А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа (1125171), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ãðàíè óãëànïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ââåäåì öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Íàïðàâèì îñüOz âäîëü ðåáðà äâóãðàííîãî óãëà, à ïîëÿðíóþ îñü ïîìåñòèì íà îäíîéèç åãî ãðàíåé. Ïîñêîëüêó â óñëîâèè çàäà÷è íåò ÿâíîé çàâèñèìîñòèîò êîîðäèíàòû z , òî îíà ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê äâóìåðíîé çàäà÷å âïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè óãëà.
Ïóñòü M (r, ψ) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ óãëà, M0 (r0 , ψ0 ) òî÷êà ñå÷åíèÿ, îïðåäåëÿþùàÿïîëîæåíèå íèòè. Òîãäà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:Ïðèìåð 2.6.4.(ππ∆u = −4πqδ(M , M0 ), 0 < ψ < , 0 < ψ0 < ,nnu|ψ=0 = u|ψ= π = 0.nÑîãëàñíî çàìå÷àíèþ 1.5.1, äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêçàäà÷ó î ïîòåíöèàëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîàíàëîãèè ñ ðåøåíèåì ïðèìåðà 2.3.6. ïðèìåíèì ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, èñïîëüçóÿ äëÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäàâûðàæåíèå1 .ϕ(M ) = 2q lnrM M 0656. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷Äëÿ ôóíêöèè u(M , M0 ) ïîëó÷àåìu(M , M0 ) = 2qn−X1 lnk=0ãäår+RMMk−RMMk=r=14π1r02 + r2 − 2r0 r cos+ r2 − 2r0 r cosr02− ln+RMMk1−RMMk,(2.6.6)2πk + ψ0 − ψ ,n2πk − ψ0 − ψ .nÏîëîæèâ q =â âûðàæåíèè (2.6.6), ìû ïîëó÷èì ôóíêöèþ Ãðèíàπçàäà÷è Äèðèõëå â óãëå âåëè÷èíû íà ïëîñêîñòè.nÏðèìåð 2.6.5.
Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ âíóòðè äâóãðàííîãî óãëàπâåëè÷èíû , îáðàçîâàííîãî êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè x = 0 è2y = 0, åñëè ãðàíü x = 0 èäåàëüíî ïðîâîäÿùàÿ çàçåìëåííàÿ ïëîñêîñòü, à ãðàíü y = 0 íåïðîâîäÿùàÿ ïëîñêîñòü, ïîääåðæèâàåìàÿïðè ïîòåíöèàëå V (x) = 2 1 2 .x +aÐ ÅØÅÍÈÅ .  îòëè÷èå îò ïðèìåðà 2.6.4., çäåñü ìû èìååì îäíîðîäíîåóðàâíåíèå (òàê êàê çàðÿäû âíóòðè óãëà îòñóòñòâóþò) è íåîäíîðîäíûåãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (ïîñêîëüêó îäíà èç ãðàíåé ïîääåðæèâàåòñÿ ïðèíåíóëåâîì ïîòåíöèàëå).
Òàêæå, êàê è â ïðèìåðå 2.6.4., çàäà÷à ìîæåòáûòü ñâåäåíà ê äâóìåðíîé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè:∆u = 0, x > 0, y > 0, u|x=0 = 0,1 ,2 u|y=0 = 2|u| < ∞.x +aÅå ðåøåíèå ìîæíî ïîñòðîèòü ïðè ïîìîùè ôóíêöèè Ãðèíà (ïîëó÷èòååå ñàìîñòîÿòåëüíî):11G(M , M0 ) =2π ln q(x − x0 )2 + (y − y0 )21− ln q(x + x01)2+ (y − y0)2− ln q1+ ln q(x + x0)2−(x − x0 )2 + (y + y0 )2+ (y + y0 )2,ãäå M (x, y) òî÷êà íàáëþäåíèÿ, à M0 (x0 , y0 ) òî÷êà èñòî÷íèêà,ðàñïîëîæåííûå â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè óãëà.
