А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 3

 ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ðåøåíèåg(M , M0 ) = g(rM M0 ) = g(r) îáëàäàåò ðàäèàëüíîé ñèììåòðèåé. Ðåøàÿóðàâíåíèå1 d r2 dg = 0, r > 0,2r drdrïîëó÷èì g(r) = A + B , ãäå A è B ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.rÂûáèðàåì ðåøåíèå, èìåþùåå îñîáåííîñòü â íà÷àëå êîîðäèíàò:g(r) =A.rÂîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì êîîðäèíàòàì, ïîëó÷àåì:g(M , M0 ) =A.r M M0Îñòàåòñÿ íàéòè íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü A, òàê ÷òîáûg(M , M0 ) óäîâëåòâîðÿëà óðàâíåíèþ (1.4.5). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâîZg(M , M0 )∆ψ(M )dVM = −ψ(M0 ),R3èëè æåZAR3∆ψ(M )dVM = −ψ(M0 ).r M M0(1.4.7)Ñðàâíèâàÿ (1.4.7) ñ òðåòüåé ôîðìóëîé Ãðèíà (A.1.6), ïîëó÷àåì A =1=4π .Ðàññìîòðåííûé ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Ïî àíàëîãèè ñ (1.4.2) ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ∆u = −F (M ).(1.4.8)175. Ïîòåíöèàë çàðÿæåííîé íèòè...Îïðåäåëåíèå 1.4.2 Áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ u(M ) îáîáùåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.4.8), åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóZZu(M ) · ∆ψ(M )dV = −R3F (M ) · ψ(M )dV(1.4.9)R3äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ψ(M ) ∈ D.Ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ øèðå ïîíÿòèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, òàê êàê ôóíêöèÿ u(M ) ìîæåò áûòü íåäèôôåðåíöèðóåìîé.

Åñëè æå u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.4.8) â êëàññè÷åñêîìñìûñëå, òî îíà óäîâëåòâîðÿåò åìó è â îáîáùåííîì.Ÿ 5. Ïîòåíöèàë çàðÿæåííîé íèòè. Ôóíäàìåíòàëüíîåðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå.Íàéäåì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ïîzòåíöèàë áåñêîíå÷íîé òîíêîé çàðÿæåííîé íèòè, ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ êîòîðîé ïîñòîÿííà è ðàâíà e.Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèìζîáðàçîì, ÷òîáû îñü Oz áûëà ïàðàëdζëåëüíà íèòè. Ïóñòü íèòü ïðîõîäèò÷åðåç òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ). Ïîòåíöèàëïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî íèòüþ â òî÷êå íàáëþäåíèÿ M (x, y , z), ìîæíî ðàññìàòαðèâàòü êàê ñóììó ïîòåíöèàëîâ ïîëåéM(x,y,z)rM ( x, y , z )000ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ âåëè÷èíû edζ ,M Mèìåþùèõ êîîðäèíàòó z = ζ , íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûõ âäîëü íèòè.Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ áåñêîíå÷íîé íèòè ïðèâîäèò ê ðàñõîäÿùåìóñÿ èíòåãðàëó.

ÏîÐèñ. 1.5.3.ýòîìó íàéäåì ñíà÷àëà íàïðÿæåííîñòüýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íèòè. Âåëè÷èíà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ó÷àñòêîì íèòè äëèíû dζ ,ðàâíàedζdE =,220(z − ζ) + rMM0q22= (x − x0 ) + (y − y0 ) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî íè-ãäå rM0 Mòè (ñì.

