А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 4

Âûðàæåíèå (2.1.7) ñîñòîèò èç äâóõñëàãàåìûõ, ïåðâîå èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâåðõíîñòíûé ïîòåíöèàë (ñì. [1]), à âòîðîå îáúåìíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ çàðÿäîâ,ðàñïðåäåëåííûõ â îáëàñòè D ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ F (Q).Çàìå÷àíèå 2.1.1 Ïîòåíöèàë (2.1.9) íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ. Ïîäðîáíåå î ïîâåðõíîñòíûõ ïîòåíöèàëàõñì.

[1].Ÿ 2. Âíåøíèå òðåõìåðíûå çàäà÷èÏóñòü îáëàñòü De âíåøíÿÿ îáëàñòü ïî îòíîøåíèþ ê îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D ñ çàìêíóòîé ãðàíèöåé S , ÿâëÿþùåéñÿ ïîâåðõíîñòüþ24Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåËÿïóíîâà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿÏóàññîíà èëè Ëàïëàñà âî âíåøíåé îáëàñòè De áûëî åäèíñòâåííûì, âïîñòàíîâêå çàäà÷è ïîìèìî êðàåâîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò äîáàâèòü óñëîâèåíà áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå ðåãóëÿðíîñòèðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.Îïðåäåëåíèå 2.2.1  òðåõìåðíîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ u(M ) íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé píà áåñêîíå÷íîñòè, åñëè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîìr > r0 , ãäå r = x2 + y 2 + z 2 , âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà|u| 6 A ∂u 6 2,A,r∂xr A ∂u 6 2,∂yr A ∂u 6 2,∂zrãäå A > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Çàìå÷àíèå 2.2.1 Ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè De òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèÿ, ðàâíîìåðíî ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè, ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè [1].Äëÿ ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé â òðåõìåðíîì ñëó÷àåâî âíåøíèõ îáëàñòÿõ îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû Ãðèíà.

Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è Äèðèõëå:∆u = −F (M ), M ∈ De ,u|S = f (P ), P ∈ S ,u ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (2.2.1-2.2.3) ðåãóëÿðíóþ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèþ, äâàæäûíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De , íåïðåðûâíóþ â îáëàñòè De , óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (2.2.1)â îáëàñòè De è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2.2.2).Óòâåðæäåíèå 2.2.1 Åñëè ôóíêöèÿ F (M ) ôèíèòíà è íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìà â De , à ôóíêöèÿ f (P ) íåïðåðûâíà íà ïîâåðõíîñòè S , òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.1-2.2.3) [1] .Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ âíóòðåííåé çàäà÷è, ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.12.2.3) ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà.Îïðåäåëåíèå 2.2.3 Ôóíêöèåé Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðàËàïëàñà â òðåõìåðíîé îáëàñòè De , âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D ñ çàìêíóòîé ãðàíèöåé S (De îáëàñòü Deâìåñòå ñ ãðàíèöåé S ) áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþÎïðåäåëåíèå 2.2.2G(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ),Q ∈ De ,M ∈ De ,QMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ De ,íåïðåðûâíàÿ íà De äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De ;253.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå2) G(P , M )|P ∈S = 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De ;3) G(Q, M ) êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà Q ∈ De ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De .Ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.1) - (2.2.3) ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå:ZZ∂G(P , M )u(M ) = − f (P )dSP + G(Q, M )F (Q)dVQ .∂nPS(2.2.4)De âûðàæåíèè (2.2.4) íîðìàëü np ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ êîáëàñòè De .Ôóíêöèÿ Ãðèíà G(Q, M ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è: ∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ De ,G(P , M )|S = 0, P ∈ S ,G(Q, M ) ⇒ 0 íà áåñêîíå÷íîñòè.(2.2.5)Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ôóíêöèþ G(Q, M ), äîñòàòî÷íî ðåøèòüçàäà÷ó äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ñëàãàåìîãî v(Q, M ):, M ∈ De ∆v = 0, Q1v|S = −4πrP M , P ∈ S ,v ⇒ 0 íà áåñêîíå÷íîñòè.(2.2.6)Ÿ 3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷èÄèðèõëå3.1. Ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Äëÿ çàäà÷ (2.1.6) è (2.2.6) âûïîëíåíà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ èåäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó, åñëè óäàñòñÿ ïîëó÷èòü êàêèì-ëèáî ñïîñîáîì ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ v , óäîâëåòâîðÿþùóþ ïîñòàâëåííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, òî ôóíêöèÿ G(M , M0 ) =1 1 + v ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (2.1.8)=4π rM M0âî âíóòðåííåé îáëàñòè èëè çàäà÷è (2.2.5) âî âíåøíåé îáëàñòè.Äëÿ ðÿäà îáëàñòåé âåñüìà ýôôåêòèâíûì ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé. Åñëè ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó â ðàìêàõýëåêòðîñòàòèêè, òî îäíîðîäíûå óñëîâèÿ Äèðèõëå îçíà÷àþò, ÷òî îáëàñòüîãðàíè÷åíà çàçåìëåííîé èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòüþ S . Ïóñòü1â òî÷êå M0 ∈ D ïîìåùåí òî÷å÷íûé çàðÿä âåëè÷èíû q = .