Ñîãëàñíî (2.5.9), ðåøåíèåçàäà÷è èìååò âèä+∞Zu(M0 ) =∂G u∂y0dxy=03 À.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò. Ëåâàøîâà, È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà, Í.Å. Øàïêèíà66Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåäëÿ ëþáîé òî÷êè M0 âíóòðè óãëà. Òàê êàêïîëó÷àåìyu(M0 ) = 0π=y0π2Ax−A1+Bãäå−(x + x0 )2 + y02x − x012B=dxx2 + a2=(x + x0 )2 + y024,x + x0+(x + x0 )2 + y02x02 ,x20 a2 + x20 + y02 − a24(x + x0 )2 + y02(x − x0 )2 + y02(x − x0 )2 + y021−(x − x0 )2 + y02x2 + a20A=11−(x − x0 )2 + y02+∞Z 0+∞Z 1∂G y= 0∂y y=0π+dx,x20 − y02 + a22 .x20 a2 + x20 + y02 − a2Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë, íàõîäèì+∞22yx +aqu(M0 ) = 0 A ln q+π (x − x0 )2 + y02 · (x + x0 )2 + y02 0+∞+∞ Bx − x0 x + x0 +arctg− arctg=y0=−=y0y00Ay0a2Bxln 2+ 2 arctg 0 =ππy0x0 + y024x20 a2 +1x20 + y02 − a22−2x0 y0 ln+=014a2 r02 cos2 ψ0 +π2πr02 − a22−a2x20+ y02+xx20 − y02 + a2 arctg 0y0=2a2r02 sin ψ0ln 2 +πr02π+ (r02 cos 2ψ0 + a2 )− ψ0π2.Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ïîëÿ â ïîëÿðíûõêîîðäèíàòàõ.6.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷67Ïðèìåð 2.6.6. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà,âåëè÷èíû π , îáðàçîâàííîãî êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè x = 0 è2y = 0, åñëè ãðàíü x = 0 èäåàëüíî ïðîâîäÿùàÿ çàçåìëåííàÿ ïëîñêîñòü, à ãðàíü y = 0 òàêæå èäåàëüíî ïðîâîäÿùàÿ ïëîñêîñòü,ïîääåðæèâàåìàÿ ïðè ïîñòîÿííîì ïîòåíöèàëå V .Ð ÅØÅÍÈÅ . Òî, ÷òî ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü äðóãîé ìåòîä ðåøåíèÿ, ãîðàçäî ïðîùå, ÷åì â ïðèìåðå 2.6.5.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è èìååòâèä: ∆u = 0, x > 0, y > 0,u|x=0 = 0,u| y=0 = V ,|u| < ∞.Ïîñêîëüêó çàäà÷à ëèíåéíàÿ, åå ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â âèäå ñóììû u = u1 + u2 . Ïîäáåðåì ñëàãàåìîå u1 òàê, ÷òîáû îíî óäîâëåòâîðÿëî êðàåâûì óñëîâèÿì.  äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷å (â îòëè÷èå îòïðåäûäóùåé) ýòî ñäåëàòüñîâñåì ïðîñòî, íàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü2V πu1 (r, ψ) =π2 − ψ . Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ u1 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà.
Äëÿ u2 ïîëó÷àåì çàäà÷ó ñ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåìè îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî,u2 ≡ 0. Èòàê,2V πðåøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ u(r, ψ) =−ψ .πÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.2Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéïëàñòèíû øèðèíû L ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ , ïîìåùåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π . Ãðàíè óãëà 2èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = 0 è ψ = π . Êðàÿ2ïëàñòèíû ëåæàò íà ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ãðàíè óãëà, ïðîõîäÿùèõ,ñîîòâåòñòâåííî, ÷åðåç òî÷êè (x1 , y1 , z1 ) è (x1 , y1 + L, z1 ).Çàäà÷à 2.6.8.
Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéïëàñòèíû øèðèíû L ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ , ïîìåùåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π . Ãðàíè óãëà 2èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = 0 è ψ = π . Êðàÿ2ïëàñòèíû ëåæàò íà ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ãðàíè óãëà, ïðîõîäÿùèõ,ñîîòâåòñòâåííî, ÷åðåç òî÷êè (r1 , ψ0 , z1 ) è (r1 + L, ψ0 , z1 ), 0 < ψ0 < π .Çàäà÷à 2.6.7.2Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè, ïîìåùåííîé âíóòðè áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòèêðóãîâîãî ñå÷åíèÿ ïàðàëëåëüíî îñè öèëèíäðà. Ïîëîñòü îãðàíè÷åíàèäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïîâåðõíîñòüþ.Çàäà÷à 2.6.10.
Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè, ïîìåùåííîé âíå áåñêîíå÷íîãî öèëèíäðà êðóãîâîãî ñå÷åíèÿïàðàëëåëüíî åãî îñè. Öèëèíäð ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèì èçàçåìëåííûì.Çàäà÷à 2.6.9.3*68Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÏîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñàâíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ ïîëóêðóãà ðàäèóñà a.Çàäà÷à 2.6.12. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè, ïîìåùåííîé âíóòðè áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè ïàðàëëåëüíî îñè öèëèíäðà. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïîëîñòè ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ñåêòîð êðóãà ðàäèóñà a, ñ óãëîì π . Ïîëîñòü îãðàíè÷åíà4èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïîâåðõíîñòüþ.Çàäà÷à 2.6.11.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî áåñêîíå÷íîéöèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ ðàäèóñà a, êîòîðàÿïîääåðæèâàåòñÿ ïðè ïîòåíöèàëåÇàäà÷à 2.6.13.V =12 + cos ψ + sin ψ ,ãäå ψ ïîëÿðíûé óãîë.Ñîâåò.
Ïðèìåíèòå ôîðìóëó Ïóàññîíà äëÿ êðóãà. Èñïîëüçóéòå çàìåíó ïåðåìåííûõ z = eiψ . Ïðè ýòîì èíòåãðàë ïî îòðåçêó [0, 2π] ïåðåéäåò â èíòåãðàë ïî åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |z| = 1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóéòåñü òåîðèåé âû÷åòîâ.Îòâåò:ϕ(r, ψ) =ãäå ε =a2 − r2a(a2 + r2 )ara2 + r211 + 4ε2 cos 2ψp1 − 1 + 4ε2 cos 2ψ2+2ε(cos ψ + sin ψ)p−1,.Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (ϕ) ïîëó÷èòå âèíòåãðàëüíîé ôîðìå ðåøåíèå çàäà÷è âíå êðóãà ðàäèóñà a:Çàäà÷à 2.6.14.(∆u = 0, r > a, ϕ ∈ [0, 2π],u|r=a = f (ϕ),|u| < ∞ ïðè r → +∞.Ðåøèòå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà ïåðâóþ êðàåâóþçàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïîëóïëîñêîñòè y > 0, åñëè:Çàäà÷à 2.6.15.u|y=0 =n0,V0 ,x < 0,x > 0,ãäå V0 = const.Ðåøèòå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà ïåðâóþ êðàåâóþçàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïîëóêðóãåÇàäà÷à 2.6.16.(ãäå V0 = const.∆u = 0, r < a, ϕ ∈ (0, π),u|r=a = 0,u|ϕ=0 = u|ϕ=π = V0 ,696.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷6.2. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà Ëàïëàñà.Êàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå (ãëàâà 2, 3.2), ôóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âíóòðåííåé äâóìåðíîé çàäà÷è Äèðèõëå ïðåäñòàâèìà ââèäå ðÿäà∞Xvk (Q)vk (M )G(Q, M ) =λkk=1,(2.6.7)ãäå vk è λk ñîîòâåòñòâåííî îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèèè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà∆vk = −λk vk , M ∈ D,(2.6.8)vk | L = 0 .Ðÿä ñõîäèòñÿ ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà L2 (D × D).
Ðàâåíñòâî (2.6.7)ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ðàâåíñòâî ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà L2 (D × D)(ñì. 3.2 ). Ðàâåíñòâî (2.6.7) ñëåäóåò èç òåîðåìû (2.3.1), òàê êàêkG(Q, M )k2 =ZZG2 (Q, M )dSQ dSM < ∞.DD ñàìîì äåëå, ïîñêîëüêóG(Q, M ) =112π ln r+ v(Q, M ),QMãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â D, òî íàéäåòñÿ òàêàÿêîíñòàíòà C > 0, ÷òî |v| 6 C . ÑëåäîâàòåëüíîkG(Q, M )k2 6ZZ1ln6 24π1rQM2dSQ dSMC+πZZln 1 dSQ dSM + C 2 S 2 ,0 rQM DDDDãäå S0 ïëîùàäü îáëàñòè D.
 [7] ïîêàçàíî, ÷òî èíòåãðàëZI(M ) =1rQM(2.6.9)dSQDÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîéïåðåìåííîéM. ôóíêöèåé 211 ïðè r → 0, òî116Òàê êàê lnè ln6QMrQM rQMrQMrQMèíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè (2.6.9) ñõîäÿòñÿ.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè ñ ïîñòîÿííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà ρ, ïîìåùåííîéâíóòðü áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ: 0 < x < a, 0 < y < b. Ñòåíêè öèëèíäðà èäåàëüíîïðîâîäÿùèå è çàçåìëåííûå, à íèòü ïàðàëëåëüíà îñè öèëèíäðà.Çàäà÷à 2.6.17.70Ãë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