ðèñ 1.5.3). Ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âòî÷êå M (x, y , z) èìååò âèä:dEr =edζ2· cos α = 2(z − ζ) + rM0MerM0 M dζ2(z − ζ)2 + rM0M3/2 ,(1.5.1)18Ãë. 1. Èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé...òàê êàê cos α =dEz =r M0 Mq2(z − ζ)2 + rMedζ20Me(ζ − z)dζ· sin α = 2(z − ζ) + rM, à ñîñòàâëÿþùàÿ âäîëü îñè Oz ðàâíà2(z − ζ)2 + rM0M3/2 .(1.5.2)0MÁåñêîíå÷íàÿ íèòü ñîçäàåò â òî÷êå M (x, y , z) ïîëå, íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî íå çàâèñèò îò z è èìååò âèä:~E(r) = E(rM0 M ) ·M0 M~rM0 Mr M0 M. òîì, ÷òî z -êîìïîíåíòà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â ëþáîé òî÷êå M ðàâíà íóëþ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, íåïîñðåäñòâåííî èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå(1.5.2) âäîëü ïðÿìîé −∞ < ζ < +∞.Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè, âåëè÷èíó E(rM0 M ) ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:∞ZE(rM0 M ) =e rM0 M dζ−∞2rM0M+ (z − ζ)23/2 .Ïîñëåäíèé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ïîäñòàíîâêèζ −z= tg α.r M0 MÒîãäà ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìE(rM0 M ) =dζdα=.r M0 Mcos2 αerM 0 Mπ/Z2cos αdα =−π/22e.rM 0 M~ rÄëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà íèòè âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî E=M0 Mdϕ= −∇ϕ rM0 M , òî åñòü E rM0 M = −, îòêóäàdrM0 Mϕ(M , M0 ) = 2e ln1r M M0+ const.(1.5.3)Ïîòåíöèàë ϕ, ñîçäàâàåìûé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé áåñêîíå÷íîé íèòüþ, íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû z .

Ïîýòîìóçàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äâóìåðíóþ â ëþáîé ïëîñêîñòè,Çàìå÷àíèå 1.5.15. Ïîòåíöèàë çàðÿæåííîé íèòè...19ïåðïåíäèêóëÿðíîé íèòè. Ñå÷åíèå íèòè ýòîé ïëîñêîñòüþ ìîæåòðàññìàòðèâàòüñÿ êàê òî÷å÷íûé ¾çàðÿä¿ â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå,ïîòåíöèàë êîòîðîãî äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.5.3).Èñïîëüçóÿ òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà â äâóìåðíîì ñëó÷àå (A.3.3) àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî ïîòåíöèàë (1.5.3) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∆M ϕ = −4πeδ(M , M0 ),(1.5.4)ãäå M0 = M0 (x0 , y0 ) è M = M (x, y).Ôóíêöèÿϕ(M , M0 ) =112π ln rÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿM M0∆M ϕ = −δ(M , M0 ).(1.5.5)Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àåÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿG(M , M0 ) =112π ln r+ v(M ),(1.5.6)M M0ãäå v(M ) ëþáàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ íà ïëîñêîñòè ôóíêöèÿ.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãîðåøåíèÿ.nÇàäà÷à 1.5.1.ñòâîì.Äîêàæèòå, ÷òî D(R ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàí-Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî D0 âñåõ îáîáùåííûõôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà D, ñ çàäàííûìè íà íåì îïåðàöèÿìèñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Çàäà÷à 1.5.3.

