А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 7

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå ñàìîì äåëå, òàê êàêG(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ),QMãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â D, òî íàéäåòñÿ òàêàÿêîíñòàíòà C > 0, ÷òî |v| 6 C . ÑëåäîâàòåëüíîkG(Q, M )k 62ZZ116π rDDdVQ dVM2 2QMC+π2ZZ1rQMdVQ dVM + C 2 V02 ,DDãäå V0 îáúåì îáëàñòè D.  [7] ïîêàçàíî, ÷òî èíòåãðàëûZ1I1 (M ) =2rQMDdVQ , I2 (M ) =Z1rQMdVQDÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè.

Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàëûZI1 (M )dVM ,DZI2 (M )dVMDîãðàíè÷åíû.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî L2 (D × D), ñîñòîÿùåå èç âñåõ ôóíêöèéA(Q, M ), òàêèõ ÷òîkA(Q, M )k =2ZZ|A(Q, M )|2 dVQ dVM < ∞.DD êà÷åñòâå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â L2 (D × D) âîçüìåì(A, B) =ZZB(Q, M )A(Q, M )dVM dVQ .DDÐàññìîòðèì îïåðàòîðû âèäàZ(Af )(M ) =A(Q, M )f (Q)dVQ ,(2.3.25)Dãäå A(Q, M ) ∈ L2 (D × D), f ∈ L2 (D).Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [20]:Òåîðåìà 2.3.1 Äëÿ ëþáîãî ÿäðà A(Q, M ) ∈ L2 (D × D) îïåðàòîð A,îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì (2.3.25), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì â L2 (D), è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(Af )(M ) = (A0 f )(M ),453. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåãäå A0 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîìA0 (Q, M ) =∞X(Aϕk , ϕn )ϕn (M )ϕk (Q),(2.3.26)n,k=1(Aϕk , ϕn ) =Z ZDãäå{ϕn }∞1L2 (D).A(Q, M )ϕk (Q)dVQϕn (M )dVM ,D ëþáàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé âÏîñêîëüêó ñèñòåìà {vn }∞1 ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ (2.3.23) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé â L2 (D),òî, íîðìèðîâàâ åå íà åäèíèöó, ýòó ñèñòåìó ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå{ϕn }∞1 .

Ðàññìîòðèì âûðàæåíèåZ(Gf )(M ) =G(Q, M )f (Q)dVQDäëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D).  ñèëó òåîðåìû 2.3.1 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(Gf )(M ) = (G0 f )(M ),ãäå G0 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîìG0 (Q, M) =Z∞ ZX G(Q0 , M 0 )vk (Q0 )dVQ0  vn (M 0 )dVM 0 vn (M )vk (Q)=n,k=1DDÈñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (2.3.24), ïîëó÷àåìZG(Q0 , M 0 )vk (Q0 )dVQ0 =1 vk (M 0 ).λkD ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé {vn }∞ñïðàâåäëèâî1ðàâåíñòâîZ1 vk (M 0 )vn (M 0 )dVMλk0=1 δnk .λkDÑëåäîâàòåëüíî,G0 (Q, M ) =∞Xvn (M )vn (Q)n=1λn.46Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÄàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïî íîðìå L2 (D × D).

Èòàê, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZG(Q, M )f (Q)dVQ =ZX∞vn (M )vn (Q)λnD n=1Df (Q)dVQ .Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîG(Q, M ) =∞Xvn (M )vn (Q)λnn=1,(2.3.27)íî ðàâåíñòâî (2.3.27) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ðàâåíñòâî ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà L2 (D × D).  ïðîñòðàíñòâå L2 (D × D) äâà ýëåìåíòà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè íîðìà èõ ðàçíîñòè ðàâíà 0.Ïðèìåð 2.3.22. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè ïðÿìîóãîëüíîãîïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðåáðàìè a, b, c.Ð ÅØÅÍÈÅ . Òàê êàê ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííîé ôóíêöèåé è ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 4πq ñîâïàäàåò ñôóíêöèåé Ãðèíà, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (2.3.27).

