных векторов оператора A .

Матрица U = 063⎜ 1⎟11 ⎟⎜−63⎠⎝ 2ортогональной матрицей перехода от старого ортонормированного базиса eк новому ортонормированному базису f , состоящему из собственныхвекторов матрицы A , причем Λ = U −1 AU = U T AU .Задача 7. Построить кривую, приведя ее уравнение к каноническомувиду ортогональным преобразованием координат. − 7 x 2 + 48 xy + 7 y 2 = 625 .⎛ − 7 24 ⎞⎟⎟ .Решение. Рассмотрим матрицу квадратичной формы A = ⎜⎜⎝ 24 7 ⎠Уравнение кривой второго порядка можно записать в матричном виде:⎛ x⎞X T A X = 625 , где X = ⎜⎜ ⎟⎟ – матрица-столбец переменных. Методом⎝ y⎠ортогонального преобразования приведем квадратичную форму X T A X кканоническому виду. Для этого найдем собственные значения исоответствующие им собственные векторы матрицы A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим24−7−λ= 0 .