Äîêàæèòå, ÷òî êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∆u = −F óäîâëåòâîðÿåò åìó è â îáîáùåííîì ñìûñëå.Çàäà÷à 1.5.2.Ãëàâà 2ÔÓÍÊÖÈÈ ÃÐÈÍÀ ÇÀÄÀ× ÄÈÐÈÕËş 1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷èÐàññìîòðèì çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â îáëàñòèD ⊂ R3 , îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà 1) S :∆u = −F (M ), M ∈ D,u|S = f (P ), P ∈ S(2.1.1)(2.1.2)Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (2.1.1-2.1.2) ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D, íåïðåðûâíóþ â îáëàñòè D, óäîâëåòâîðÿþùóþ âêëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (2.1.1) â îáëàñòè D è ãðàíè÷íîìóóñëîâèþ (2.1.2).Îïðåäåëåíèå 2.1.1Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ F ∈ L2 (D) ∩ C (1) (D) èf ∈ C(S), òî çàäà÷à (2.1.1-2.1.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå [1].Óòâåðæäåíèå 2.1.1Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ýòî ðåøåíèå, âîñïîëüçóåìñÿ âòîðîé ôîðìóëîé) Ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà, åñëè âûïîëíåíûóñëîâèÿ: â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè S ñóùåñòâóåò íîðìàëü (èëè êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü); ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî d, ÷òî ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå íîðìàëè â òî÷êåP ïîâåðõíîñòè S , ïåðåñåêàþò íå áîëåå îäíîãî ðàçà ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S ,ëåæàùóþ âíóòðè øàðà ðàäèóñà d ñ öåíòðîì â òî÷êå P ; óãîë γ ìåæäó íîðìàëÿìè â äâóõ ðàçíûõ òî÷êàõ, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðèîäíîé îêðåñòíîñòè Ëÿïóíîâà, óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: γ 6 Ar ,ãäå r ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè, A íåêîòîðàÿ êîíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿè 0 < δ 6 1.Ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòè Ëÿïóíîâà: åñëè S ïîâåðõíîñòü Ëÿïóíîâà, òîãäà ñïðàâåäëèâî S ∈ C 1 , îáðàòíîå,âîîáùå ãîâîðÿ,2 íå âåðíî.

åñëè S ∈ C , òîãäà S ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà ñ δ = 1.1δ1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷è21Ãðèíà [3]:ZG(Q, M )∆Q u(Q) − u(Q)∆Q G(Q, M ) dVQ =D=ZG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )− u(P )dSP ,∂nP∂nP(2.1.3)S1ãäå G(Q, M ) =4πrQM + v ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, îïðåäåëåííîå â (1.4.6).Ïîñêîëüêó∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ),èç (2.1.3) ïîëó÷àåì:u(M ) =ZG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )dSP −− u(P )∂nP∂nPZS− G(Q, M )∆u(Q)dVQ .(2.1.4)DÍà ãðàíèöå îáëàñòè u|S = f (P ), à âíóòðè îáëàñòè ∆u = −F (Q), ïîýòîìóu(M ) =ZG(P , M ),∂G(P M )∂u(P )− f (P )dSP +∂nP∂nPZS+ F (Q)G(Q, M )dVQ .(2.1.5)D ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.1.5) îñòàåòñÿ îäíî íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîåZ∂u(P )G(P , M )dSP ,∂nPSñîäåðæàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîãî ðåøåíèÿ ïî íîðìàëè ê ãðàíèöå,êîòîðîå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âõîäíûå äàííûå çàäà÷è.

Îäíàêî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå G(Q, M ) îïåðàòîðà Ëàïëàñà îïðåäåëÿåòñÿ ñòî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè v , ïîýòîìó ìîæíîâûáðàòü åå òàêîé, ÷òîáû G(P , M ) = 0 â ëþáîé òî÷êå P ∈ S . Äëÿ ýòîãîôóíêöèÿ v = v(Q, M ) äîëæíà áûòü ðåøåíèåì çàäà÷è Äèðèõëå:(∆Q v = 0, Q ∈ D,v|S = −14πrPM, P ∈ S,(2.1.6)22Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåãäå ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè Q, à êîîðäèíàòû òî÷êèM èãðàþò ðîëü ïàðàìåòðîâ. Òîãäà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå M îáëàñòè D èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:ZZ∂G(P , M )u(M ) = − f (P )dSP + G(Q, M )F (Q)dVQ .∂nPS(2.1.7)DÝòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (2.1.1)-(2.1.2),åñëè F ∈ C (1) (D) è f ∈ C(S) [1].Îïðåäåëåíèå 2.1.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîé îáëàñòè D ñ çàìêíóòîéãðàíèöåé S (D îáëàñòü D âìåñòå ñ ãðàíèöåé) áóäåì íàçûâàòüôóíêöèþG(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ),Q ∈ D,M ∈ D,QMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ D,íåïðåðûâíàÿ íà D äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D;2) G(P , M )|P ∈S = 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D.Èòàê, èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà G(Q, M ) ñëåäóåò, ÷òî îíàÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ),G(P , M )|S = 0, P ∈ S.Q, M ∈ D,(2.1.8)Åñëè ãðàíèöà S îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà, òî ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå ñóùåñòâóåò èåäèíñòâåííà [1].Èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è (2.1.8) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà G(Q, M ) îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî îáëàñòüþ D.

