А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа (1125171), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÏîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â ñåêòîðå ðàäèóñà a ñ óãëîì α.Çàäà÷à 2.6.18.6.3. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå â äâóìåðíîé îáëàñòè D ïðèìåíÿåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó,êàê ýòî äåëàåòñÿ â òðåõìåðíîì ñëó÷àå (ñì.
ïóíêò 3.3). Ôóíêöèÿ Ãðèíàèìååò âèä1 ln 1 + v(Q, M ),G(Q, M ) =2πrQMãäå Q ∈ D òî÷êà èñòîêà, M ∈ D òî÷êà íàáëþäåíèÿ, à ôóíêöèÿ vÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è(∆v = 0,Q ∈ D,11v|L = − ln2π r,(2.6.10)P ∈ L.PMÎáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòèìååò âèäv(r, ψ) = C0 + D0 ln r ++∞X∞XCn rn + Dn r−n cos nψ+n=1En rn + Fn r−n sin nψ.n=1Êîýôôèöèåíòû Cn , Dn , En , Fn íàõîäÿòñÿ èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ.
Ðàçëîæèì íåîäíîðîäíîñòü â ãðàíè÷íîì óñëîâèè â ðÿä Ôóðüå ïî îñíîâíîéòðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì âðÿä ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà:112π ln r=M M0=112π ln qr2 + r02 − 2rr0 cos(ϕ − ϕ0 )=∞X1111 r0 n cos n(ϕ − ϕ0 ), åñëè r > r0 ,ln+2π n r 2π r1 1 1 2π ln r + 2π0n=1∞Xn=11 r n cos n(ϕ − ϕ0 ),nr0(2.6.11)åñëè r < r0 .Âûâîä ôîðìóëû (2.6.11) ïðèâåäåí â ïðèëîæåíèè (ñì. (Á.0.14)).Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîé íèòüþ ñ ïîñòîÿííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäàρ0 âíóòðè öèëèíäðè÷åñêîãî ñëîÿ, îãðàíè÷åííîãî äâóìÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè ïðîâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè öèëèíäðàìè, ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿêîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè ðàäèóñîâ a è b (a < b).
Íèòüïàðàëëåëüíà îñè ñèñòåìû.Ïðèìåð 2.6.19.716. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷Ð ÅØÅÍÈÅ . Çàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïëîñêóþ â ëþáîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè öèëèíäðè÷åñêîãî ñëîÿ. Ïóñòü íèòü ïðîõîäèò ÷åðåçòî÷êó M0 , ëåæàùóþ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. Ïîòåíöèàë èìååò âèäϕ(M , M0 ) = 2ρ0 ln1r M M0+ v(M , M0 ). âûáðàííîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ââåäåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò íà îñü ñèììåòðèè îáëàñòè, à ïîëÿðíóþ îñüòàê, ÷òîáû íà íåé ëåæàëà òî÷êà M0 . Òîãäà òî÷êà M èìååò êîîðäèíàòû(r, ψ), à òî÷êà M0 êîîðäèíàòû (r0 , 0). Çàäà÷à äëÿ ôóíêöèè v(M , M0 )èìååò âèä:∆v = 0, r ∈ (a, b),1 v|r=a = −2ρ0 ln v|r=b ψ ∈ [0, 2π], q= 2ρ0 ln a2 + r02 − 2ar0 cos ψ ,rP M0 r=aq1= −2ρ0 ln= 2ρ0 ln b2 + r02 − 2br0 cos ψ .rP M0r=bÎáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êîëüöå ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì [2]:∞v = A0 ln+Xr2n − a2nrbAn+ B0 ln +cos nψ+arrn∞Xn=1n=1b2n − r2nBncos nψ.rnÍåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû An è Bn íàéäåì èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì íåîäíîðîäíîñòè â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ çàäà÷è ââèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ôóíêöèé{sin nψ , cos nψ}, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.6.11):2ρ0 lnqa2 + r02 − 2ar0 cos ψ =1= 2ρ0 ln r02 1 + (a/r0 )2 − 2(a/r0 ) cos ψ2∞ nXacos nψ= 2ρ0 ln r0 − 2ρ0,n=1r0=nòàê êàê r0 > a, è∞ nqXr0cos nψ22ln b + r0 − 2br0 cos ψ = ln b −,n=1bn72Ãë.