Äëÿýòîãî íàéäåì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷èØòóðìàËèóâèëëÿ â ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå ñ óñëîâèÿìè Äèðèõëå: ∆v + λv = 0, x ∈ (0, a), y ∈ (0, b), z ∈ (0, c), v|x=0 = v|x=a = v|y=0 = v|y=b = v|z=0 = v|z=c = 0.Êàê èçâåñòíî [1], ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîéçàäà÷è èìåþò âèä:rvnmk =λnmk =8abcπnasin2+πnπmπkx siny sinzabcπmb2+πkc2,, ãäå n, m, k ∈ N.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.3.27), ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë ïîëÿ çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä:ϕ(x, y , z , x0 , y0 , z0 ) =8× πn πn abc πm πm πk πk ∞x sinx0 siny siny0 sinz sinz0X sinaabbcc×. πn 2 πm 2 πk 2k,m,n=1++abc473.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â ïðÿìîì êðóãîâîì öèëèíäðå âûñîòû h, ðàäèóñà a.Çàäà÷à 2.3.24. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â ñåêòîðå ïðÿìîãî êðóãîâîãî öèëèíäðà âûñîòû h,ðàäèóñà a, ñ óãëîì ðàñòâîðà α.3.3. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.

Êàê áûëî ñêàçàíîâûøå, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ôóíêöèþ ÃðèíàÇàäà÷à 2.3.23.G(Q, M ) =14πr+ v(Q, M )QMâíóòðåííåé èëè âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà âòðåõìåðíîì ñëó÷àå, äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó(∆Q v = 0,v|S = −14πrQ ∈ D,,P ∈S(2.3.28)PMâ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D ñ ãðàíèöåé S , ëèáî çàäà÷ó ∆Q v = 0, Q ∈ De ,1 , P ∈ S,v|S = −4πrPMv ⇒ 0 íà áåñêîíå÷íîñòè(2.3.29)â îáëàñòè De , âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D. Îäíèì èç ñïîñîáîâðåøåíèÿ çàäà÷ (2.3.28) è (2.3.29) ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. äàííîì ïîñîáèè îãðàíè÷èìñÿ âàæíûì äëÿ ïðèëîæåíèé ñëó÷àåìñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò.

Ïóñòü òî÷êà íàáëþäåíèÿ Q èìååò êîîðäèíàòû(r, θ, ψ), à òî÷êà èñòî÷íèêà M èìååò êîîðäèíàòû (r0 , θ0 , ψ0 ). Îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷åííîåìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäåðÿäà [1]:v(r, θ, ψ) =+∞ XnXn=0 m=0∞ XnXrn (Cn,m cos mψ + Dn,m sin mψ) Pn(m) (cos θ)+n=0 m=01rn+1(En,m cos mψ + Fn,m sin mψ) Pn(m) (cos θ),(2.3.30)ãäå Pn(m) (cos θ) ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè Ëåæàíäðà. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî íàéòè íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû Cn,m , Dn,m ,En,m , Fn,m , èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.

Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ, ñòîÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì ðàçëîæåíèå ôóíäàìåíòàëüíîãî48Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåðåøåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ðÿä ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Ïðèìåíÿÿôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà Pn [1]11 + t2 − 2tαpïîëó÷àåì:14πr=QM==∞Xtn Pn (α),|t| < 1,n=0114π qr2 + r02 − 2rr0 cos γ =∞ n1 Xr04πr n=0 r Pn (cos γ), åñëè r > r0 ,∞ nr1 X4πr0 n=0 r0 Pn (cos γ), åñëè r < r0 ,(2.3.31)ãäå cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ).

Åñëè îðèåíòèðîâàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû òî÷êà èñòî÷íèêà M íàõîäèëàñüíà îñè Oz , òî sin θ0 = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, cos γ = cos θ. Îïèñàííûé ìåòîä îñîáåííî óäîáíî ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ â øàðå è åãî ÷àñòÿõ.Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ äîñòàòî÷íî ïîäñòàâèòüâûðàæåíèå (2.3.30) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàäà÷è (2.3.28) èëè (2.3.29)(è â óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè â ñëó÷àå âíåøíåé çàäà÷è) è ñðàâíèòüêîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì âïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà.Ïðèìåð 2.3.25. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûìçàðÿäîì âåëè÷èíû q âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ, îãðàíè÷åííîãî äâóìÿêîíöåíòðè÷åñêèìè ïðîâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè a è b.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ïóñòü çàðÿä q ïîìåùåí â òî÷êó M0 âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ.Èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) =q+ v(M , M0 ),rM M 0ãäå v(M , M0 ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè M . Ââåäåìñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðêîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð. Íàïðàâèì îñü Oz âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåéöåíòð ñôåð è òî÷êó M0 .

