А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 2

Òîãäà ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéôóíêöèîíàëρ(M , M ) = q · δ(M , M ).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëíîãî çàðÿäà íóæíî ïîäåéñòâîâàòü ýòèì ôóíêöèîíàëîì íà ôóíêöèþ ψ(x) ≡ 1:hρ(M , M ),1i = q.Åñëè â îáëàñòè D ðàñïðåäåëåí çàðÿä ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþρ(M ). Òîãäà ïîëíûé çàðÿä ýòîé îáëàñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ïîôîðìóëå:ZQ = ρ(M )dV = hρ(M ),1i.ψ (M0 ) = lim hfε ψi.ε→00000000000D äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ôóíêöèîíàëûδ(M , M ) è δ(x − x )δ(y − y )δ(z − z )äåéñòâóþò íà ëþáóþ íåïðåðûâíóþ â òî÷êå M (x , y , z )ôóíêöèþ ψ(M ) îäèíàêîâî, ïîýòîìó èõ ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè. ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî1δ(M , M ) =δ(r − r )δ(θ − θ )δ(ϕ − ϕ ).r sin θ ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ1δ(M , M ) = δ(r − r )δ(ϕ − ϕ ).rÇàìå÷àíèå 1.2.1000000200000000000010Ãë.

1. Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé...Ÿ 3. Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ôóíêöèèÔóíêöèîíàë δ(M , M ), äåéñòâóþùèé íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ â òî÷êå M ôóíêöèé, ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì òàê íàçûâàåìûõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé. Âîîáùå ãîâîðÿ, ëþáàÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèîíàë. Äëÿ òîãî, ÷òîáûââåñòè ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâà îáîáùåííûõ ôóíêöèé,íåîáõîäèìî ñïåðâà îïðåäåëèòü ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèéψ(M ), íà êîòîðîì äåéñòâóþò ýòè ôóíêöèîíàëû.

Ñíà÷àëà äàäèìîïðåäåëåíèå ôèíèòíîé ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå Rn.Îïðåäåëåíèå 1.3.1 Îãðàíè÷åííàÿ íà Rn ôóíêöèÿ ψ (M ) íàçûâàåòñÿ ôèíèòíîé, åñëè ñóùåñòâóåò øàð00, , ,,âíå êîòîðîãî ôóíêöèÿ ψ (M ) âñþäó ðàâíà 0. Çàìûêàíèåìíîæåñòâà {M | ψ(M ) 6= 0} íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì ôóíêöèèψ (M ) è îáîçíà÷àåòñÿ supp ψ .Îòìåòèì, ÷òî ψ(M ) ≡ 0 âíå supp ψ. Ìíîæåñòâî supp ψ ñîñòîèò èç âñåõ òî÷åê M , ãäå ψ (M ) 6= 0,0 è òî÷åê 0 M , â ëþáîéîêðåñòíîñòè êîòîðûõ íàéäåòñÿ òî÷êà M , ãäå ψ (M ) 6= 0.Îïðåäåëåíèå 1.3.2 Íàçîâåì ñîâîêóïíîñòü âñåõ ôèíèòíûõáåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõâ Rn ôóíêöèé ìíîæåñòâîìnîñíîâíûõ ôóíêöèé D (R ).Îïðåäåëèì ñõîäèìîñòü â D (Rn) ñëåäóþùèì îáðàçîì:Îïðåäåëåíèå 1.3.3 Ôóíêöèîíàëüíàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü{ψk (M )} èç D(Rn ) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèèψ (M ) èç D(Rn ), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé øàð U ⊂ Rn , ÷òîsupp ψk ⊂ U (k = 1,2, ...), è äëÿ ëþáîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèèψk (M ) âûïîëíåíîDα ψk (M ) ⇒ Dα ψ(M ) ïðè k → ∞,qnoM (x1 x2 ...

xn ) x21 + x22 + ... + x2n 6 Rãäå Dα = ∂x ∂x∂ ...∂x , α = α + α + ... + αn, αi = 0,1,2, ...,âêëþ÷àÿ ñëó÷àé α = 0, ÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíîå ñòðåìëåíèåñàìèõ ôóíêöèé ψk (M ) ê ôóíêöèè ψ(M ) ïðè k → ∞.Îïðåäåëåíèå 1.3.4 Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî D(Rn ) ñ ââåäåííîé òàêèì îáðàçîì ñõîäèìîñòüþ íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîìîñíîâíûõ ôóíêöèé.αα11α22αnn12113. Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ôóíêöèèÐèñ. 1.3.1.Çàìå÷àíèå 1.3.1 Ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé íå ïóñòî.Íàïðèìåð, åìó ïðèíàäëåæèò ôóíêöèÿ ¾øàïî÷êà¿ (ðèñ.

