А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 18

Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè.125äëÿ ëþáûõ v ∈ C(De ) ∩ C (1) (De ), u ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De ), ãäå ~n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå îáëàñòè DeR . ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ èíòåãðàë ïî îêðóæíîñòè CR èìååò âèä:II1 (R) =∂uv dl = R∂n2Zπv∂u dψ.∂r r=R0CRÅñëè ôóíêöèè u è v ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè íà áåñêîíå÷íîñòè è ãàðìîíè÷åñêèìè âíå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D0 ⊂ De , òî íàéäóòñÿòàêèå A1 , A2 > 0, ÷òî|u| < A1 , |∇u| <2A1 ,r2 ∂u 2A1 < 2 ,∂rr2A2|v| < A2 , |∇v| <(A.4.2)(A.4.3)r2ïðè r → +∞ [1]. Ñëåäîâàòåëüíî, 2πZ 4πA1 A2∂u → 0 ïðè R → +∞.dψ <|I1 (R)| = R v ∂r r=RR0Çà ñ÷åò îöåíîê (A.4.2)-(A.4.3) èíòåãðàëZ∇v · ∇udSDeRïî îáëàñòè DeR â âûðàæåíèè (A.4.1) ñõîäèòñÿ ïðè R → +∞. Òàêèìîáðàçîì, ïðè R → +∞ ïîëó÷àåì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà âî âíåøíåéäâóìåðíîé îáëàñòè De :ZIv∆udS =Dev∂udl −∂nLÂòîðàÿ ôîðìóëà ÃðèíàZ(v∆u − u∆v) dS =DeZ∇v∇udS.(A.4.4)∂u∂v−udl∂n∂n(A.4.5)DeIvLàâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé äëÿ ëþáûõ ãàðìîíè÷åñêèõ âíåíåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D0 ⊂ De ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé u è v ,òàêèõ ÷òî u, v ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De ).126Ïðèë.

A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà ËàïëàñàÏîëó÷èì òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà â îáëàñòè De .  êîíå÷íîé îáëàñòèDeR òðåòüÿ ôîðìóëà Ãðèíà èìååò ìåñòî:IΩ(M0 )u(M0 ) =I +CR11L1∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPrM 0 P∂nPr M0 PZ−1∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPr M0 P∂nPr M0 P∆u(M ) lnDeR1r M0 MdlP +dlP −(A.4.6)dSM ,ãäå(Ω(M0 ) =2π , M0 ∈ DeR ,π , M0 ∈ L ∪ CR ,0, M0 ∈/ DeR .Íîðìàëè ~nP ê êðèâûì L è CR ÿâëÿþòñÿ âíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ êîáëàñòè DeR . Ðàññìîòðèì èíòåãðàëI I2 (R) =CR11∂u(P )∂− u(P )lnln∂nPr M0 P∂nPr M0 PdlPïî îêðóæíîñòè CR â ôîðìóëå (A.4.6) ïðè R → +∞.

Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (r, ψ). Ïóñòü òî÷êà M0 èìååò êîîðäèíàòû (r0 , ψ0 ).Òîãäà2Zπlim I2 (R) = limR→+∞R→+∞0∂u ∂r1ln qr2 +2r022Zπ= limn 1 lnORR→+∞0−− rr0 cos(ψ − ψ0 )∂−u ln q∂rr2 + r02 − rr0 cos(ψ − ψ0 ) 21Rdψ =r=R1 + u(R, ψ) 1 + O 1 o dψ = 2πu∞ ,RR1274. Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè.ãäå u∞ = limR→+∞12πRIudl ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè u ïî îêðóæ-CRíîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà.

 ðåçóëüòàòå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîëó÷àåì òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà â îáëàñòè De :Ω(M0 )u(M0 ) −2πu∞ =Z− ∆u(M ) lnDeIL1r M0 M11∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPrM 0 P∂nPr M0 PdSM ,ãäådlP −(A.4.7)2π , M0 ∈ De ,π , M0 ∈ L ,0, M0 ∈/ De .Âåëè÷èíà u∞ äëÿ ðåãóëÿðíîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè êîíå÷íà è âîáùåì ñëó÷àå íå ðàâíà íóëþ. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî â òðåõìåðíîìñëó÷àå òàêîãî ñëàãàåìîãî â òðåòüåé ôîðìóëå Ãðèíà íåò.(Ω(M0 ) =Ïðèëîæåíèå ÁÑÓÌÌÈÐÎÂÀÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÐßÄÎÂ1. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà:∞Xtn Pn (α) = pn=0∞ nXtn=1n1 + t2 − 2tα1 − xt +Pn (x) = − ln∞Xtn+1n=01n+1 Pn (x) = lnt−x+,|t| < 1.21,21,pt2 − tx +2pt2 − tx +−x1|t| < 1|t| < 1(Á.0.8)(Á.0.9)(Á.0.10)2.