2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåòàê êàê r0 < b.Òîãäà∞Xbb2n − a2n+cos nψ =Bnaanv|r=a = B0 lnn=1= 2ρ0 ln r0 − 2ρ0∞ nXcos nψar0n=1èn∞Xbb2n − a2n+cos nψ =Anabnv|r=b = A0 lnn=1∞ X= 2ρ0 ln b − 2ρ0n=1îòêóäà ïîëó÷àåì:A0 = 2ρ0ln b,ln(b/a)ln r0,ln(b/a)B0 = 2ρ0Èòàê, ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 )=2ρ0 lnqr2−2ρ0∞Xn=11n+r0rr02n1r0bnAn = −Bn = −2− rr0 cos ψr2n − a2nb2n − a2n2ρ0n b2n2 ρ0 a nnr0+2ρ0+cos nψ,na2r0 rr0n− a2n,anb2n− a2n.ln b ln(r/a) + ln r0 ln(b/r)−ln(b/a)nb2n − r2nb2n − a2ncos nψ.Ïîëîæèâ ρ0 = 1 è çàìåíèâ óãîë ψ íà (ψ − ψ0 ),4πïîëó÷èì ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà âêîëüöå a < r < b:Çàìå÷àíèå 2.6.1G(M , M0 ) =112π ln r+M M0−112π n=1 n∞Xr0rnr2n − a2nb2n − a2n1 ln b ln(r/a) + ln r0 ln(b/r) −2πln(b/a)+a2r0 rnb2n − r2nb2n − a2nÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.cos n(ψ − ψ0 ).Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿçàäà÷è Äèðèõëå â ïîëóêîëüöå {a < r < b, 0 < ψ < π}.Çàäà÷à 2.6.21.
Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.6.1) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ çàäà÷è Äèðèõëå â êðóãå, èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.6.22. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.6.5) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ çàäà÷è Äèðèõëå âíå êðóãà, èñïîëüçóÿ ìåòîäðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.6.20.6. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷736.4.Èñïîëüçîâàíèå êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé äëÿïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà.Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ [10].Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè De êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè wêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z íà îáëàñòü Díàçûâàåòñÿ êîíôîðìíûì, åñëè ýòî îòîáðàæåíèå âî âñåõ òî÷êàõz ∈ D îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ñîõðàíåíèÿ óãëîâ è ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèé.Òåîðåìà 2.6.1 [10] Ïóñòü ôóíêöèÿ h(z) ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé èîäíîëèñòíîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé â îáëàñòè D è h0 (z) 6= 0 ïðèz ∈ D. Òîãäà ôóíêöèÿ h(z) ïðîèçâîäèò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáe êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè w, ïðåäñòàâëÿþùóþëàñòè D íà îáëàñòü Dñîáîé îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè w = h(z) ïðè z ∈ D.Èòàê, êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ñîõðàíåíèÿóãëîâ è ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèé.
Òî åñòü óãîë ìåæäó ëþáûìè äâóìÿãëàäêèìè êðèâûìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ â òî÷êå z0 , ðàâåí ïî àáñîëþòíîéâåëè÷èíå óãëó ìåæäó èõ îáðàçàìè íà ïëîñêîñòè w â òî÷êå w0 = h(z0 ),à áåñêîíå÷íî ìàëûå ëèíåéíûå ýëåìåíòû ∆z1 = z1 − z0 è ∆z2 = z2 − z0ïðåîáðàçóþòñÿ ïîäîáíûì îáðàçîì â áåñêîíå÷íî ìàëûå ëèíåéíûå ýëåìåíòû ∆w1 = w1 − w0 è ∆w2 = w2 − w0 . Êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ ðàâåíÎïðåäåëåíèå 2.6.1|∆w1 ||∆w2 |== |h0 (z0 )|.|∆z1 ||∆z2 |Ïðè êîíôîðìíîì îòîáðàæåíèè ãðàíèöà îáëàñòè D ïåðåõîäèò â ãðàíèöóe.îáëàñòè DËþáàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ u(z) ïðè êîíôîðìíîì îòîáðàæåíèèïðåîáðàçóåòñÿ â ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ U (w) [10]. Ýòî ñâîéñòâîìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà:∆u = 0, M ∈ D,(2.6.12)u| = f (P ), P ∈ L,Lãäå L ãðàíèöà îáëàñòè D.e , ÷òîáû âÍàéäåì òàêîå êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D â Dïîëó÷åííîé îáëàñòè êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ðåøàëàñüëåã÷å. Ïóñòü ýòî îòîáðàæåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèèw = h(z) = ξ(x, y) + iη(x, y),ãäå z = x + iy , w = ξ + iη .
Ôóíêöèÿ h(z) çàäàåò íåâûðîæäåííóþ çàìåíóäåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõx = x(ξ , η),y = y(ξ , η).(2.6.13)Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè îáðàòíîé çàìåíû:ξ = ξ(x, y),(2.6.14)η = η(x, y).74Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÌîæíî ïîêàçàòü [10], ÷òî îïåðàòîð Ëàïëàñà ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì∆xy = |h0 |2 ∆ξη .Ïðèìåíÿÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ (2.6.13) ê çàäà÷å (2.6.12), ïîëó÷àåìe,∆ξη U = 0, (ξ , η) ∈ De,U |Le = g(ξ , η), (ξ , η) ∈ L(2.6.15)ãäå U (ξ , η) = u(x(ξ , η), y(ξ , η)), g(ξ , η) = f (x(ξ , η), y(ξ , η)).Ðåøàÿ çàäà÷ó (2.6.15), íàõîäèì ôóíêöèþ U (ξ , η), ãàðìîíè÷åñêóþe .
Ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (2.6.14) ïîëó÷àåìâ îáëàñòè Dâûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè u(x, y) ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.6.12).Óêàçàííûé ìåòîä îñîáåííî óäîáåí â ñëó÷àå, åñëè îáëàñòü D ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé. Èç òåîðåìû Ðèìàíà [10] âûòåêàåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àåìîæíî ïîäîáðàòü ôóíêöèþ w = h(z) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîíôîðìíîîòîáðàçèòü îáëàñòü D íà âíóòðåííîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà |w| 6 1 ñöåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ïðè ýòîì ôèêñèðîâàííàÿ âíóòðåííÿÿòî÷êà M0 ∈ D ïåðåõîäèò â öåíòð ýòîãî êðóãà. Òîãäà çíà÷åíèþ u(M0 )ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå U |r=0 ôóíêöèè U (r, θ), ãàðìîíè÷åñêîé â êðóãå|w| 6 1:∆r,θ U = 0, 0 6 r < 1, 0 6 θ 6 2π ,U |r=1 = g(θ), 0 6 θ 6 2π.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè,ïîëó÷àåì1U |r=0 =2πÏîñêîëüêó1=−ddr2Zπg(θ)dθ.0ln1 rròî1U |r=0 =2π1=−2π2Zπ02Zπ011 · g(θ)dθ = −2π1∂ln∂enr2Zπ0g(θ)rdθ = −r=1ddr12πr6=0ln2Zπ 0,1 g(θ)rdθrr=1=1 g(θ)rdθen, ∇ ln|en|rr=1,e âåêòîð íîðìàëè ê îêðóæíîñòè.ãäå nÏåðåõîä ê ïåðåìåííûì (x, y) îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ôóíêöèèz = h−1 (w), êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå åäèíè÷íîãî êðóãà íà îáëàñòü D [10].
Ïîýòîìó â ðåçóëüòàòå çàìåíû ïåðåìåííûõ756. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷e ê îêðóæíîñòè ïðåîáðàçóåòñÿ âî âíåøíþþ(2.6.14) âíåøíÿÿ íîðìàëü níîðìàëü ê ãðàíèöå L îáëàñòè D. Êðîìå òîãî, èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåïîäîáèÿdθdl=,|en||n|ãäå dl áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò êðèâîé L (îòîáðàæåíèå ýëåìåíòàe , ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ê ýëådθ), à n îòîáðàæåíèå âåêòîðà íîðìàëè nìåíòó dθ.  ñèëó ñâîéñòâà ñîõðàíåíèÿ óãëîâ ïðè êîíôîðìíîì îòîáðàæåíèè îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ïåðåõîäèò â îðòîãîíàëüíûé. Âîçâðàùàÿñüê ïåðåìåííûì (x, y), íàõîäèì u(M0 ) = U |r=0 .Zu(M0 ) = −∂f (P )∂nL1112π ln |h(z0 , z)|dl.Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [10]:Òåîðåìà 2.6.2 Åñëè ôóíêöèÿ w = h(z0 , z) îñóùåñòâëÿåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè D1 êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z íà âíóòðåííîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà |w| < 1 òàê, ÷òî çàäàííàÿ òî÷êà z0 ∈ D1ïåðåõîäèò â öåíòð w = 0 ýòîãî êðóãà, òî ôóíêöèÿG(M0 , M ) =112π ln |h(z0 , z)|(2.6.16)ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà âîáëàñòè D1 .Ïðèìåð 2.6.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
