А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа (1125171), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè ñ ïîñòîÿííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà q , ïîìåùåííîéâíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α ïàðàëëåëüíî ðåáðó ýòîãî óãëà,α ∈ (0; 2π). Ãðàíè óãëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè. (Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ α = π äàííàÿ çàäà÷à ðåøåíànðàíåå ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, îäíàêî â îáùåìñëó÷àå ýòîò ìåòîä íåïðèìåíèì: ðàíî èëè ïîçäíî ôèêòèâíûé çàðÿä,ïîëó÷åííûé ïðè îòðàæåíèè, ïîïàäåò â ðàññìàòðèâàåìóþ îáëàñòü,÷òî ïðèâåäåò ê íàëè÷èþ ëèøíåãî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà).Ð ÅØÅÍÈÅ . Ââåäåì öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñîâìåñòèâ îñüOz ñ ðåáðîì óãëà.

Òàê êàê ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà q íèòè ïîñòîÿííà, òî â çàäà÷å íåò çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííîé z , è îíà ñâîäèòñÿê äâóìåðíîé. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþðåáðó óãëà. Ïóñòü M0 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ íèòè ñ ýòîé ïëîñêîñòüþ, è(r0 , ψ0 ) ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè M0 â ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè. Îáëàñòü D = {(r, ψ) : r > 0, 0 < ψ < α} â âûáðàííîé ïëîñêîñòèñîîòâåòñòâóåò âíóòðåííåé ÷àñòè äâóãðàííîãî óãëà. Èòàê, çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä:∆u = −4πqδ(M , M0 ), M , M0 ∈ D,u|ψ=0 = u|ψ=α = 0.Ââåäåì êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü z , ãäå |z| = r, arg z = ψ è áóäåì èñêàòüðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2.6.2. Äëÿ ýòîãî íóæíî îòîá-76Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåðàçèòü îáëàñòü D íà âíóòðåííîñòü êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà. Ñíà÷àëàïðåîáðàçóåì ñåêòîðâ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèèππζ = z α , ζ0 = z0α , ãäå z0 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå M0 . Âåðõíÿÿ ïîëóïëîñêîñòüìîæåò áûòü îòîáðàæåíà íà êðóã ñ ïîìîùüþ äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèèw = f (ζ) =ζ − ζ0,ζ − ζ0πãäå ζ 0 êîìïëåêíî ñîïðÿæåííîå ê ζ0 , ïðè÷åì òî÷êà ζ0 = z0α ïåðåõîäèòâ öåíòð êðóãà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.6.2 ôóíêöèÿ Ãðèíà èìååòâèä:u(z , z0 ) =èëè22πu(r, ψ) =Çàìå÷àíèå 2.6.2çíà÷íîé:r0α + rq2 ln r 2πα0 π/απ/α − z0 z,ln π/α π/α− z0 zq+r2πα2πα2− 2 (rr0 )ππ(ψ − ψ0 )α.πcos (ψ + ψ0 )α− (rr0 ) α cosπαπÂîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ ζ = z α ÿâëÿåòñÿ ìíîãîπππζ = z α = e α Ln z = e α (ln |z|+i arg z+i2πk) , k ∈ Z.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ñ åå ïîìîùüþ êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå, ìû âûáèðàåì âåòâü, ñîîòâåòñòâóþùóþ k = 0.πÒî÷êà z = 0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ζ = z α ,ïîýòîìó ïðè z = 0 êîíôîðìíîñòü îòîáðàæåíèÿ íàðóøàåòñÿ.

Òåìíå ìåíåå, çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ â ýòîé òî÷êå èçâåñòíî èçãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, îíî ðàâíî íóëþ, ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ ãðàíèóãëà çàçåìëåíû.Ïðèìåð 2.6.24. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ïîëîñå x ∈ (−∞; +∞), y ∈ (0; π).Ð ÅØÅÍÈÅ . Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíî ïîñòðîèòü êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå äàííîé ïîëîñû êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z íà âíóòðåííîñòüåäèíè÷íîãî êðóãà |ζ| < 1, ïðè êîòîðîì çàäàííàÿ òî÷êà z0 ïåðåõîäèëàáû â öåíòð êðóãà ζ = 0.

Ýòî îòîáðàæåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþôóíêöèè Æóêîâñêîãî, èìåþùåé âèä:f (z , z0 ) =ez − ez0.ez − ez0Òàê êàêno122 2|ez − ez0 | = (ex cos y − ex0 cos y0 ) + (ex sin y − ex0 sin y0 )=1x+x0 √=e 22 {ch (x − x0 ) − cos (y − y0 )} 2 ,776. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷òî ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôóíêöèþ ÃðèíàG(M , M0 ) =11 ch(x − x0 ) − cos(y + y0 )12π ln |f (z, z0 )| = 4π ln ch(x − x0 ) − cos(y − y0 ) .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà q , ïîìåùåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû 2π ïàðàëëåëüíî ðåáðó ýòîãî óãëà.