1.3.1),êîòîðàÿ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå:, M ∈ K (M , ε) ,0,M∈/ K (M , ε) ,(1.3.1)ãäå K (M , ε) øàð ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â òî÷êå M , àïîñòîÿííàÿ Cε âûáèðàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû,ωε (M M0 ) =Cε expε2− 22ε − RMM00000Z,1ωε (M M0 ) dVM = .K(M0 ,ε)Ïóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn.Äëÿnëþáîé äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè f (M ), îïðåäåëåííîéâ R , ìîæíî ïîñòðîèòü îñíîâíóþ ôóíêöèþ ψ(M ), ñîâïàäàþùóþ ñ f (M ) â îáëàñòè D.Óòâåðæäåíèå 1.3.1Äåéñòâèòåëüíî, ýòî ìîæíî ñäåëàòü, óìíîæàÿ ôóíêöèþ f (M ) íàòàê íàçûâàåìóþ ñðåçàþùóþ ôóíêöèþ η (M ).

Ñðåçàþùàÿ ôóíêöèÿîáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: îíà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ãëàäêîé,ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 âñþäó â îáëàñòè D è äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåòäî íóëÿ âíå îáëàñòè D. Ôóíêöèþ η (M ) ìîæíî ïîñòðîèòü, íàïðèìåð,ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îêðóæèì ãðàíèöó ∂D îáëàñòè D ýêâèäèñòàíòíîéïîâåðõíîñòüþ ∂Dε , íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè d = ε îò ∂D (ñì.12Ãë. 1.

Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé...ðèñ. 1.3.2). Îáëàñòü âíóòðè ïîâåðõíîñòè ∂Dε íàçîâåì Dε . Àíàëîãè÷íîîïðåäåëèì ïîâåðõíîñòü ∂D2ε è îáëàñòü D2ε . Ââåäåì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îáëàñòè Dε :χε (M ) =Ðàññìîòðèì ôóíêöèþZη (M ) =0, M ∈/ Dε ,1, M ∈ Dε .χε (M 0 ) ωε (M 0 , M ) dVM 0 ,(1.3.2)R3ãäå ωε (M 0 , M ) îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (1.3.1).Ôóíêöèÿ ωε (M 0 , M )îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêîâ øàðå K(M , ε) ñ öåíòðîì â òî÷êå M è ðàäèóñîì ε. Åñëè M ∈ D,¶DDòî K(M , ε) ⊂ Dε , èMεèíòåãðàë(1.3.2) ðàâåí¶D1 â ñèëó íîðìèðîâêèôóíêöèè ωε (M 0 , M ).M¶DÅñëè M ∈ D2ε \D, òîòîëüêî ÷àñòü øàðàÐèñ. 1.3.2.K(M , ε)ïîïàäàåòâíóòðü îáëàñòè Dε (ñì. ðèñ.

1.3.2), è ïîýòîìó 0 < η(M ) < 1. ÅñëèM 6∈ D2ε , òî øàð K(M , ε) è îáëàñòü Dε íå ïåðåñåêàþòñÿ, è η(M ) = 0.Èíòåãðàë (1.3.2) çàâèñèò îò êîîðäèíàò òî÷êè M êàê îò ïàðàìåòðîâè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ ýòèõêîîðäèíàò â ñèëó áåñêîíå÷íîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïîäûíòåãðàëüíîéôóíêöèè [19]. Èòàê, ôóíêöèÿε2εψ(M ) = η (M ) · f (M )ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f (M ) â îáëàñòè D è ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâóîñíîâíûõ ôóíêöèé.Òåïåðü, êîãäà ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé çàäàíî, ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå îáîáùåííîé ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå 1.3.5 Îáîáùåííîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ âñÿêèé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë f , äåéñòâóþùèé íà ïðîñòðàíñòâåîñíîâíûõ ôóíêöèé D, òî åñòü:1) ∀α, β ∈ C è ∀ψ1 , ψ2 ∈ Dhf , αψ1 + βψ2 i = α hf , ψ1 i + β hf , ψ2 i ;2) ∀{ψk } ⊂ D, ψk → ψ ∈ D (â ñìûñëå ââåäåííîé âûøå ñõîäèìîñòè âD) ïðè k → ∞hf , ψk i → hf , ψi , k → ∞.3.

Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ôóíêöèè13Àðãóìåíòû ôóíêöèé îïóùåíû äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè.Ââåäåì îïåðàöèè ñëîæåíèÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé è óìíîæåíèÿîáîáùåííîé ôóíêöèè íà ÷èñëî íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:hf + g , ψi = hf , ψi + hg , ψi , ∀ψ ∈ D,hλ · f , ψi = λ hf , ψi , ∀ψ ∈ D.Êàê îáû÷íî, ÷åðòà íàä λ îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.Ìíîæåñòâî âñåõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà D, ñ çàäàííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî îáðàçóåòëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî D0 .Ïîä ñõîäèìîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ ôóíêöèé ïîíèìàþòñëàáóþ ñõîäèìîñòü.Îïðåäåëåíèå 1.3.6 Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîáùåííûõôóíêöèé fn ∈ D0 ñõîäèòñÿ ê îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D0 , åñëèhfn , ψi → hf , ψi ïðè n → ∞äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ψ ∈ D.Îáîáùåííûå ôóíêöèè äåëÿòñÿ íà ðåãóëÿðíûå è ñèíãóëÿðíûå.Îïðåäåëåíèå 1.3.7 Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé,åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ F (M ), èíòåãðèðóåìàÿ íà ëþáîì çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå, òàêàÿ ÷òîZhf , ψi =F (M )ψ(M )dVM , ∀ψ ∈ D.(1.3.3)RnÏîñêîëüêó ôóíêöèÿ ψ(M ) ôèíèòíà, òî èíòåãðèðîâàíèå â ôîðìóëå (1.3.3) âåäåòñÿ ïî îãðàíè÷åííîé îáëàñòè supp ψ .Âñå ïðî÷èå îáîáùåííûå ôóíêöèè íàçûâàþò ñèíãóëÿðíûìè.

Íàïðèìåð, δ -ôóíêöèÿ ýòî ñèíãóëÿðíàÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ [3, 4].Ââåäåì ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè. Ïóñòü F (M ) ∈∈ C (1) (Rn ) è ψ(M ) ∈ D.  îñíîâå ïîíÿòèÿ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîéëåæèò ôîðìóëà, âûòåêàþùàÿ èç ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:ZZ∂FψdV = −∂xiRnF∂ψdV.∂xi(1.3.4)RnÈíòåãðèðîâàíèå ïî ïðîñòðàíñòâó R âåäåòñÿ ïðè −∞ < xi < +∞,i = 1, n, à âñå ïîäñòàíîâêè íà áåñêîíå÷íîñòè îáðàùàþòñÿ â 0 çà ñ÷åòôèíèòíîñòè ôóíêöèè ψ . Ïîñêîëüêó èíòåãðàëû ìîæíî ïîíèìàòü êàêðåçóëüòàò äåéñòâèÿ ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà ãëàäêóþôèíèòíóþ ôóíêöèþ ψ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ (1.3.7), òî ðàâåíñòâî(1.3.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:nD∂f,ψ∂xiEDE∂ψ= − f,,∂xi(1.3.5)14Ãë. 1.

Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé...ãäå f îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, ïîðîæäàåìàÿ ôóíêöèåé F (M ). Ðàâåíñòâî (1.3.5) ïðèìåì çà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè,êàê ðåãóëÿðíîé, òàê è ñèíãóëÿðíîé.Îïðåäåëåíèå 1.3.8 Ôóíêöèîíàë, äåéñòâóþùèé íà ëþáóþ ôóíêöèþ∂fψ ∈ D ïî ïðàâèëó (1.3.5), íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîéîáîáùåííîé∂xiôóíêöèè f .Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà îò îáîáùåííûõ ôóíêöèé.Îïðåäåëåíèå 1.3.9 ÏðîèçâîäíîéDα f =∂αα2αn1∂xα1 ∂x2 ...∂xnf,ãäå α = α1 + α2 + ... + αn , αi = 0, 1, 2, ..., îáîáùåííîé ôóíêöèè fíàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàë, äåéñòâóþùèé íà ëþáóþ ôóíêöèþ ψ ∈ Dïî ïðàâèëó:hDα f , ψi = (−1)α hf , Dα ψi .Ÿ 4.

Ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà.Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà âòðåõìåðíîì ñëó÷àå.Ïóñòü òî÷å÷íûé çàðÿä âåëè÷èíû q ïîìåùåí â òî÷êó M0 íåîãðàíè÷åííîãî îäíîðîäíîãî ïðîñòðàíñòâà R3 . Êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíüøå,ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî çàðÿäà äàåòñÿ ôîðìóëîé:ρ(M , M0 ) = q · δ(M , M0 ).Óðàâíåíèå (1.1.2) äëÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ ýòîãî çàðÿäà, çàïèñàííîå â âèäå∆ϕ = −4πqδ(M , M0 ),(1.4.1)îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ψ(M ) ∈ D ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:Zϕ(M , M0 )∆ψdVM = −4πqψ(M0 )(1.4.2)R3Ïîêàæåì, ÷òî õîðîøî èçâåñòíûé èç ýëåêòðîñòàòèêè ïîòåíöèàë ïîëÿòî÷å÷íîãî çàðÿäàqϕ(M , M0 ) =(1.4.3)rM M 0óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.4.2) âî âñåì ïðîñòðàíñòâå R3 .

Äëÿ ëþáîéôóíêöèè ψ(M ) ∈ D, ãäå D ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé, íàé-154. Ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà....äåòñÿ ÷èñëî R > 0, òàêîå ÷òî supp ψ ⊂ K(M0 , R), ãäå K(M0 , R) øàððàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 . Ñëåäîâàòåëüíî,ZZϕ(M , M0 )∆ψ(M )dVM = qR3K(M0 ,R)∆ψ(M )dVM .rM M 0(1.4.4)Èñïîëüçóÿ òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà (A.1.6) (ñì.

Ïðèëîæåíèå 1), ïîëó÷èì:ZK(M0 ,R)∆ψ(M )dVM =rM M 0Z=1rP M0Σ(M0 ,R)1∂ψ(P )∂− ψ(P )∂nP∂nP rP M0dσP − 4πψ(M0 ),ãäå Σ(M0 , R) ñôåðà ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 , ~nP âåêòîðâíåøíåé íîðìàëè ê ñôåðå â òî÷êå P . Òàê êàê supp ψ ⊂ K(M0 , R),òî ôèíèòíàÿ ôóíêöèÿ ψ âìåñòå ñî âñåìè ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè òîæäåñòâåííî ðàâíà 0 íà ñôåðå Σ(M0 , R), è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âïîñëåäíåì âûðàæåíèè îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî,ZR3q∆ψ(M )dVM = −4πqψ(M0 ),r M M0÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Îïðåäåëåíèå 1.4.1 Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ∆ϕ = −δ(M , M0 ).(1.4.5)Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþäî ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ∆ϕ = 0.Ïîëîæèâ âåëè÷èíó q òî÷å÷íîãî çàðÿäà â ôîðìóëå (1.4.3) ðàâíîéïîëó÷èì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.4.5):ϕ(M , M0 ) =1 14π r14π ,.M M0Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿG(M , M0 ) =14πr+ v,(1.4.6)M M0ãäå v ïðîèçâîëüíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, åñòü ôóíäàìåíòàëüíîåðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.16Ãë.

1. Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé...Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñàìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñêîëüêó ôóíäàìåíòàëüíîåðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.4.5) â ñìûñëå îáîáùåííûõôóíêöèé, òî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ Ëàïëàñà âñþäó, êðîìå òî÷êè M0 . Ôóíêöèÿ ϕ èìååò âèä:Çàìå÷àíèå 1.4.1ϕ(M , M0 ) = g(M , M0 ) + v(M ),ãäå g(M , M0 ) ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5), çàâèñÿùåå òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ rM M0 ìåæäó òî÷êàìè M è M0è èìåþùåå îñîáåííîñòü ïðè rM M0 → 0, à v(M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè g(M , M0 ), ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó M0 .