А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа
Описание файла
PDF-файл из архива "А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "методы математической физики (ммф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèì. Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÀ.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò. Ëåâàøîâà,È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà,Í.Å. ØàïêèíàÔóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðàËàïëàñàÌîñêâà 2012ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèì. Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÀ.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò. Ëåâàøîâà,È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà,Í.Å. ØàïêèíàÔóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðàËàïëàñàÌîñêâà 2012Á î ë þ á î â À. Í., Ë å â à ø î â à Í. Ò.,Ì î ã è ë å â ñ ê è é È.
Å., Ì ó õ à ð ò î â à Þ. Â.,Ø à ï ê è í à Í. Å.Ôóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà /Ó÷åáíîå ïîñîáèå.Ì.: Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, 2012. 130 c.Íàñòîÿùåå ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ñîñòàâëåíî íà îñíîâå ìíîãîëåòíåãî îïûòà ÷òåíèÿ ëåêöèé è ïðîâåäåíèÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ïî êóðñó¾Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè¿ íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ. Âïîñîáèè ïðèâåäåíû ïîäðîáíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, íåîáõîäèìûåäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà. Òàêæå ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèèÃðèíà.
 òåêñòå ñîäåðæèòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà, èçàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Ðàññìîòðåííûé ìàòåðèàë âõîäèò â ó÷åáíûé ïëàí êàôåäðû ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ è ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñäëÿ áîëåå øèðîêîãî êðóãà ÷èòàòåëåé, â òîì ÷èñëå àñïèðàíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè èåå ïðèëîæåíèé. Àâòîðñêèé êîëëåêòèâ âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü À.À. Ïàíèíó çà âíåñåííûå öåííûå çàìå÷àíèÿ.Ðåöåíçåíòû: ä.ô.-ì. í., ïðîôåññîð Þ.À.
Ïèðîãîâ,ä.ô.-ì. í., ïðîôåññîð À.È. ×óëè÷êîâc Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓèì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, 2012c Áîãîëþáîâ À.Í.,Ëåâàøîâà Í.Ò.,Ìîãèëåâñêèé È.Å.,Ìóõàðòîâà Þ.Â.,Øàïêèíà Í.Å., 2012ÎÃËÀÂËÅÍÈÅà ë à â à 1.Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ .
. . . . . . .5Óðàâíåíèå Ïóàññîíà è ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ5Ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.. . . .
. . . . . . 14 5. Ïîòåíöèàë çàðÿæåííîé íèòè. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèåîïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå.. . . . . . . . . . . . . . . . 17 1. 2. 3. 4.à ë à â à 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå . . . . . . . . . . . . . . . 1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷è . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2. Âíåøíèå òðåõìåðíûå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå . . . . . .3.1. Ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé (25). 3.2. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì çàäà÷èØòóðìàËèóâèëëÿ (42).
3.3. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ (47). 3.4. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (50). 4. Âíóòðåííèå äâóìåðíûå çàäà÷è. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Âíåøíèå äâóìåðíûå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .6.1. Ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé (61). 6.2. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà Ëàïëàñà (69). 6.3. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ (70).6.4. Èñïîëüçîâàíèå êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà (73). 6.5. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå (77).202023255758614Îãëàâëåíèåà ë à â à 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Íåéìàíà . . . .
. . . . . . . . . . . 1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Âíåøíèå òðåõìåðíûå çàäà÷è Íåéìàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Âíóòðåííèå äâóìåðíûå çàäà÷è Íåéìàíà. . . . . . . . . . . . . . . . 4. Âíåøíèå äâóìåðíûå çàäà÷è Íåéìàíà . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 5. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ Íåéìàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1. Ìåòîä çåðêàëüíûõ îòîáðàæåíèé (91). 5.2. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ (95). 5.3. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíàïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì (104).818184868891à ë à â à 4.Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèòðåòüåãî ðîäà . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 1. Âíóòðåííèå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2. Âíåøíèå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 114Ï ð è ë î æ å í è å A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà . . . . 1. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè. . . . . . . . . . . . . . . 2. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.. . . .
. . . . . . . . . . . 4. Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ï ð è ë î æ å í è å Á. Ñóììèðîâàíèå íåêîòîðûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118118121123124128129Ãëàâà 1ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉÄËß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈßÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÁÚÅÊÒΠ1.
Óðàâíåíèå Ïóàññîíà è ïîòåíöèàëýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿÌíîãèå ñòàöèîíàðíûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, íàïðèìåð, ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, ñòàöèîíàðíîå òå÷åíèå æèäêîñòèîïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà. Ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ:(∆u = −F (M ), M ∈ D ⊂ R ,(1.1.1)∂uα+ βu = f (P ), P ∈ S , |α| + |β| > 0,∂nS3ãäå S ãðàíèöà îáëàñòè D.Ââåäåì ïîíÿòèå ôóíêöèè Ãðèíà íà ïðèìåðå çàäà÷è ýëåêòðîñòàòèêè. Ïîòåíöèàë ϕ(M ) ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ïóàññîíà [1, 7]:∆ϕ = −4πρ(M ), M ∈ R ,(1.1.2)ãäå ρ(M ) îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà (çäåñü è äàëåå èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìà åäèíèö ÑÃÑ).Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç êóðñà îáùåé ôèçèêè [13] èçâåñòíî,÷òî ïîòåíöèàë ñèñòåìû òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ qk â ñèëó ïðèíöèïàñóïåðïîçèöèè ïðåäñòàâèì â âèäå:3ϕ(M ) =nXqkk=0rMk M.Çäåñü r ðàññòîÿíèåìåæäó òî÷êîé íàáëþäåíèÿ , , è òî÷êîé, , ,âêîòîðîé ðàñïîëîæåí çàðÿä (òî÷êîé èñòî÷íèêà).M Mkq= (x − xk )2 + (y − yk )2 + (z − zk )2M (x y z)Mk (xk yk zk )qk6Ãë.
1. Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé...Åñëè æå çàðÿä ðàñïðåäåëåí â íåêîòîðîì îáúåìå V ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ ρ(M ), òî ñóììèðîâàíèå çàìåíÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî äàííîìó îáúåìó:Zρ(M )ϕ(M ) =dVM .(1.1.3)r000M0MV0Çäåñü èíäåêñ M 0 ó ýëåìåíòà îáúåìà 0îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè M .Ïîëó÷èâ âûðàæåíèå (1.1.3) èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, ìûäîëæíû îòâåòèòü íà âîïðîñ: â êàêîì ñìûñëå åãî ìîæíî ñ÷èòàòüðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1.2), âåäü îíî óäîâëåòâîðÿåò (1.1.2) íåäëÿ ëþáûõ ôóíêöèé ρ(M ), êîòîðûå ìîãóò áûòü íåäîñòàòî÷íîãëàäêèìè.Óòâåðæäåíèå 1.1.1 [1] Åñëè ïëîòíîñòü ρ(M ) íåïðåðûâíà âìåñòå ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè, òî ôóíêöèÿ (1.1.3)äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.1.2).Äàëåå òàêèå ðåøåíèÿ áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèìè. Äàäèìîïðåäåëåíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 1.1.1 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∆u = −F (M )(1.1.4)â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå, åñëè îíà äâàæäû íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìà è ïðè ïîäñòàíîâêå â óðàâíåíèå (1.1.4)îáðàùàåò åãî â âåðíîå ðàâåíñòâî.Åñëè æå, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ ρ(M ) îãðàíè÷åíà è èíòåãðèðóåìà, íî íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, òî ôóíêöèÿ(1.1.3) òîëüêî îäèí ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà [1].
Âýòîì ñëó÷àå óæå íåäîñòàòî÷íî ïîíÿòèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, è åãî íóæíî íåêîòîðûì îáðàçîìðàñøèðèòü. Äëÿ ýòîãî ñëóæèò àïïàðàò îáîáùåííûõ ôóíêöèé èîáîáùåííûõ ðåøåíèé, î êîòîðîì ðå÷ü ïîéäåò íåñêîëüêî ïîçæå.Åñòåñòâåííî, îïèñàííûé âûøå ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è â âèäå ñóïåðïîçèöèè âêëàäîâ îò ýëåìåíòàðíûõ èñòî÷íèêîâïðèìåíèì íå òîëüêî â ýëåêòðîñòàòèêå.
Åãî ìîæíî îáîáùèòü íàâñå çàäà÷è òèïà (1.1.1), åñëè ôóíêöèè F è f óäîâëåòâîðÿþòîïðåäåëåííûì óñëîâèÿì, êîòîðûå áóäóò ñôîðìóëèðîâàíû íèæå.Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ àïïàðàò ôóíêöèé Ãðèíà, êîòîðûå îïèñûâàþò ïîëå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â îáëàñòè D ñ ñîîòâåòñòâóþùèìèãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïîýòîìó ïðåæäå âñåãî ìû ðàññìîòðèì72.
Ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêàòî÷å÷íûé èñòî÷íèê â íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå, à çàòåì óæåáóäåì ó÷èòûâàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãîòèïà çàäà÷. 2. Ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêàÂîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: êàêèì îáðàçîì ìîæíî ìàòåìàòè÷åñêè îïèñàòü ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî çàðÿäà â ýëåêòðîñòàòèêå.Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûÿñíèòü, ÷òî ïðîèñõîäèò â òî÷êå M , â êîòîðóþïîìåùåí åäèíè÷íûé çàðÿä, ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âèçëîæåíèè áóäåì ñëåäîâàòü [9]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåñü çàðÿäðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí ïî øàðó K(M , ε) ñ öåíòðîì â M èðàäèóñîì ε, è ïîïðîáóåì ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè ε → 0.
Ââåäåìôóíêöèþ00(,0, M ∈ K (M , ε) ,0, M ∈/ K (M , ε) .34πε3fε (M M0 ) =(1.2.1)00Î÷åâèäíî, ÷òîZ,1fε (M M0 ) dVM = .R3Åñëè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â êàæäîé ïàðå òî÷åê M , M ïðåäåëlim fε (M , M ), òî ïîëó÷èìε→000,lim fε (M M0 ) =ε→0,∞0,M = M0M 6= M0 .,Ïðè ýòîì èíòåãðàë îò ôóíêöèè fε(M , M ) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ε îñòàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå:01 = ε→limZ,fε (M M0 ) dVM .0R3Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîéâ òî÷êå M ôóíêöèè ψ(M )Zïðåäåë ïðè ε → 0 îò èíòåãðàëà fε(M , M )ψ(M )dVM áóäåò êîRíå÷åí è ðàâåí ψ(M ).
 ñàìîì äåëå,èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèèψ(M ) ñëåäóåò, ÷òî ∀σ > 0 ∃ε > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê00308Ãë. 1. Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé..., èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ψ(M ) ïðè âûïîëíåíèèóñëîâèÿ0<r 6εáóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîM M0M M0|ψ(M ) − ψ(M0 )| 6 σ.Çàìåòèì, ÷òî åñëè âçÿòü òî÷êó M âíóòðè øàðà K (M , ε) ðàäèóñàñ öåíòðîì â M , òî ðàññòîÿíèå r ìåæäó M è M íåïðåâîñõîäèò ε.
Òîãäà0ε0M M00Z fε (M M0 ) ψ (M ) dVM − ψ (M0 ) = 3R ZZ33ψ(M)dV−ψ(M)dV==MM0334πε4πεK(M0 ,ε)K(M0 ,ε)|{z}=1 Z3(ψ(M)−ψ(M))dV=6M04πε3K(M0 ,ε)Z36|ψ (M ) − ψ (M0 )| dVM 63,K(M0 ,ε)4πεZ36σK(M0 ,ε)÷òî îçíà÷àåò4πε3ZlimdVM = σ,,fε (M M0 ) ψ (M ) dVM = ψ (M0 ) .ε→0R3(1.2.2)Ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàë â (1.2.2) êàê ðåçóëüòàòäåéñòâèÿ ôóíêöèîíàëà, çà êîòîðûì ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèå fε, íàíåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ψ(M ):Zhfε , ψi ≡ fε (M , M ) ψ (M ) dVM .0R392. Ïëîòíîñòü òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêàÒîãäà ðàâåíñòâî (1.2.2) îçíà÷àåò, ÷òî,(1.2.3)Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (1.2.3) ïðåäñòâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà, êîòîðûé îáîçíà÷èì êàêδ(M , M ), íà ôóíêöèþ ψ .Îïðåäåëåíèå 1.2.1 Ôóíêöèîíàë δ(M , M ), äåéñòâóþùèé íàëþáóþ íåïðåðûâíóþ â òî÷êå M ôóíêöèþ ψ(M ) ïî ïðàâèëóhδ(M , M ), ψ(M )i = ψ (M ) ,(1.2.4)íàçûâàþò δ-ôóíêöèåé Äèðàêà.Òàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü åäèíè÷íîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå M , ìîæíî îïðåäåëèòü êàê δ(M , M ).