Ãðàíè3óãëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè.Çàäà÷à 2.6.26. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéïëàñòèíû øèðèíû L ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ , ïîìåùåííîé âíå äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π . Ãðàíè óãëà èäåàëüíî2ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = 0 è ψ = π . Êðàÿ ïëàñòèíû2ëåæàò íà ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ãðàíè óãëà, ïðîõîäÿùèõ, ñîîòâåòñòâåííî, ÷åðåç òî÷êè (r1 , ψ0 , z1 ) è (r1 + L, ψ0 , z1 ), π < ψ0 < 2π .Çàäà÷à 2.6.25.26.5. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿâ ðÿä Ôóðüå.Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïðèìåíèì è âäâóìåðíîì ñëó÷àå. Îí ïîçâîëÿåò ñâåñòè èñõîäíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà.Ïðèìåð 2.6.27.

Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ êîëüöåâîãî ñåêòîðàa 6 r 6 b, 0 6 ψ 6 α.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ôóíêöèÿ Ãðèíà G (r, r0 , ψ , ψ0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è∆G = −4π δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 ),(2.6.17)r0a < r, r0 < b; 0 < ψ , ψ0 < α,G|ψ=0 = G|ψ=α = 0,G|r=a = G|r=b = 0.(2.6.18)(2.6.19)(2.6.20)Áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ G (r, r0 , ψ , ψ0 ) â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüåπnïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé vn (ψ) = sin ψ , n = 1, 2, ... îòðåçêàα[0, α] :G (r, r0 , ψ , ψ0 ) =∞XAn (r, r0 , ψ0 ) sinn=1πnψ.αÊîýôôèöèåíòû An Ôóðüå ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè2An (r, r0 , ψ0 ) =Zαα0G (r, r0 , ψ , ψ0 ) sinπnψdψ , n =α1, 2, ... .78Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÏîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî óìíî2 πnæèì óðàâíåíèå (2.6.18) íà sin ψ è ïðîèíòåãðèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþαα÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ïî îòðåçêó [0, α]:1∂2r ∂ r ∂r∂r α12+Zα2r α0ZαπnG (r, r0 , ψ , ψ0 ) sinψdψ  +α0Zα8∂2Gπδ(r − r0 )πnsinψdψ = −2ααr0∂ψδ(ψ − ψ0 ) sinπnψdψ.α0Äâà ðàçà èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ñó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2.6.19), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèéAn (r, r0 , ψ0 ):ddrrdAndr−1 πn 2 An = − 8πr δ(r − r0 ) sin πn ψ0 ,rαr0 ααn = 1, 2, ...(2.6.21)Êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþò èç (2.6.20):An |r=a = An |r=b = 0.(2.6.22)Áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (2.6.21)-(2.6.22) íà îòðåçêå[a, b] ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà. Êàê èçâåñòíî [17], ôóíêöèþ Ãðèíàñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàL[y] =ddrp(r)dydrñëåäóåò èñêàòü â âèäå:g(r, s) =1p(s)W (s)y1 (r)y2 (s), a 6 r 6 s,y2 (r)y1 (s), s 6 r 6 b,ãäå y1 (r), y2 (r) ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ L[y] = 0, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿìy1 (a) = 0, y2 (b) = 0,(2.6.23)à W (s) îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ôóíêöèé y1 (r) è y2 (r), âçÿòûé âòî÷êå s.Ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿddrrdydr−1 πn 2 y = 0,rαóäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì (2.6.23), èìåþò âèäy1 (r) = rπnα1− 2πnarα!, y2 (r) = rπn− α1− 2πnrbα!.796.

Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷Òîãäà2πnp(s)W (s) = sW [y1 (s), y2 (s)] = −α1+ 2πnabα!.Äëÿ ôóíêöèè g(r, s) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå"g(r, s) =×2πn−α πnr α s πns α r1+1−1− 2πn!#−1 2πn! 2πn!abarasα×1−α1−α 2πn! 2πn!sbrb, a 6 r 6 s,α, s 6 r 6 b.αÔóíêöèÿ An (r, r0 , ψ0 ), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (2.6.21)(2.6.22), ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ÷åðåç ôóíêöèþ g(r, s) ñëåäóþùèìîáðàçîì [17]:Zb8π s δ(s − r0 ) sin πn ψ0 ds,An (r, r0 , ψ0 ) = g(r, s) −αr0α(2.6.24)aÏîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ g(r, s) â (2.6.24), ïîëó÷àåìAn (r, r0 , ψ0 ) =!! πn a 2πn r 2πnαrαα01− r1− br0πn!sinψ , a 6 r 6 r0 ,4· a 2πnα 0αn 1+b=! 2πn r πn r 2πnαaα α01 − r01− brπn!4·sinψ , r0 6 r 6 b.2πnα 0a αn 1+b80Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÎêîí÷àòåëüíî ðåøåíèå çàäà÷è (2.6.18)-(2.6.20) ïîëó÷àåì â âèäå ðÿäàÔóðüåG(r, r0 , ψ , ψ0 ) =!! πn a 2πn r 2πnαrαα01− r1− b∞Xr0!×4· a 2πnαn=1n 1+bπnπn× sinψ sinψ , r 6 r0 ,α 0α! 2πn r πn r 2πnαaα α01− b1 − r0∞rX!4·× a 2πnαn=1n 1+bπnπnψ0 sinψ , r0 6 r.× sinααÎòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå ðÿäû ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî ïðè r 6= r0 èóñëîâíî ïðè r = r0 .Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè, ïîìåùåííîé âíóòðü áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè,ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðîé èìååò ôîðìó ñåêòîðà ðàäèóñà a èóãëîì π . Ïîëîñòü îãðàíè÷åíà èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé4ïîâåðõíîñòüþ.Çàäà÷à 2.6.28.Ãëàâà 3ÔÓÍÊÖÈÈ ÃÐÈÍÀ ÇÀÄÀ× ÍÅÉÌÀÍÀÊðàåâûå çàäà÷è äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Íåéìàíà âîçíèêàþò, íàïðèìåð, ïðè ðàñ÷åòå ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿòåìïåðàòóðû â íåêîòîðîé îáëàñòè.

