А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа (1125171), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ ìîæíîïîâòîðèòü òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, âçÿâ âîâòîðîé ôîðìóëå Ãðèíà ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñàíà ïëîñêîñòè:1 ln 1 + v,G(Q, M ) =(2.4.3)Îïðåäåëåíèå 2.4.12πrQMãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà àíàëîãîì ôîðìóëû (2.1.5) áóäåòu(M ) =−=IIG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )dlP −− u(P )∂nP∂nPZLG(Q, M )∆u(Q)dSQ =,DG(P , M )∂u(P )∂G(P M )dlP +− f (P )∂nP∂nPLZ(2.4.4)G(Q, M )F (Q)dSQ .DÊàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, â âûðàæåíèè (2.4.4) ìîæíî óáðàòü∂u(P )ñëàãàåìîå, ñîäåðæàùåå íåèçâåñòíîå çíà÷åíèåíà ãðàíèöå L,∂nPåñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðîèçâîëüíîñòüþ ãàðìîíè÷åñêîãîñëàãàåìîãî v â(2.4.3) è ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿG(P , M ) = 0, ∀P ∈ L.ÒîãäàZI∂G(P , M )u(M ) = − f (P )dlP + G(Q, M )F (Q)dSQ .∂nPLD(2.4.5)58Ãë. 2.
Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÎïðåäåëåíèå 2.4.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ1 ln 1 + v(Q, M ), Q ∈ D, M ∈ D,G(Q, M ) =2πrQMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ D,íåïðåðûâíàÿ íà D äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D;2) G(P , M )|P ∈L = 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ðåøåíèå äâóìåðíîé çàäà÷è Äèðèõëå(2.4.1)-(2.4.2), äîñòàòî÷íî íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ v(Q, M ), ÷òî(∆Q v = 0,Q ∈ D,11v|L = − ln2π r,P ∈L(2.4.6)PMè èñïîëüçîâàòü êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó (2.4.5). 5. Âíåøíèå äâóìåðíûå çàäà÷èÏóñòü De äîïîëíåíèå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè D ñ ãëàäêîé çàìêíóòîé ãðàíèöåé L äî âñåé ïëîñêîñòè R2 .Òàêæå, êàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, äëÿ òîãî, ÷òîáû êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿóðàâíåíèÿ Ïóàññîíà èëè Ëàïëàñà â îáëàñòè De èìåëà åäèíñòâåííîåðåøåíèå, ñëåäóåò ïîòðåáîâàòü ðåãóëÿðíîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.Îïðåäåëåíèå 2.5.1 Ôóíêöèÿ u(M ) íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòèâ äâóìåðíîì ñëó÷àå, åñëè îíà îãðàíè÷åíà ïðè r → ∞, ãäåpr = x2 + y 2 .Âíåøíÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â äâóìåðíîì ñëó÷àåñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:∆u = −F (M ), M ∈ De ,u|L = f (P ), P ∈ L,|u| < ∞.(2.5.1)Åñëè ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ ôèíèòíîé è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, à ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíîé, òî çàäà÷à (2.5.1) èìååò åäèíñòâåííîåêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå [1].Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó â äâóìåðíîì ñëó÷àå îò ôóíêöèé òðåáóåòñÿòîëüêî îãðàíè÷åííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè, ôîðìóëû Ãðèíà âî âíåøíèõîáëàñòÿõ îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè ëèøü äëÿ ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé,ãàðìîíè÷åñêèõ âíå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè (ñì.
ïðèë. À., 4). Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F (M ) ÿâëÿåòñÿ ôèíèòíîé, òî äëÿ ðåøåíèÿçàäà÷è (2.5.1) ïðèìåíèìû ôîðìóëû Ãðèíà. Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàòòàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò O íàõîäèëîñü ñòðîãî âíóòðèîáëàñòè D.595. Âíåøíèå äâóìåðíûå çàäà÷èÏðèìåíèì òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîéçàäà÷è (2.5.1):IΩ(M )u(M ) − 2πu∞ =Z−∆u(Q) ln111∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPrP M∂nPrP MdlP −LdSQ ,rQMDe(2.5.2)ãäå(Ω(M ) =2π , åñëè M ∈ De ,π , åñëè M ∈ L,0, åñëè M 6∈ De .Çàïèøåì ôîðìóëó (2.5.2), âçÿâ â êà÷åñòâå òî÷êè M íà÷àëî êîîðäèíàò:−2πu∞ =Z−I11∂u(P )∂− u(P )lnln∂nPrOP∂nPrOP1L∆u(Q) lnrOQdlP −(2.5.3)dSQ ,Deïîñêîëüêó òî÷êà O íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè De .Ïóñòü M ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè De .