Ñóììèðîâàíèå íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ:∞Xtn einψ =n=011 − te1 − te1 + t2 − 2t cos ψ−iψiψ=(Á.0.11)Èç (Á.0.11) ïîëó÷àåì:∞Xtn cos nψ =n=0è∞Xtn sin nψ =n=01 − t cos ψ ,1 + t2 − 2t cos ψt sin ψ1 + t − 2t cos ψ2.(Á.0.12)(Á.0.13)Èíòåãðèðóÿ ïî ïåðåìåííîé ψ ñîîòíîøåíèå (Á.0.13), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó−∞ nXt cos nψnn=1Z=t sin ψ1 + t2 − 2t cos ψdψ =1 ln(1 + t2 − 2t cos ψ) + C2Ïîëîæèâ t = 0, íàõîäèì ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ C = 0, è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:∞ nXt cos nψn=1n12= − ln(1 + t2 − 2t cos ψ) = ln p11 + t2 − 2t cos ψ(Á.0.14)Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. À.Ã.

Ñâåøíèêîâ, À.Í. Áîãîëþáîâ, Â.Â. Êðàâöîâ Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêå. Ì: Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óí-òà, 2004.2. À.Í. Áîãîëþáîâ, Â.Â. Êðàâöîâ Çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì:Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óí-òà, Èçä-âî ¾Íàóêà¿, 1998.3. B.C. Âëàäèìèðîâ, Â.Â. Æàðèíîâ Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2004.4. B.C. Âëàäèìèðîâ Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.

Ì.: Íàóêà, 1986.5. Í.Ñ. Êîøëÿêîâ, Ý.Á. Ãëèíåð, Ì.Ì. Ñìèðíîâ Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: ¾Âûñøàÿ øêîëà¿, 1970.6. Á.Ì. Áóäàê, À.À. Ñàìàðñêèé, À.Í. Òèõîíîâ, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2004.7. À.Í. Òèõîíîâ, À.À. Ñàìàðñêèé, Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, Ì.:Èçä-âî ÌÃÓ, 1998.8. Í.Í. Ìèðîëþáîâ, Ì.Â. Êîñòåíêî, Ì.Ë. Ëåâèíøòåéí, Í.Í. Òèõîäååâ, Ìåòîäû ðàñ÷åòà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, Ì.: ¾Âûñøàÿ øêîëà¿, 1963.9. Ô.Ì. Ìîðñ, Ã. Ôåøáàõ, Ìåòîäû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ò.1, Ì.: ÈË, 1958.10. À.Ã. Ñâåøíèêîâ, À.Í. Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé,Ì.: Íàóêà, 2003.11.

Ì.À. Ëàâðåíòüåâ, Á.Â. Øàáàò, Ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî ïåðåìåííîãî. Ãîñòåõèçäàò, 1951.12. Å.Â. Çàõàðîâ, È.Â. Äìèòðèåâà, Ñ.È. Îðëèê, Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêè. Ñáîðíèê çàäà÷. ÌÃÓ èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè.

Ìîñêâà, 2009.13. Ñ.Ã. Êàëàøíèêîâ, Ýëåêòðè÷åñòâî. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003.14. À.Á. Âàñèëüåâà, Í.À. Òèõîíîâ Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2002.15. Â.Ò. Âîëêîâ, À.Ã. ßãîëà Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. Êóðñ ëåêöèé. Ì.: ÊÄÓ, 2008.16. È.Ã. Ïåòðîâñêèé Ëåêöèè ïî òåîðèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.:ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2009.17. À.Í. Òèõîíîâ, À.Á. Âàñèëüåâà, À.Ã.

Ñâåøíèêîâ Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2005.18. Ã.À. Ãðèíáåðã Èçáðàííûå âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõè ìàãíèòíûõ ÿâëåíèé. Ì.: Èçäàòåëüñòâî Àêàäåìèè Íàóê ÑÑÑÐ, Ìîñêâà,Ëåíèíãðàä, 1948.19. Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü 2. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2002.20.

È.Ö. Ãîõáåðã, Ì.Ã. Êðåéí Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Èçä-âî ¾Íàóêà¿, Ãëàâíàÿðåäàêöèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, Ìîñêâà, 1965.5 À.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò. Ëåâàøîâà, È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà, Í.Å. ØàïêèíàÓ÷åáíîå èçäàíèåÁîãîëþáîâ Àëåêñàíäð Íèêîëàåâè÷Ëåâàøîâà Íàòàëèÿ ÒèìóðîâíàÌîãèëåâñêèé Èëüÿ Åôèìîâè÷Ìóõàðòîâà Þëèÿ Âÿ÷åñëàâîâíàØàïêèíà Íàòàëüÿ ÅâãåíüåâíàÔÓÍÊÖÈß ÃÐÈÍÀ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ËÀÏËÀÑÀÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 6.09.2012Îáúåì 8,06 ï.ë. Òèðàæ 100 ýêç.Çàêàç Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ èì.

Ì.Â. Ëîìîíîñîâà119991, Ìîñêâà, ÃÑÏ-1, Ëåíèíñêèå ãîðû, ä.1, ñòð.2Îòïå÷àòàíî â îòäåëå îïåðàòèâíîé ïå÷àòèôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà.