А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа (1125171), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäàóäîâëåòâîðÿåò êðàåâîìó óñëîâèþ (4.3.1) ïðè z = 0. Òàê êàê ôóíêöèÿw äîëæíà ðàâíîìåðíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè z → +∞, òî ïîëîæèìC0 = 0, z0∗ = +∞. Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ+∞Zw(x − x0 , y − y0 , z + z0 ) = −2qhz+z0= −2qh+∞Zeh(z+z0 −α)qdα =(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + α2eh(z0 −η)qz0dη(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + η)2ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè z > 0. Òàê êàê èíòåãðàëû, ïîëó÷àåìûå äâóêðàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ âw ïî ïåðåìåííûì x, y è z , ñõîäÿòñÿ, òî ôóíêöèÿ w ÿâëÿåòñÿ äâàæäûíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, ïðè÷åì∆M w = −2qh+∞Zeh(z0 −η) ∆M qz01(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + η)2òàê êàê ïðè âñåõ η > z0 ôóíêöèÿ1rM M 0=q(x − x0)21+ (y − y0 )2 + (z + η)2dη = 0,,ãäå M 0 (x0 , y0 , −η), ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé M (x, y , z).Èòàê, ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ w, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íîìóóñëîâèþ (4.3.1) ïðè z = 0 è ðàâíîìåðíî ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ íàáåñêîíå÷íîñòè, ïîñòðîåíà.
Ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèðåøåíèÿ òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è ïðè h > 0 äðóãèõ òàêèõ ôóíêöèé íåò,òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìu(M , M0 ) = q+qqq(x − x0− 2qh+∞Zz0+(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2)2−+ (y − y0 )2 + (z + z0 )2eh(z0 −η)qdη(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + η)2(4.3.2)Åñëè ïîëîæèòü q = 1 , òî âûðàæåíèå (4.3.2) áó4πäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ôóíêöèþ Ãðèíà òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è ââåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå.Çàìå÷àíèå 4.3.13. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.117Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåïëà â øàðå ðàäèóñà R,ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì ìîùíîñòè q , ïîìåùåííûì âòî÷êó M0 âíóòðè øàðà, åñëè íà åãî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé îáìåí òåïëîì ïî çàêîíó Íüþòîíà ñî ñðåäîé, èìåþùåéíóëåâóþ òåìïåðàòóðó.Çàäà÷à 4.3.3. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà â øàðîâîì ñëîå a < r < b, åñëè íà ãðàíèöå r = a çàäàíî óñëîâèå Äèðèõëå,à íà ãðàíèöå r = b çàäàíî óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà ∂G + hG = 0,∂rr=bh > 0.Çàäà÷à 4.3.4.
Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà â êðóãå ðàäèóñà a, åñëè íà ãðàíèöå r = a çàäàíî óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà∂G= 0, h > 0.+ hG∂rr=aÇàäà÷à 4.3.5. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà ââåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè,åñëè íà ãðàíèöå y = 0 çàäàíî óñëîâèå òðå∂Gòüåãî ðîäà− hG= 0, h > 0.Çàäà÷à 4.3.2.∂yy=0Ïðèëîæåíèå AÔÎÐÌÓËÛ ÃÐÈÍÀ ÄËß ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ËÀÏËÀÑÀ 1. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.Ïóñòü D ⊂ R3 êîíå÷íàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S . Êàê èçâåñòíî [19], äëÿ ëþáîãî âåêòîðà~ , êîìïîíåíòû êîòîðîãî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû âíóòðè îáëàñòèAD, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî:ZZ~ · ~ndS =A~div AdVDSÇäåñü ~n åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè Díîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S .Èç ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïåðâàÿ ôîðìóëàÃðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D.
Âîçüìåì âêà÷åñòâå âåêòîðà A~ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:~ = v∇u,Aãäå v è u ñêàëÿðíûå ôóíêöèè êîîðäèíàò, òàêèå ÷òîv ∈ C(D) ∩ C (1) (D),u ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D).Ïðè ýòîì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî~ = div (v∇u) = ∇v · ∇u + v∆u,div Aãäå ∆ = div ∇ îïåðàòîð Ëàïëàñà, è~n · ∇u =∂u,∂nïîëó÷àåì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:ZZv∆udV =DS∂uv dS −∂nZ∇v · ∇udV(A.1.1)DÂòîðàÿ ôîðìóëà Ãðèíà àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé, åñëèâçÿòüu, v ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D)1191. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.è ðàññìîòðåòü ðàçíîñòü èíòåãðàëîâ ïî îáëàñòè D îò âûðàæåíèé v∆u èu∆v :Z(v∆u − u∆v) dV =DZv∂u∂v−udS∂n∂n(A.1.2)SÅñëè îáëàñòü D îãðàíè÷åíàíåñêîëüêèìè çàìêíóòûìè ïîâåðõíîñòÿìè, òî èíòåãðàë â ëåâîé÷àñòè ðàâåíñòâ (A.1.1) è (A.1.2)ïðåâðàùàåòñÿ â ñóììó èíòåãðàëîâïî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîâåðõíîñòÿì.Ïðè ýòîì âñå íîðìàëè îáÿçàíû áûòüâíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D(ñì.
ðèñ. A.1.1).Òðåòüÿ ôîðìóëà Ãðèíà ìîæåò áûòüïîëó÷åíà èç âòîðîé, åñëè â êà÷åñòâåôóíêöèè v âçÿòü ôóíäàìåíòàëüíîåðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå:v(M , M0 ) =Ðèñ. A.1.1.14πr,M M0ãäå rM M0 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè M è M0 . Òàê êàê äëÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè M0 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîéôóíêöèåé êîîðäèíàò òî÷êè M ïðè M 6= M0 , òî â ñëó÷àå, êîãäà M ∈ D,à M0 ∈/ D, èç âòîðîé ôîðìóëû Ãðèíà (A.1.2) ñðàçó æå ïîëó÷àåì:0=ZS1rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0ZdSP −D∆udVM .rM M 0(A.1.3) ðàâåíñòâå (A.1.3) òî÷êà P ïðîáåãàåò ãðàíèöó S îáëàñòè D, ~nPïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíåøíþþ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå P ,èíäåêñ P ó ýëåìåíòà ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè dSP îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè P , à èíäåêñ M ýëåìåíòàîáúåìà dVM , ñîîòâåòñòâåííî, îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè M .
Êîîðäèíàòû òî÷êè M0 èãðàþò ðîëü ïàðàìåòðîâ.Åñëè òî÷êà M0 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè D, åå ìîæíî îêðóæèòü ñôåðîé Σ(M0 , ε) ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â M0 . Ðàäèóñ ε ìîæíî âûáðàòüíàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî øàð K(M0 , ε) ñ öåíòðîì â M0 è ðàäèóñîì ε áóäåòöåëèêîì ëåæàòü â îáëàñòè D. Ðàññìîòðèì âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà â1 ÿâëÿåòñÿîáëàñòè D \ K(M0 , ε). Òàê êàê â ýòîé îáëàñòè ôóíêöèÿrM M 0120Ïðèë. A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàãàðìîíè÷åñêîé, ïîëó÷àåì:ZS11∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0rP M0Z1+Σ(M0 ,ε)dSP +1∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0rP M0ZdSP =D\K(M0 ,ε)∆u(M )dVM .r M M0(A.1.4)Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå èíòåãðàë ïî ñôåðå Σ(M0 , ε):Z1I(ε) =1rP M0Σ(M0 ,ε)∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0dSP .Çäåñü åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ~nP ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D \ K(M0 , ε), òî åñòü îíà íàïðàâëåíà âíóòðü K(M0 , ε). Ïåðåéäåìê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 .
Òîãäà ~nP = −~er , è2ZπI(ε) =dψ0Zπ −1 ∂u + u ∂ 1 r ∂r∂r rε2 sin θdθ =r=ε02Zπ=−dψ0Zπ ε∂u + u|r=ε sin θdθ.∂r r=ε0Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñðåäíåì ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà I(ε) è óñòðåìëÿÿ ε ê íóëþ â ðàâåíñòâå (A.1.4), ïîëó÷àåì:4πu(M0 ) =Z11rP M0S∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0òàê êàêZdSP −D∆u(M )dVM ,r M M0(A.1.5)I(0) = −4πu(M0 ).Åñëè òî÷êà M0 ïðèíàäëåæèò ïîâåðõíîñòè S îáëàñòè D, ìîæíîïîâòîðèòü âñå ïðîâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé,÷òî òåïåðü âíóòðè D îêàçûâàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü øàðà K(M0 , ε).
Ïîâåðõíîñòü ýòîé åãî âíóòðåííåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D ÷àñòè ïðè ìàëûõε áëèçêà ê ïîëóñôåðå. Ïîýòîìó â ôîìóëå (A.1.5) íóæíî çàìåíèòüìíîæèòåëü 4π íà 2π . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì òðåòüþ ôîðìóëóÃðèíà:ZΩ(M0 )u(M0 ) =S1rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0ZdSP −D∆u(M )dVM ,rM M 0(A.1.6)1212. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòèãäå(Ω(M0 ) =4π , åñëè M0 ∈ D2π , åñëè M0 ∈ S0, åñëè M0 ∈/ D 2. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòèÏóñòü De äîïîëíåíèå êîíå÷íîé îáëàñòè D ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S äî âñåãî ïðîñòðàíñòâà R3 .
Äëÿ ðåãóëÿðíûõíà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé âî âíåøíåé îáëàñòè De òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü òðè ôîðìóëû Ãðèíà.Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèëîñü âíóòðè îáëàñòè D. Îêðóæèì îáëàñòü D ñôåðîé Σ(O, R)ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò O è äîñòàòî÷íî áîëüøèì ðàäèóñîì R. Âêîíå÷íîé îáëàñòè K(O, R) \ D, ãäå K(O, R) øàð ñ öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò è ðàäèóñîì R, ñïðàâåäëèâû òðè ôîðìóëû Ãðèíà:1) Äëÿ ëþáûõ v ∈ C(De ) ∩ C (1) (De ) è u ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De )ZZ∂uv∆udV = vdS +ZSΣ(O ,R)v∂nPK(O ,R)\DZ∂udS −∂n∇v · ∇udV ,K(O ,R)\D(A.2.1)ãäå ~n åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Σ(O, R). Ïåðåõîäÿê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ïîëó÷àåìZZπ 2Zπ∂uv dS = R2∂nI1 (R) =v∂u sin θdθdψ.∂r r=R0 0Σ(O ,R)2) Äëÿ ëþáûõ v , u ∈ C (De ) ∩ C (De )(1)( 2)Z(v∆u − u∆v) dV =K(O ,R)\D Z+Zv∂u∂v−u∂nP∂nPdS+S(A.2.2)∂u∂vv−udS ,∂n∂nΣ(O ,R)ãäåI2 (R) =Z∂u∂vv−udS = R2∂n∂n2Zπdψ0Σ(O ,R)Zπ v∂u∂v −usin θdθ.∂r∂r r=R03) Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De )ZΩ(M0 )u(M0 ) =S1rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0dSP +122Ïðèë.
A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà ËàïëàñàZΣ(O ,R)ãäå1+rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0ZdSP −K(O ,R)\D∆u(M )dVM ,r M M0(A.2.3) 4π , åñëè M0 ∈ K(O, R) \ D,2π , åñëè M0 ∈ S èëè M0 ∈ Σ(O, R),Ω(M0 ) =0, åñëè M0 ∈/ K(O, R) \ D.Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ïî ñôåðå Σ(O, R):Z1I3 (R) =1rP M0Σ(O ,R)∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0dSP . ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõqrP M0 P ∈Σ(O,R) = R2 + r02 − 2Rr0 cos γ ,11∂∂nP rP M0 P ∈Σ(O ,R)∂q=∂rr2 + r02 − rr0 cos γR − r0 cos γ= −22R + r02 − Rr0 cos γ2=r=R3/2 ,ãäå (r0 , θ0 , ψ0 ) êîîðäèíàòû òî÷êè M0 , (R, θ, ψ) êîîðäèíàòû òî÷êèP ∈ Σ(O, R), ècos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ) (ñì.
3 ãëàâû 2).Òàêèì îáðàçîì,2Zπ ZπI3 (R) =0 0+1+1− r 20RRr1+r 0R−2 r 20R−2·r 0Rcos γ∂u +∂r r=Rcos γr 0Rcos γ3/2 · u|r=R sin θdθdψ. ðàâåíñòâàõ (A.2.1)-(A.2.3) íîðìàëü ~nP ê ïîâåðõíîñòè S ÿâëÿåòñÿâíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè De , òî åñòü îíà íàïðàâëåíà âíóòðüD.1233. Äâóìåðíûé ñëó÷àé.
