А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 8

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè îáëàñòè, çàïîëíåííîé âîçäóõîì, îãðàíè÷åííîé çàçåìëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñå÷åíèÿ D.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ïóñòü Ω = {(x, y) ∈ D, z ∈ (−∞, +∞)}, ∂Ω áîêîâàÿïîâåðõíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî öèëèíäðà.

 îòñóòñòâèè ïðîâîäÿùåéçàçåìëåííîé ïîâåðõíîñòè ∂Ω ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 , èìååò âèä:u0 = qòî åñòüq(x − x0u0 → 0 è)2+ (y − y0 )2 + (z − z0 )2∂u0→∂z,0 ïðè z → ±∞.(2.3.33)Ïðè íàëè÷èè ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòè ∂Ω íóæíî ó÷åñòü òàêæåïîëå íàâåäåííûõ çàðÿäîâ. Ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè M0 ýòî ïîëå áóäåòóáûâàòü, ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü äëÿ íåãî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé, àíàëîãè÷íûõ (2.3.33).

Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêóçàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:(x, y) ∈ D, ∆u = −4πqδ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ), −∞ < z < +∞,u|∂Ω = 0, u → 0, uz → 0 ïðè z → ±∞.(2.3.34)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå u(x, y , z), êîòîðîå äîïóñêàåò âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z . Ïðîâåäåìïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z :+∞Z1u(x, y , z)e−iµz dz.2π −∞ub(x, y , µ) = √Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ:+∞Z+∞Z11√∆u e−iµz dz = √(∆ u + uzz ) e−iµz dz =2π −∞2π −∞ 2+∞Z+∞Z11ue−iµz dz + √u e−iµz dz ,2π −∞2π −∞ zz= ∆2 √|{z=bu(x,y ,µ)}(2.3.35)52Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåãäå ∆2 îïåðàòîð Ëàïëàñà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. Âû÷èñëèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (2.3.35) äâà ðàçà ïî ÷àñòÿì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íàáåñêîíå÷íîñòè äëÿ ôóíêöèè u(x, y , z):+∞Z11√u e−iµz dz = √2π −∞ zz| 2πz=+∞uz e−iµz z=−∞{z{z=02}=012z=+∞iµ=√ue−iµz z=−∞ −µ2 √ππ| 2iµ+√π}|+∞Zuz e−iµz dz =−∞+∞Zue−iµz dz .−∞{z=bu(x,y ,µ)}Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê óðàâíåíèþ èãðàíè÷íîìó óñëîâèþ, äëÿ Ôóðüå-îáðàçà ïîëó÷àåì çàäà÷ó√ ∆2 ub − µ2 ub = −2 2π qe−iµz0 δ(x − x0 )δ(y − y0 ), (x, y) ∈ D, ub|L = 0,(2.3.36)ãäå L ãðàíèöà îáëàñòè D.

Ðåøåíèå çàäà÷è (2.3.36) óäîáíî èñêàòü ââèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå íîðìèðîâàííûõ íà åäèíèöóñîáñòâåííûõ ôóíêöèé vn (x, y) çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ∆vn + λ2n vn = 0, (x, y) ∈ D,vn |L = 0â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè D:ub(x, y , µ) =∞XCn (µ)vn (x, y),ZCn (µ) =n=1ubvn dS.(2.3.37)DÓìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.3.36) íà vn (x, y), èíòåãðèðóÿ ïî îáëàñòè D èïðèìåíÿÿ âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà, ïîëó÷àåì:Z∆2 ub vn dsRD|{z}= ub∆2 vn ds =DR= −λ2n ubvn ds = −λ2n Cn (µ)−µ2Z√ubvn ds = −2 2π qe−iµz0 vn (x0 , y0 ),D| {z }=Cn (µ)Dòî åñòü êîýôôèöèåíòû Cn (µ) óäîâëåòâîðÿþò àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ√−λ2n Cn (µ) − µ2 Cn (µ) = −2 2π qe−iµz0 vn (x0 , y0 ).3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÑëåäîâàòåëüíî√2 2π qeCn (µ) =Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå èìååò âèä−iµz0λ2n,vn (x0 y0 )+µ253.∞Z1u(x, y , z) = √ub(x, y , µ)eiµz dµ =2π −∞∞Z X∞v (x, y)v (x0 , y0 ) iµze= 2qe dµ =−iµz0= 2qnnλ2n + µ2−∞ n=1∞Xvn (x0 , y0 )vn (x, y)n=1∞Z−∞eiµ(z−z0 )λ2n + µ2dµ.Èíòåãðàë â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ, ïðèìåíÿÿ ëåììó Æîðäàíà è çàìûêàÿ êîíòóð â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè z − z0 > 0 è â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè z − z0 < 0. Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èìu(x, y , z) = 2πq∞Xvn (x0 , y0 )vn (x, y)n=1λne−λn |z−z0 | ,ãäå vn (x, y) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè D.Ïðèìåð 2.3.30.

