А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 5

Ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè äî áëèæàéøåé ê íåé òî÷êè îòðåçêàðàâíî h.Ð ÅØÅÍÈÅ . Âûáåðåì óäîáíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïóñòü ïðîâîäÿùàÿïëîñêîñòü ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ z = 0, à îòðåçîê öåëèêîì ðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè Oyz , ïðè÷åì îñü Oz ïðîõîäèò ÷åðåçòî÷êó M1 îòðåçêà, ðàñïîëîæåííóþ áëèæå âñåãî ê ïëîñêîñòè z = 0 (ñì.ðèñ 2.3.2). Ïóñòü M0 ëþáàÿ òî÷êà îòðåçêà.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ äëèíóîòðåçêà M1 M0 .30Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåzMM0M1αhy0Ðèñ. 2.3.2.ϕ(x, y , z) = e0ZL−ex2dξq−2x + (y − ξ cos α)2 + (z − h − ξ sin α)2A2+=ZLdξq0Ïîòåíöèàë ïîëÿ ϕ(x, y , z), ñîçäàâàåìîãî îòðåçêîì â ïðèñóòñòâèè çàçåìëåííîé ïëîñêîñòè â òî÷êå íàáëþäåíèÿM (x, y , z), ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêñóììó ïîòåíöèàëîâ ïîëåé ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ âåëè÷èíû edξ , íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåííûõ âäîëü ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà, à òàêæå èõ èçîáðàæåíèé âïëîñêîñòè z = 0:+ (y − ξ cos α)2 + (z + h + ξ sin α)2ZLãäåx0 = 0, y0 = ξ cos α, z0 = h + ξ sin α.dξq0=eZLÊîîðäèíàòû òî÷êè M0 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âåëè÷èíó ξ ïî ôîðìóëàì:−2B+−e+ (ξ − B+)20dξq22A− − B− + (ξ − B− )2,A2± = x2 + y 2 + (z ∓ h)2 , B± = y cos α ± (z ∓ h) sin α.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ âîñïîëüçóåìñÿ òàáëè÷íîé ôîðìóëîé:Zdxpx2 + a2p= ln x + x2 + a2 + C. ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:q2 + (L − B )2 L − B+ + A2+ − B++qϕ(x, y , z) = ln 2 + (L − B )2 L − B− + A2− − B−− − ln A+ − B+ .A− − B−Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q , ðàñïîëîæåííîãî â çàäàííîé òî÷êå M0 îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé äâóìÿïàðàëëåëüíûìè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè ïëîñêîñòÿìè.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ïóñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ðàâíî l. Âûáåðåìñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïëîñêîñòü z = 0 ñîâïàäàëà ñîäíîé èç ãðàíè÷íûõ ïëîñêîñòåé (ðèñ. 2.3.3). Ïóñòü çàðÿä ïîìåùåí âòî÷êó M0 = M0 (x0 , y0 , z0 ), à M = M (x, y , z) òî÷êà íàáëþäåíèÿ.Ïðèìåð 2.3.5.3. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå31Ðèñ. 2.3.3.Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:∆u = −4πqδ(M , M0 ), (x, y) ∈ R2 , z ∈ (0, l),u|z=0 = u|z=l = 0.(2.3.10)(2.3.11)Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ôóíäàìåíòàëüíîãîðåøåíèÿ (ïîòåíöèàëà òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 ) èãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè:u=q+ v , ∆v = 0.r M M0Ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ v , òàêóþ ÷òîáû èñêîìàÿ ôóíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, ìîæíî íàéòè ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé â ïëîñêîñòÿõ z = 0 èz = l.Øàã 1. Îòîáðàçèì çàðÿä q â ïëîñêîñòè z = 0 è ïîìåñòèì â òî÷êó(x0 , y0 , −z0 ) ôèêòèâíûé çàðÿä âåëè÷èíû −q .

Ôóíêöèÿu0 = qãäår0 =r00 =1r0−1r00,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.3.10) è óñëîâèþ u0 = 0 ïðè z = 0. Îäíàêîóñëîâèå u0 = 0 ïðè z = l íå âûïîëíÿåòñÿ.32Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåØàã 2. Ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå ñèñòåìû çàðÿäîâ, ðåàëüíîãî, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå (x0 , y0 , z0 ), è ôèêòèâíîãî, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå(x0 , y0 , −z0 ), îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z = l, ìåíÿÿ çíàêè ó îòîáðàæåííûõ çàðÿäîâ íà ïðîòèâîïîëîæíûå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñèñòåìó÷åòûðåõ çàðÿäîâ. Ôóíêöèÿu1 = qãäår1 =r00 =1r0−1+qr0011−r1r10,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2l + z0 ))2 ,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2l − z0 ))2óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.3.10) è óñëîâèþ u1 = 0 ïðè z = l, íî íåîáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè z = 0.Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿÿ îòîáðàæåíèÿ â ïëîñêîñòÿõ z = 0 è z = l,ïîëó÷èì ðåøåíèå â âèäå ðÿäàu=q+∞ Xrnn=−∞ãäårn =rn0 =1−1rn0,(2.3.12)q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2ln + z0 ))2q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2ln − z0 ))2Ïîêàæåì, ÷òî ýòîò ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ.

Ðàññìîòðèìan =1rn−−q= − 2z0ãäå11=qrn0−2(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − ( ln + z0 ))21(x − x0)2=2+ (y − y0 )2 + (z − ( ln − z0 ))221z − ( ln + z0∗ )∂= −2 z 0,∂z0 rn z0 =z0∗(rn∗ )3rn∗ = rn (z0∗ ) =qz0∗ ∈ (0, l),(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2ln + z0∗ ))2 .Ñëåäîâàòåëüíî,|an | <2l(rn∗ )2<221( n − )2 l.3. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏîëó÷åííàÿ îöåíêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ðÿä+∞X33an ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîn=−∞è àáñîëþòíî, òàê êàê ñõîäèòñÿ åãî ìàæîðàíòíûé ðÿä.

Àíàëîãè÷íûìîáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðÿä (2.3.12) ìîæíî äâàæäû äèôôåðåíöèðîâàòü. Óñëîâèÿ u = 0 ïðè z = 0 è z = l òàêæå îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè, òàê êàê íà êàæäîì øàãå îäíî èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âûïîëíÿåòñÿ1òî÷íî, à îøèáêà â äðóãîì ãðàíè÷íîì óñëîâèè óáûâàåò êàê 2 .nÍàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíóòðèäâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π , n ∈ N.nÐ ÅØÅÍÈÅ . Ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà ïîñòîÿííóþ ðàññìàòðèâàåìàÿçàäà÷à ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å î íàõîæäåíèè ïîòåíöèàëà ïîëÿ çàðÿäà,ïîìåùåííîãî âíóòðü äâóãðàííîãî óãëà, îãðàíè÷åííîãî èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè ïëîñêîñòÿìè.Íàïðàâèì îñü z âäîëü ðåáðà óãëà è ââåäåì öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Ïóñòü çàðÿä +q ïîìåùåí â òî÷êó M0 (r0 , ψ0 , z0 ).

Ìàòåìàòè÷åñêàÿïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:Ïðèìåð 2.3.6.π∆ϕ = −4πqδ(M , M0 ), ψ ∈ 0,,ϕ|ψ=0 = ϕ|ψ= π = 0.nn(2.3.13)(2.3.14)Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé. ×òîáû óäîâëåòâîðèòü îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ïîëóïëîñêîñòè ψ = 0îòîáðàçèì èñõîäíûé çàðÿä îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ψ = 0, à ÷òîáûπóäîâëåòâîðèòü óñëîâèÿì íà ïîëóïëîñêîñòè ψ = îòîáðàçèì èñõîäíûénπçàðÿä îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ψ = (ðèñ. 2.3.4 à)). Íàëè÷èå äâóõnïëîñêîñòåé ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîïûòêà óäîâëåòâîðèòü îäíîðîäíîìóãðàíè÷íîìó óñëîâèþ ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé íà îäíîé èç íèõ ïðèâîäèò ê íàðóøåíèþ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà äðóãîé.

Ïîýòîìó íå óäàåòñÿ óäîâëåòâîðèòü äâóì óñëîâèÿì ñðàçó. Îòîáðàçèì ýòóπñèñòåìó çàðÿäîâ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòåé ψ = 0 è ψ = (ðèñ. 2.3.4 á))nè áóäåì ïðîäîëæàòü ýòîò ïðîöåññ ïîêà ¾êðóã íå çàìêíåòñÿ¿. Òîãäà íàn − 1 øàãå ïîëó÷èì ñèñòåìó çàðÿäîâ, ïîòåíöèàë ñóììàðíîãî ïîëÿ êîòîðûõ óäîâëåòâîðèò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ÷òî ñëåäóåò èç ãåîìåòðè÷åñêèõñîîáðàæåíèé. Âñå ôèêòèâíûå çàðÿäû áóäóò ðàñïîëîæåíû íà îêðóæíîñòè r = r0 â ïëîñêîñòèz = z0 .

 ðåçóëüòàòå â òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè2πkr0 ,+ ψ0 , z0 , k = 0, 1, ..., n − 1, îêàæóòñÿ ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû,nà â òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìèîòðèöàòåëüíûå.r0 ,2πk − ψ0 , z0 ,nk = 0, 1, ..., n − 1 2 À.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò. Ëåâàøîâà, È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà, Í.Å.