Ôóíêöèÿ v(M , M0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è: , b), θ ∈ (0, π), ∆v = 0, r ∈ (aqq = −q, v|r=a = − r22P M0 r=aa + r0 − 2ar0 cos θq q= −q, v|r=b = − r22P M0r=b2b + r0 − br0 cos θ493. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåãäå M0 = M0 (r0 , 0, 0) è M = M (r, θ, ψ).

 ïîñòàíîâêå çàäà÷è íåò çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííîé ψ , ïîýòîìó ôóíêöèÿ v(M , M0 ) çàâèñèò òîëüêîîò r è θ. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñàâ øàðîâîì ñëîå [2] ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:v=∞X∞Ann=0Xr2n+1 − a2n+1b2n+1 − r2n+1P(cosθ)+Pn (cos θ),Bnnrn+1rn+1n=0ãäå êîýôôèöèåíòû An è Bn íàõîäÿòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïðåîáðàçóåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê áîëåå óäîáíîìó äëÿ äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿâèäó:q−q=−2a2 + r02 − ar0 cos θ=−∞ q X a nPn (cos θ),r0r0òàê êàê r0 > a, è−q+r02=−=1 + (a/r0 )2 − 2(a/r0 ) cos θn=0qb21qqr0qb=− q2− br0 cos θ1 + (r01/b)2=2− (r0 /b) cos θ∞ q X r0 nPn (cos θ),bbn=0òàê êàê r0 < b.

Ïîäñòàâèì îáùåå ðåøåíèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èíàéäåì íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû:∞XBnn=0∞Xn=0∞ b2n+1 − a2n+1q X a nP(cosθ)=−Pn (cos θ),nr0r0an+1n=0An∞ q X r0 nb2n+1 − a2n+1P(cosθ)=−Pn (cos θ).nbbbn+1n=0Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè â ýòèõ ðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìAn = −qbr0bbn+1nbBn = −Ñëåäîâàòåëüíî:v=−2n+1qr02n+1−aar0= −qb2n+1an+1nb2n+1− a2n+1r0n− a2n+1.∞ q X r0 n r2n+1 − a2n+1Pn (cos θ)−rrb2n+1 − a2n+1n=0∞qX−an=0a2r0 rn+1b2n+1 − r2n+1b2n+1 − a2n+1Pn (cos θ).,50Ãë. 2.

Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôóíêöèþ Ãðèíà, çàâèñÿùóþ îò ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê M (r, θ, ψ) è M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ, ñëåäóåò ïîëîæèòü q = 1 è çàìåíèòü cos θ íà êîñèíóñ4πóãëà ìåæäó âåêòîðàìè OM è OM0 :Çàìå÷àíèå 2.3.8cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ).Èòàê, ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ èìååòâèä:G(M , M0 ) =14πrM M0−1−1∞ n 2n+1Xr− a2n+1r04πr n=0∞ 2 n+1 2n+1Xab− r2n+14πa n=0r0 rb2n+1 − a2n+1rb2n+1 − a2n+1Pn (cos γ)−(2.3.32)Pn (cos γ).Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îáëàñòè a2 6 x2 + y 2 + z 2 6 b2 , z > 0, a < b.Ñîâåò: Âîñïîëüçóéòåñü ôîðìóëîé (2.3.32) è ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Çàäà÷à 2.3.26.Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.3.18) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíàîïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â øàðå ðàäèóñà a ìåòîäîìðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.3.27.Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.3.19) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíàîïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå âíå øàðå ðàäèóñà a ìåòîäîìðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.3.28.3.4.

Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Ìåòîä Ôóðüå ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ óäîáåí â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ â áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòèΩ = {(x, y) ∈ D, z ∈ (−∞, +∞)}. Ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî èñêàòüâ âèäå u = u(M , z), ãäå M òî÷êà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè Döèëèíäðà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèå u(M , z) óðàâíåíèÿ äîïóñêàåòïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z , òî åñòü ñóùåñòâóåò åãîÔóðüå-îáðàç+∞Z1ub(M , µ) = √u(M , z)e−iµz dz.2π −∞Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê óðàâíåíèþ è ãðàíè÷íûìóñëîâèÿì íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, äëÿ Ôóðüå-îáðàçà ub(M , µ)ïîëó÷èì êðàåâóþ çàäà÷ó â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè öèëèíäðà.513. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏðèìåð 2.3.29.