Âíóòðåííèå îáëàñòè.Åñëè ôóíêöèè u è v ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè íà áåñêîíå÷íîñòè (ñì.îïðåäåëåíèå 2.2.1), òî èíòåãðàëû I1 (R), I2 (R), I3 (R) ïî ñôåðå Σ(O, R)â ðàâåíñòâàõ (A.2.1)-(A.2.3) ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè R → +∞.  ñàìîìäåëå, äëÿ ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé u è v ñóùåñòâóþòòàêèå ïîñòîÿííûå A1 > 0 è A2 > 0, ÷òî|v|r=R <33A1 ∂v AAA ∂u < 21 , |u|r=R < 2 , < 22 ., R∂r r=RR∂r r=RRRÑëåäîâàòåëüíî, äëÿ èíòåãðàëà I1 (R) â ðàâåíñòâå (A.2.1) ïîëó÷àåì 2π πZ Z3A1 A2 → 0 ïðè R → +∞.∂u v |I1 (R)| = R2 sin θdθdψ < 4π ·∂rRr=R0 0Èíòåãðàëû I2 (R) è I3 (R) â ðàâåíñòâàõ (A.2.2)-(A.2.3) îöåíèâàþòñÿàíàëîãè÷íûì îáðàçîì.Èòàê, óñòðåìëÿÿ ðàäèóñ R ê áåñêîíå÷íîñòè, äëÿ ðåãóëÿðíûõ íàáåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé ïîëó÷àåì òðè ôîðìóëû Ãðèíà, àíàëîãè÷íûåôîðìóëàì äëÿ âíóòðåííèõ îáëàñòåé:ZZZ∂uv∆udVM = vdSP − ∇v · ∇udVM ,(A.2.4)∂nPDeSZ(v∆u − u∆v) dVM =DeZΩ(M0 )u(M0 ) =Z−ãäåDeSZDev∂u∂v−u∂nP∂nPS1rP M0dSP ,1∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0∆u(M )dVM ,r M M0(Ω(M0 ) =(A.2.5)dSP −(A.2.6)4π , åñëè M0 ∈ De ,2π , åñëè M0 ∈ S ,0, åñëè M0 ∈/ De . 3.
Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.Ïóñòü D îáëàñòü íà ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé êðèâîé L.Ïåðâàÿ ôîðìóëà Ãðèíà â äâóìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèäZIv∆udS =DL∂uv dl −∂nZ∇v · ∇udSD(A.3.1)124Ïðèë. A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàäëÿ âñåõv ∈ C(D) ∩ C (1) (D),u ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D).Âòîðàÿ ôîðìóëà Ãðèíà:Z(v∆u − u∆v) dS =DIv∂u∂v−udl∂n∂n(A.3.2)Läëÿ âñåõu, v ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D)Òðåòüÿ ôîðìóëà Ãðèíà:IΩ(M0 )u(M0 ) =Z−ln∆u(M ) lnDrP M01L11r M M0ãäå∂u(P )∂− u(P )ln∂nP∂nPrP M0dlP −dSM ,(A.3.3)2π , åñëè M0 ∈ Dπ , åñëè M0 ∈ L0, åñëè M0 ∈/ DÄîêàçûâàþòñÿ ýòè ôîðìóëû ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.(Ω(M0 ) = 4. Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè.Ïóñòü De äîïîëíåíèå êîíå÷íîé îáëàñòè D ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé ãðàíèöåé L äî âñåé ïëîñêîñòè R2 .
Äëÿ ðåãóëÿðíûõ íàáåñêîíå÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ âíå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòèôóíêöèé ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû òðè ôîðìóëû Ãðèíà â îáëàñòè De . Âäâóìåðíîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò òðåõìåðíîãî, íåîáõîäèìî ïîìèìî ðåãóëÿðíîñòè (òî åñòü îãðàíè÷åííîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè) òðåáîâàòü åùåè ãàðìîíè÷íîñòè ôóíêöèé ïîòîìó, ÷òî òîãäà èõ ïðîèçâîäíûå óáûâàþò1íà áåñêîíå÷íîñòè êàê 2 [9].rÂûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò O íàõîäèëîñü âíóòðè îáëàñòè D. Îêðóæèì îáëàñòü D îêðóæíîñòüþCR ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è äîñòàòî÷íî áîëüøèì ðàäèóñîì R.Òîãäà â êîíå÷íîé îáëàñòè DeR , îãðàíè÷åííîé êðèâîé L è îêðóæíîñòüþCR , ñïðàâåäëèâû òðè ôîðìóëû Ãðèíà.Ðàññìîòðèì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:ZIIZ∂u∂uv∆udS = v dl +v dl −∇v · ∇udS ,∂nDeRL∂nCRDeR(A.4.1)4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