Øàïêèíà34Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÐèñ. 2.3.4.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî âòî÷êó M0 âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) = qn−X1 k=01+RMMk−1−RMMk(2.3.15).Çäåñü, k = 0, 1, ..., n − 1 ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè íàáëþäåíèÿM (r, ψ , z) äî çàðÿäîâ ñèñòåìû:r2πk + ψ0 − ψ + (z − z0 )2 ,+RM Mk = r02 + r2 − 2r0 r cosnr±RMMk−RMMk =r02 + r2 − 2r0 r cos12πk − ψ0 − ψn2+ (z − z0 ) .Ïîëîæèâ, êàê è ðàíüøå, q =4π â âûðàæåíèè (2.3.15), ìû ïîëó÷èìπôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå â äâóãðàííîì óãëå âåëè÷èíû .nÇàìå÷àíèå 2.3.4 Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõèçîáðàæåíèé äëÿ çàäà÷è ñ äâóãðàííûì óãëîì ñóùåñòâåííî, ÷òîn ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè n íå öåëîå, òîäëÿ âûïîëíåíèÿ îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ÷àñòü ôèêòèâíûõçàðÿäîâ ïðèäåòñÿ ðàñïîëîæèòü âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè.À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë ïîëÿ, ïîðîæäàåìîãî ôèêòèâíûìèçàðÿäàìè, íå áóäåò ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé âíóòðè óãëà.Ïðèìåð 2.3.7.

Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå â øàðåK(O, a) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì a, òî åñòüíàéäèòå ðåøåíèå ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è:∆M G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ), M , M0 ∈ K(O, a),G|r=a = 0.353. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÐ ÅØÅÍÈÅ . Ôóíêöèþ Ãðèíà:G(M , M0 ) =14πr+ v(M , M0 )M M0ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Ïîìåñòèì â òî÷êó M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) âíóòðè øàðà çàðÿä âåëè÷èíû1 . Ðàññìîòðèì òî÷êó M1 (r1 , θ0 , ψ0 ), ñèììåòðè÷íóþ òî÷êåq =4πM0 (r0 , θ0 , ψ0 ) îòíîñèòåëüíî ñôåðû Σ(O, a) ñ öåòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò è ðàäèóñîì a, òî åñòü òàêóþ òî÷êó, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíîñîîòíîøåíèå:r0 · r1 = a2 .(2.3.16)Ïîêàæåì, ÷òî ïîìåñòèâ â òî÷êó M1 çàðÿä îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû,ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ïîòåíöèàë ñóììàðíîãî ïîëÿ íà ñôåðå ðàâíÿëñÿíóëþ.Ïóñòü M (r, θ, ψ) ëþáàÿ òî÷êà âíóòðè øàðà.

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ρ0 = M M0 ,ρ1 = M M1 . Òî÷êó íà ñôåMðå Σ(O, a), ëåæàùóþ íà ëó÷å OM , îáîçíà÷èì P . Óãîë,êîòîðûé ñîñòàâëÿþò âåêòîðû−−→ −−→OM è OM 0 îáîçíà÷èì γ (ðèñ2.3.5).Ïîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè M P OM0 è M M1 OPÐèñ. 2.3.5.ïîäîáíû. Äåéñòâèòåëüíî, óãîë∠P OM0 ó íèõ îáùèé, à èç óñëîâèÿ (2.3.16) ñëåäóåòOM0OP=.OPOM1Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òîρ0r= 0.ρ1a(2.3.17)Òàê êàê òî÷êà M1 ðàñïîëàãàåòñÿ âíå øàðà, òî ôóíêöèÿ v =ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé.

Íàéäåì òàêîå A, ïðè êîòîðîìv|Σa =Ar M M11A.=−rP M1πrP M014aÈç ðàâåíñòâà (2.3.17) ïîëó÷àåì A = −. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíê4π r0öèÿ1 1 −a 1G(M , M0 ) =(2.3.18)4π2*r M M0r 0 r M M136Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåîáðàùàåòñÿ â íóëü íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû.  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõâûðàæåíèÿ äëÿ rM M0 è rM M1 èìåþò âèä:rM M0 =qãäå 1)r2 + r02 − 2rr0 cos γ ,rM M1 =qr2 + r12 − 2rr1 cos γ ,cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ).Ïðèìåð 2.3.8.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíå øàðàK(O, a), òî åñòü íàéäèòå ðåøåíèå ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è:∆ G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ), M , M0 âíå K(O, a), MG|r=a = 0,G ⇒ 0 ïðè r → +∞.Ð ÅØÅÍÈÅ . Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ôóíêöèþ Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è,1ïîìåñòèì òî÷å÷íûé çàðÿä q =4π â òî÷êó0 M0 (rqa0 , θ0 , ψ0 ) âíå øàðà.

Åñëèïîìåñòèòü ôèêòèâíûé çàðÿä âåëè÷èíû q = − â ñîïðÿæåííóþ òî÷êóa2,θ ,ψr0 0 0r0âíóòðè øàðà, òî ñóììàðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ íà ñôåðåΣ(O, a) áóäåò ðàâåí íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿôóíêöèÿ1 1 −a 1 .(2.3.19)G(M , M0 ) =M14πr M M0r0 rM M 1Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíû ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ ïðîñòåéøèõ îáëàñòåé. Ïðåäëîæåííûå ìåòîäû ìîæíî ïðèìåíèòü è äëÿ çàäà÷ íàõîæäåíèÿïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ïðè íàëè÷èè ïðîâîäíèêîâ ðàçëè÷íîéôîðìû.Ïðèìåð 2.3.9. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âíåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå â ïðèñóòñòâèè íåçàðÿæåííîé ïðîâî-) Ðàññìîòðèì 4OM M0 (ñì. ðèñ.