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (2.5.2), ãäå ñëàãàåìîå 2πu∞ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (2.5.3),ïîëó÷èìIu(M ) =12π−u(P )−12πZ∂u(P )∂nPL∂∂nP1lnlnrP M∆u(Q) ln1rP M− ln1rQM− ln11rOP−dlP −rOP− ln1rOQ(2.5.4)dSQ .De∂u(P ) ðàâåíñòâå (2.5.4) çíà÷åíèåíà ãðàíèöå îáëàñòè íåèçâåñòíî.∂nPÏðèìåíèì ñòàíäàðòíûé ïðèåì äëÿ òîãî, ÷òîáû óáðàòü ñëàãàåìîå, ñîäåðæàùåå ýòî íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå. Ïóñòü v2 ïðîèçâîëüíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè De è ðåãóëÿðíàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèÿ.Äëÿ ðåøåíèÿ u(M ) çàäà÷è (2.5.1) è ôóíêöèè v2 ñïðàâåäëèâà âòîðàÿôîðìóëà Ãðèíà (A.4.5) â îáëàñòè De :0=InL∂u(P )∂v (P )v (P ) − u(P ) 2∂nP 2∂nPoZdlP −De∆u(Q)v2 (Q)dSQ . (2.5.5)60Ãë.
2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÑêëàäûâàÿ ðàâåíñòâà (2.5.4) è (2.5.5), ïîëó÷àåìu(M ) =In∂u(P )∂G(P , M ) − u(P )G(P , M ) dlP −∂nP∂nPoZL− ∆u(Q)G(Q, M )dSQ ,(2.5.6)Deãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèåG(Q, M ) =12π1lnrQM− ln1rOQ+ v2 .(2.5.7)Ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè G(Q, M ) âìåñòî òî÷êèO ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó ñòðîãî âíóòðè îáëàñòè D.Çàìå÷àíèå 2.5.1Ñîîòíîøåíèå (2.5.6) ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ôîðìóëû (2.2.4) äëÿ âíåøíåé çàäà÷è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.
Âîñïîëüçóåìñÿ ïðîèçâîëüíîñòüþ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè v2 è âûáåðåì òàêóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ íà êðèâîé L:v2 | L = −12πln1rP M− ln1rOP, P ∈ L.(2.5.8)Îòìåòèì, ÷òî ïîñëå òîãî, êàê ìû ïîòðåáîâàëè îò ôóíêöèè v2 âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (2.5.8), îíà ñòàëà òàêæå çàâèñåòü îò êîîðäèíàòòî÷êè M êàê îò ïàðàìåòðîâ. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ G(Q, M ) îáðàòèòñÿ âíîëü íà ãðàíèöå L îáëàñòè De , è äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.5.1) èç (2.5.6)ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó:IZLDe∂u(M ) = − f (P )G(P , M )dlP +∂nP1F (Q)G(Q, M )dSQ .1(2.5.9)Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ v(Q, M ) = − ln2π rOQ + v2 (Q, M ) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè De ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè Q, íî èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè (êîîðäèíàòû òî÷êè M èãðàþòðîëü ïàðàìåòðîâ).Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ G (Q, M ), îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (2.5.7),ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.
Ââåäåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Ïóñòü òî÷êà íàáëþäåíèÿ Q èìååò êîîðäèíàòû (r, ψ), à òî÷êà èñòî÷íèêà M êîîðäèíàòû (r0 , ψ0 ). ÒîãäàrQM =qr2 + r02 − 2rr0 cos(ψ − ψ0 ) , rOQ = r.616. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷Òàê êàê ôóíêöèÿ v2 ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè, òî ñóùåñòâóåò A > 0, òàêîå ÷òî |v2 (Q, M )| < A íà áåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà 111lim |G(Q, M )| = lim ln− ln+ v2 6r→+∞r→+∞ 2πrQMrOQ1 ln q11 + A =6 lim−lnr→+∞ 2π r r2 + r02 − 2rr0 cos(ψ − ψ0 ) 1r0r02= limln 1 + 2 − 2 cos(ψ − ψ0 ) + A = A.r→+∞4πrrÔóíêöèåé Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿîïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþÎïðåäåëåíèå 2.5.2G(Q, M ) =112π ln r+ v(Q, M ),Q ∈ De ,M ∈ De ,(2.5.10)QMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ De ,íåïðåðûâíàÿ â De äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De , èìåþùàÿ ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè;2) G(P , M )|P ∈L = 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De ;3) G(Q, M ) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.Ôóíêöèÿ Ãðèíà G(Q, M ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è∆ G(Q, M ) = −δ(Q, M ), QG(P , M )|L = 0, P ∈ L,|G(Q, M )| < ∞.Q ∈ De , M ∈ De ,(2.5.11)Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ãðèíà (2.5.10) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè,òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêèòî÷êè íàáëþäåíèÿ Q è òî÷êè èñòî÷íèêà M .
×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿäîêàçàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî äëÿñëó÷àÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè â êíèãå [1]. 6. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷6.1. Ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Êàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, ïðè ðåøåíèè äâóìåðíûõ çàäà÷ â ðÿäåîáëàñòåé óäîáíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿçàäà÷è Äèðèõëå âíóòðè êðóãà ðàäèóñà a.Ïðèìåð 2.6.1.62Ãë.
2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÐ ÅØÅÍÈÅ . Ôóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ çàäà÷è Äèðèõëåâíóòðè êðóãà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è:(∆M G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ),M , M0 ∈ U (0, a),G(P , M0 )|r=a = 0,ãäå U (0, a) êðóã ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì a,M0 = M0 (r0 , ψ0 ) òî÷êà èñòîêà, M = M (r, ψ) òî÷êà íàáëþäåíèÿ.Èñïîëüçóåì ïîñòðîåíèå, àíàëîãè÷íîå òîìó, ÷òî ïðèìåíÿëîñü ïðè ðåøåíèè çàäà÷è â øàðå. Ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ v â âûðàæåíèèG(M , M0 ) =112π ln r+vM M0áóäåì èñêàòü â âèäåv = A + B ln1= B lnr M M1eA,rM M 1Ae = eBAãäå A è B íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, M1 (r1 , ψ0 ) òî÷êà, ñîïðÿæåííàÿòî÷êå M0 îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ðàäèóñà a:r0 · r1 = a2 .Ïðîâîäÿ òå æå ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ, ÷òî è äëÿ çàäà÷è â øàðå,ïîëó÷àåìrP M0Åñëè âçÿòü B = −12π=rP M1è Ae =a,r0v=−r0.aòî ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ12π lnóäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íîìó óñëîâèþv|r=a = −1ar 0 r M M1112π ln r.P M0Òàêàÿ ôóíêöèÿ v åäèíñòâåííà â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿâíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå íà ïëîñêîñòè [1].
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿÃðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â êðóãå ðàäèóñà a èìååò âèä:G(M , M0 ) =ãäå rM M0 =rM M1 =12πln1rM M 0− lnqr2 + r02 − 2rr0 cos(ψ − ψ0 ) ,qa2r2 + r12 − 2rr1 cos(ψ − ψ0 ) , r1 = .r01ar 0 r M M1,(2.6.1)636. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷Ïðèìåð 2.6.2. Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (ψ) ïîñòðîéòåðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êðóãå∆u = 0, r < a, ψ ∈ [0, 2π]u|r=a = f (ψ),â èíòåãðàëüíîé ôîðìå.Ð ÅØÅÍÈÅ .
Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (2.4.5), âêîòîðîé ôóíêöèÿ Ãðèíà G(M , M0 ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (2.6.1).Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ121∂G ∂ln q− =∂n r=aπ ∂rr2 + r02 − rr0 cos(ψ − ψ0 )2a− ln qr0r2 + r12 − 2rr1 cos(ψ − ψ0 )11 ∂1=2π ∂r ln qr2 + r02 − 2rr0 cos(ψ − ψ0 ) −=−11− ln sr2 r02+ a2 − 2rr0 cos(ψ − ψ0 ) 2a=r=a=r=aa2 − r022πa · a2 + r02 − 2ar0 cos(ψ − ψ0 ) .Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå âûðàæåíèå â ôîðìóëó (2.4.5), ïîëó÷èì ðåøåíèåâ ëþáîé òî÷êå M0 (r0 , ψ0 )1u(r0 , ψ0 ) =2π2Zπ20a +r02a2 − r022− ar0 cos(ψ − ψ0 )f (ψ)dψ.(2.6.2)Ôîðìóëà (2.6.2) íîñèò íàçâàíèå èíòåãðàëà Ïóàññîíà.Ïðèìåð 2.6.3. Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíå êðóãàðàäèóñà a.Ð ÅØÅÍÈÅ .
Ôóíêöèÿ Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è∆ G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ), r > a, r0 > a, MG|r=a = 0,|G| < ∞ ïðè r → ∞.(2.6.3)64Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÇäåñü ∆M îïåðàòîð Ëàïëàñà, ãäå ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè M , à r è r0 ïîëÿðíûå ðàäèóñû òî÷åê M è M0ñîîòâåòñòâåííî.Áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ G(M , M0 ) â âèäåG(M , M0 ) =112π ln r+ v(M , M0 ),M M0ãäå ∆M v(M , M0 ) = 0, r > a, r0 > a, G|r=a = −2a112π ln r(2.6.4).P M0Ïóñòü M1,ψ òî÷êà, ñîïðÿæåííàÿ M0 (r0 , ψ0 ) îòíîñèòåëüíîr0 0îêðóæíîñòè ðàäèóñà a. Ôóíêöèÿv=−1 a 12π ln r0 rM M1ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé âíå êðóãà ðàäèóñà a è óäîâëåòâîðÿåò (2.6.4).Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (2.6.3):G(M , M0 ) =112π ln rM M0−1 a 12π ln r0 r(2.6.5).M M1Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà q , ïîìåùåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π ïàðàëëåëüíî ðåáðó ýòîãî óãëà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