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α, α ∈ (0; 2π).Ãðàíè óãëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè.πÐ ÅØÅÍÈÅ . Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ α = äàííàÿ çàäà÷à ðåøåíà ðàíåånìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, îäíàêî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 2.3.4, â îáùåì ñëó÷àå ýòîò ìåòîä íåïðèìåíèì.

Ïîñòðîèì ðåøåíèåñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èèìååò âèä:r, r0 < +∞,4πq δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 )δ(z − z0 ), 00 << ψ , ψ0 < α ,∆3 u = −r0−∞ < z , z0 < +∞,u|ψ=0 = u|ψ=α = 0,(2.3.38)∂u11∂∂2u∂2ur+ 2 2 + 2.ãäå ∆3 u =r ∂r∂rr ∂ψ∂zÏðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z :+∞Z1ub= √u(r, ψ , z)e−iµz dz.2π −∞54Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå-îáðàçîâ óðàâíåíèå (2.3.38) ïðèìåò âèä:√1∂r ∂r∂bur+∂r1 ∂ 2 ub − µ2 ub = − 2 2π δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 )e−iµz .0r2 ∂ψ 2r0(2.3.39)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3.39) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè èç(2.3.38)â âèäåno ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ôóíêöèé {Φn } =πn= sinψ , n = 1, 2, ...:αub(r, ψ , µ) =ãäå2Rn (r) =Zαα∞Xπnψ,αRn (r) sinn=1πnψdψ.αub(r, ψ , µ) sin(2.3.40)0Óìíîæèì óðàâíåíèå (2.3.39) íà siníîé ψ îò 0 äî α:1∂1+Zαr ∂r ∂r∂rr2Zαπnψαπnub(r, ψ , µ) sinψdψ  − µ2α0πnsinψdψ = −α∂ψ 2Zαub(r, ψ , µ) sinπnψdψ+α0√, ,∂2ub(r ψ µ)0è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïåðåìåí-2 2π e−iµz δ(r − r0 ) sin πn ψ0 .0r0αÎòñþäà âûòåêàåò óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè:1d1πn 2dRn− 2Rn (r) − µ2 Rn (r) =r drdrαr√π −iµz0πn=−esinψ δ(r − r0 ).αr0α 0r4 2(2.3.41)Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.3.41) íà r2 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé r2 δ(r − r0 ) = r02 δ(r − r0 ), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäór2Rn00 (r)+rRn0 (r)−√4 2π r0 e−iµz=−0απnα22 2+µ rRn (r) =πnsinψ δ(r − r0 ).α 0(2.3.42)Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâåëàñü ê ïîñòðîåíèþ ôóíêöèè Ãðèíà óðàâíåíèÿÁåññåëÿ ÷èñòî ìíèìîãî àðãóìåíòà.

 êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèéïîòðåáóåì, ÷òîáû|Rn (0)| < ∞, |Rn (r)| < ∞ ïðè r → ∞.(2.3.43)553. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÑîãëàñíî èçëîæåííîìó â [17] ìåòîäó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà äëÿîáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, áóäåì èñêàòü ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (2.3.42) ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (2.3.43) â âèäå:Rn (r) =(µr), r < r0 , C1 I πnα(2.3.44) C2 K πn (µr), r > r0 .αÔóíêöèè I πn (µr) è K πn (µr) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèÿ îäíîðîäααíîãî óðàâíåíèÿ (2.3.42), îãðàíè÷åííûå ïðè r = 0 è ïðè r → ∞ ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäóÿ [17], ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ óñëîâèéñîïðÿæåíèÿ ïðè r = r0 :(Rn (r0 + 0) − Rn (r0 − 0) = 0, √4 2π sin πn ψ0 e−iµz0 .Rn0 (r0 + 0) − Rn0 (r0 − 0) = −αr0(2.3.45)αÏîäñòàâëÿÿ (2.3.44) â (2.3.45), ïîëó÷èì ñèñòåìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ C1 è C2 :(µr0 ) − C1 I πn (µr0 ) = 0, C2 K πnαα√ µC2 K 0πn (µr0 ) − µC1 I 0πn (µr0 ) = − 4αα2ππnsinψ e−iµz0 .αr0α 0Îòñþäà íàõîäèìI πn (µr0 )αC=C,12K πn (µr0 )αhi00πn (µr0 )K πn (µr0 ) − I πn (µr0 )K πn (µr0 ) =CµI1α √ααα4πn2π−iµz0=−sinψ0 eK πn (µr0 ).αr0α(2.3.46)αÓ÷èòûâàÿ, ÷òî îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ôóíêöèé Èíôåëüäà è Ìàêäîíàëüäà [1] ðàâåíihW I πn (µr0 ), K πn (µr0 ) =αhαiπn= I (µr0 )K 0πn (µr0 ) − I 0πn (µr0 )K πn (µr0 ) = −ααααèç (2.3.46) ïîëó÷àåì√42π sin πn ψ0 e−iµz0 K πn (µr0 ), C1 =α√ C2 =4 2πααsinαπnψ e−iµz0 I πn (µr0 ).αα 01µr0,56Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÑëåäîâàòåëüíî, I πn (µr)K πn (µr0 ), r < r0 ,√4 2πRn (r) =ααπnsinψ e−iµz0πnα 0 I (µr0 )K πn (µr), r > r0 .αα(2.3.47)αÏîäñòàâëÿÿ (2.3.47) â (2.3.40), íàõîäèìub(r, ψ , µ) =√4 2π e−iµz=0α ∞Xπnπnψ sinψ , r < r0 ,I πn (µr)K πn (µr0 ) sinααα 0αn=1∞XπnπnI πn (µr0 )K πn (µr) sinψ sinψ , r > r0 .ααα 0αn=1(2.3.48)Îñóùåñòâèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîëó÷èì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è:+∞Z1ub(r, ψ , µ)eiµz dµ.2π −∞u(r, ψ , z) = √(2.3.49)Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (2.3.49) ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ôóíêöèé Èíôåëüäàè Ìàêäîíàëüäà [1].Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. òî÷êå M0 (x0 , y0 , z0 ), âçÿòîé âíå áåñêîíå÷íîãî ïðîâîäÿùåãî çàçåìëåííîãî öèëèíäðà êðóãîâîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïîìåùåí çàðÿä q .

Ïîñòàâüòå çàäà÷ó äëÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ, ïîðîæäàåìîãî ýòèì çàðÿäîì, è ñâåäèòå åå ê êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿÃåëüìãîëüöà íà ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè öèëèíäðà.Çàäà÷à 2.3.32.  òî÷êå M0 âíóòðè áåñêîíå÷íîé ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ êâàäðàòíûì ïîïåðå÷íûìñå÷åíèåì ðàñïîëîæåí çàðÿä q .

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ïîðîæäàåìîãî ýòèì çàðÿäîì.Çàäà÷à 2.3.33. Âíóòðè áåñêîíå÷íîé ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè a è b, íàõîäèòñÿ çàðÿæåííûé îòðåçîê ïðÿìîé äëèíû l. Îòðåçîê ðàñïîëîæåí íà îñè öèëèíäðàè èìååò ïëîòíîñòü çàðÿäà, ðàâíóþ e. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ,ñîçäàâàåìîãî ýòèì îòðåçêîì.Çàäà÷à 2.3.34. Âíóòðè áåñêîíå÷íîé ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè a è b, a > b, íàõîäèòñÿçàðÿæåííûé îòðåçîê ïðÿìîé äëèíû a/2. Ïóñòü îñü Oz ñîâïàäàåòñ îñüþ öèëèíäðà, à îñü Ox ïàðàëëåëüíà áîëüøåé ñòîðîíå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Êîîðäèíàòû êîíöîâ çàðÿæåííîãî îòðåçêà ðàâíû(−a/4, 0, 0) è (−a/4, 0, 0).

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãîýòèì îòðåçêîì.Çàäà÷à 2.3.31.574. Âíóòðåííèå äâóìåðíûå çàäà÷èŸ 4. Âíóòðåííèå äâóìåðíûå çàäà÷èÏóñòü D îáëàñòü íà ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé êðèâîé L. Çäåñü è äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî L ÿâëÿåòñÿêðèâîé Ëÿïóíîâà. Ðàññìîòðèì âíóòðåííþþ çàäà÷ó Äèðèõëå:∆u = −F (M ),u|L = f (P ),M ∈ D,(2.4.1)(2.4.2)P ∈ L.Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (2.4.1-2.4.2) ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D, íåïðåðûâíóþ â çàìêíóòîé îáëàñòè D, óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (2.4.1) â îáëàñòè Dè ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2.4.2).Ïðè F ∈ L2 (D) ∩ C (1) (D) è f ∈ C(L) çàäà÷à (2.4.1-2.4.2) èìååòåäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå [1].