Ðàñïîëî4πæèì âíå îáëàñòè D ôèêòèâíûå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû òàêèì îáðàçîì,÷òîáû ïîòåíöèàë ïîëÿ íà ãðàíèöå S îáðàùàëñÿ â íîëü. Ýòè ôèêòèâ-26Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåíûå çàðÿäû íàçûâàþòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèìè èçîáðàæåíèÿìè çàðÿäà,ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 . Ïîòåíöèàë ïîëÿ, ïîðîæäåííîãî çàðÿäàìè,íàõîäÿùèìèñÿ âíå îáëàñòè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðèîáëàñòè D ôóíêöèþ v , óäîâëåòâîðÿþùóþ ãðàíè÷íîìó óñëîâèþv|S = −14πRP M0, P ∈ S.(2.3.1)Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíàÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì äëÿ ëþáûõ çàäà÷ Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðàËàïëàñà è ïðèìåíèì íå òîëüêî äëÿ çàäà÷ ýëåêòðîñòàòèêè.Ïðèìåð 2.3.1. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûìçàðÿäîì q , ïîìåùåííûì â òî÷êó M0 = (x0 , y0 , z0 ), ãäå z0 > 0, â âàêóóìå â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå íàä ïëîñêîñòüþ z = 0, åñëè ýòàïëîñêîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èäåàëüíûé çàçåìëåííûé ïðîâîäíèê.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ïîòåíöèàë ϕ(M , M0 ) â òî÷êå M = (x, y , z) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷èÇàìå÷àíèå 2.3.1∆ ϕ = −4πqδ(M , M0 ), x, y ∈ (−∞, +∞), z ∈ (0, +∞), Mϕ|z=0 = 0, x, y ∈ (−∞, +∞),ϕ ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.(2.3.2)Çàäà÷ó (2.3.2) ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé: ïîòåíöèàëâ òî÷êå M ñêëàäûâàåòñÿ èçïîòåíöèàëà òî÷å÷íîãî çàðÿäàq , ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå M0 ,è ïîòåíöèàëà ôèêòèâíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà −q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M1 , ñèììåòðè÷íóþ M0 îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z = 0 (ðèñ. 2.3.1):M1 = (x0 , y0 , −z0 ) ñàìîì äåëå, ôóíêöèÿÐèñ. 2.3.1.ϕ(M , M0 ) = q ·1r M M0= q · q−1=rM M 11−(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2−q(x − x01)2+ (y − y0)2+ (z + z0)2(2.3.3)3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.3.2).Ôóíêöèÿv=−27qr M M1ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå è óäîâëåòâîðÿåòãðàíè÷íîìó óñëîâèþv|z=0 = −14πR, P = P (x, y , 0),P M0òàê êàê rP M0 = rP M1 äëÿ ëþáîé òî÷êè P (x, y , 0), ïðèíàäëåæàùåé ïëîñêîñòè z = 0, è ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.1 íàéäåííûé ïîòåíöèàë ïðåäñòàâÇàìå÷àíèå 2.3.2  ñëó÷àå q =4πëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ çàäà÷è Äèðèõëåâ âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå:114π q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 −G(M , M0 ) =−q1(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2(2.3.4).Íàéäèòå ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ σ(x, y),èíäóöèðîâàííûõ íà èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòèz = 0 çàðÿäîì +q , ïîìåùåííûì â òî÷êó M0 âåðõíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Èçâåñòíî [13], ÷òî íà ãðàíèöå S äâóõ ñðåä ñêà÷îêÏðèìåð 2.3.2.[Dn ]|S = (D2n − D1n )|Síîðìàëüíîé ïî îòíîøåíèþ ê ýòîé ãðàíèöå ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà Dðàâåí 4πσ . Ïðè ýòîì íîðìàëü n íàïðàâëåíà èç ïåðâîé ñðåäû âî âòîðóþ.Åñëè ïåðâàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé, òî ïîëå â íåé ðàâíî0, è ïîýòîìó∂ϕ D2n |S = − = 4πσ.∂nSÒàêèì îáðàçîì, åñëè îáëàñòü D ñ ãðàíèöåé S çàïîëíåíà èäåàëüíûìïðîâîäíèêîì, òî ïëîòíîñòü èíäóöèðîâàííîãî íà ãðàíèöå S ïîâåðõíîñòíîãî çàðÿäà ðàâíà1 ∂ϕ ,σ=−4π ∂nSãäå ~n âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòèS.Äëÿ ïëîñêîé ãðàíèöû z = 0 ïîëó÷àåìσ(x, y) = −1 ∂ϕ .4π ∂z z=0(2.3.5)28Ãë. 2.

Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÏîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2.3.5) âûðàæåíèå (2.3.3) äëÿ ïîòåíöèàëàϕ(M , M0 ), íàõîäèìσ(x, y) = −z0q2π (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + z02 3 2 ./Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî â âåðõíåìïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0 íåïðîâîäÿùåé ïëîñêîñòüþ, íà êîòîðîéðàñïðåäåëåí çàäàííûé ïîòåíöèàë,ôóíêöèåé f (x, y), îïðåäåëÿåìûép122òàêîé ÷òî f (x, y) = O p 2 2 ïðè x + y → ∞.x +yÐ ÅØÅÍÈÅ .

Íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó Äèðèõëå:Ïðèìåð 2.3.3.∆u = 0, x, y ∈ (−∞, +∞), z ∈ (0, +∞),u|z=0 = f (x, y), x, y ∈ (−∞, +∞), u ⇒ 0 ïðè r → +∞,(2.3.6)ãäå r = x2 + y 2 + z 2 .Íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (2.2.4) â äàííîé çàäà÷åíåïðàâîìåðíî, ïîñêîëüêó ïëîñêîñòü z = 0 íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîéïîâåðõíîñòüþ. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó (2.1.4) â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé1/2ïëîñêîñòüþ z = 0 è ïîëóñôåðîé ΣRñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò èðàäèóñîì R:pZu(M ) = −f (P ),∂G(P M )dSP +∂nPURZ ∂G(P , M )∂u(P )− u(P )dSP .+G(P , M )∂nP(2.3.7)∂nP1/2ΣRÇäåñü UR êðóã ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì R, ëåæàùèéâ ïëîñêîñòè z = 0.

Ðàññìîòðèì ïðåäåë âûðàæåíèÿ (2.3.7) ïðè R → +∞.Òàê êàê ôóíêöèè u è G ðåãóëÿðíû íà áåñêîíå÷íîñòè, òîZ limR→+∞G(P , M ),∂u(P )∂G(P M )− u(P )dSP =∂nP∂nP0,1/2ΣRèZlimf (P )R→+∞UR,∂G(P M )dSP =∂nPZf (P ),∂G(P M )dSP .∂nPR2Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ â ñèëó ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòèôóíêöèé f è G.  äàííîì ñëó÷àå âíåøíÿÿ íîðìàëü ~nP íàïðàâëåíà ïðî-3. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå29òèâ îñè Oz , ïîýòîìó ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü â èíòåãðàëüíîìâèäå ïðè ïîìîùè ôóíêöèè Ãðèíà (2.3.4) ñëåäóþùèì îáðàçîì:u(x, y , z) =+∞Z +∞Z−∞ −∞,∂G(P M ) 0 f (x0 , y 0 )dx0 dy 0 ,∂z 0z =0(2.3.8)ãäå M = M (x, y , z) è P = P (x0 , y 0 , 0).Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè Ãðèíà ïî ïåðåìåííîé z 0 :14∂G z0 − z= − 3/2 −0 0π∂z z =0(x0 − x)2 + (y 0 − y)2 + (z 0 − z)2z +z− 3/2 (x0 − x)2 + (y 0 − y)2 + (z 0 + z)20=z2π(x0 − x)2 + (y 0 − y)2 + z 2=z 0 =03/2Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (2.3.8), ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (2.3.6):zu(x, y , z) =π2+∞Z +∞Z,f (x0 y 0 )dx0 dy 0−∞ −∞(x − x) + (y 0 − y)2 + z 2023/2 , z > 0.(2.3.9)Ïîñëåäíèé èíòåãðàë íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ ïî z , ïîýòîìóèç ôîðìóëû (2.3.9) íå ñëåäóåò, ÷òî u|z=0 = 0.Çàìå÷àíèå 2.3.3 Çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü è â ñëó÷àå f (x, y) ≡ V == const.

Ôóíêöèÿ u(M ) ≡ V óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ è ãðàíè÷íîìóóñëîâèþ, îäíàêî íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèìîáðàçîì, ïîëó÷åííîå ðåøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì.Ïðèìåð 2.3.4. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî îòðåçêîìäëèíû L áåñêîíå÷íî òîíêîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé íèòè ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà e, ïîìåùåííûì íàä èäåàëüíî ïðîâîäÿùåéçàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ. Îòðåçîê ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ óãîëα.