Åñëè èçâåñòåí òåïëîâîé ïîòîê ÷åðåçãðàíèöó ýòîé îáëàñòè, òî ìû ïðèõîäèì ê çàäà÷å ñ íåîäíîðîäíûì óñëîâèåì Íåéìàíà. Åñëè ïîòîê òåïëà ÷åðåç ãðàíèöó îòñóòñòâóåò, òî åñòüãðàíèöà òåïëîèçîëèðîâàíà, òî ãðàíè÷íîå óñëîâèå Íåéìàíà îêàçûâàåòñÿîäíîðîäíûì.Ÿ 1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷èÏóñòü D îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ S â ïðîñòðàíñòâå R3 . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿÏóàññîíà:∆u = −F (M ),∂u = f (P ),∂nSM ∈ D,(3.1.1)P ∈ S,(3.1.2)ãäå n åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D íîðìàëü êïîâåðõíîñòè S . îòëè÷èå îò çàäà÷è Äèðèõëå âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à (3.1.1-3.1.2)ðàçðåøèìà òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿZ−IF (M )dV = f (P )dS.D(3.1.3)SÄåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ðåøåíèå çàäà÷è u(M ) ñóùåñòâóåò. Ïðèìåíèìïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà,ZIv∆u dV =D∂uvdS −∂nSZ∇v · ∇u dV ,Dê ðåøåíèþ u çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) è ôóíêöèè v = 1.

 ðåçóëüòàòåïîëó÷èìZI∂u∆udV =dS ,(3.1.4)∂nDSîòêóäà ñëåäóåò (3.1.3). Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (3.1.3) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è.82Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÏîÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè (3.1.3) â ðàìêàõýëåêòðîñòàòèêè. Åñëè ôóíêöèÿ u ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, òî âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (3.1.4) åñòü ïîëíûéïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþïîâåðõíîñòü S , à âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè (3.1.4) åñòü ïîëíûé çàðÿä,íàõîäÿùèéñÿ âíóòðè îáëàñòè D. Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî (3.1.3)îçíà÷àåò âûïîëíåíèå òåîðåìû ÎñòðîãðàäñêîãîÃàóññà.Ïóñòü óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) âûïîëíåíî.Îïðåäåëåíèå 3.1.1 Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D,óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (3.1.1) â îáëàñòè D è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.1.2).Åñëè ãðàíèöà S îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà, ôóíêöèÿ F (M ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, à ôóíêöèÿ f (P )íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.1.3), òî çàäà÷à (3.1.1-3.1.2)èìååò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äîàääèòèâíîé ïîñòîÿííîé [1].Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1.13.1.2), âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2.1.4):u(M ) =Z−IG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )− u(P )dSP −∂nP∂nP(3.1.5)SG(Q, M )∆u(Q)dVQ .D×åðåç G(Q, M ) îáîçíà÷åíî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõñëàãàåìûõ:1 + v,G(Q, M ) =4πrQMãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè D ôóíêöèÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå∂u (3.1.5) çíà÷åíèÿ = f (P ) è ∆u(Q) = −F (Q), ïîëó÷àåì:∂nu(M ) =Z+ISG(P , M )f (P ) − u(P ),∂G(P M )dSP +∂nP(3.1.6)SG(Q, M )F (Q)dVQ .D ïðàâîé ÷àñòè (3.1.6) ñîäåðæèòñÿ ñëàãàåìîåIS,∂G(P M )u(P )dSP =∂nPIu(P )S1∂∂v+∂nP πrP M∂nP4dSP ,(3.1.7)1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷è83çíà÷åíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî, ïîñêîëüêó â çàäà÷å íà ãðàíèöå S çàäàíî∂uëèøü (P ), P ∈ S , à çíà÷åíèå ñàìîé ôóíêöèè u(P ) íå îïðåäåëåíî.∂nÐåøåíèå âíóòðåííåé òðåõìåðíîé çàäà÷è Íåéìàíà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé, ïîýòîìó ïîäáåðåì ôóíêöèþ v òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû âûðàæåíèå (3.1.7) áûëî ðàâíî êîíñòàíòå.

Характеристики

Список файлов книги