Ñ ïîìîùüþôóíêöèè Ãðèíà ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ çàäà÷ âèäà (2.1.1)-(2.1.2) âêâàäðàòóðàõ, èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó (2.1.7).Ïîÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè Ãðèíà íà ïðèìåðå ýëåêòðîñòàòèêè. Ïóñòü â òî÷êó M îáëàñòè D, îãðàíè÷åííîé èäåàëüíî ïðîâîäÿùåéçàçåìëåííîé ïîâåðõíîñòüþ S , ïîìåùåí òî÷å÷íûé çàðÿä +q .  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè ïîòåíöèàë ϕ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãîïîëÿ âíóòðè D ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäàÓòâåðæäåíèå 2.1.2ϕ0 (Q, M ) =è ïîòåíöèàëàv(Q, M ) =ZSqrQM,σ(P M )dSPrP Q(2.1.9)2.

Âíåøíèå òðåõìåðíûå çàäà÷è23ïîëÿ èíäóöèðîâàííûõ íà âíóòðåííåé ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè S çàðÿäîâïëîòíîñòè σ(P , M ), ãäåZσ(P , M )dSP = −q.SÏîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà σ(P , M ) çàâèñèò îòêîîðäèíàò òî÷êè M ðàñïîëîæåíèÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, îäíàêî èíòåãðàëïî ïîâåðõíîñòè îò ýòîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíûé èíäóöèðîâàííûé çàðÿä è îò êîîðäèíàò òî÷êè M óæå íå çàâèñèò. Èòàê, âíóòðèîáëàñòè Dqϕ(Q, M ) =+ v(Q, M ), Q, M ∈ D,rQMïðè÷åì∆Q v(Q, M ) = 0, Q, M ∈ D,ïîñêîëüêó v(Q, M ) ïîòåíöèàë ïîëÿ, ïîðîæäàåìîãî çàðÿäàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ïî ïîâåðõíîñòè.

Íà ïîâåðõíîñòè S ñóììàðíûé ïîòåíöèàë ðàâåí 0, òàê êàê îíà çàçåìëåíà. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ÃðèíàG(Q, M ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ïîëÿ, ïîðîæäàåìîãî â òî÷êå1 , ïîìåùåííûì â òî÷êó M , åñëèQ òî÷å÷íûì çàðÿäîì âåëè÷èíû4πïîâåðõíîñòü S çàçåìëåíà.Óòâåðæäåíèå 2.1.3 Ôóíêöèÿ Ãðèíà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òî÷åê Q è M [1]:G(Q, M ) = G(M , Q).Ñèììåòðè÷íîñòü ôóíêöèè Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ôèçè÷åñêîãîïðèíöèïà âçàèìíîñòè: çàðÿä, ïîìåùåííûé â òî÷êó M , ñîçäàåò â òî÷êåíàáëþäåíèÿ Q ïîëå ñ òàêèì æå ïîòåíöèàëîì, êîòîðûé ñîçäàë áû âòî÷êå M ýòîò æå çàðÿä, åñëè áû îí áûë ïîìåùåí â òî÷êó Q.Ñëåäîâàòåëüíî, â ôîðìóëå (2.1.7) ïîëå u(M ) åñòü ðåçóëüòàò ñóïåðïîçèöèè ïîëåé çàðÿäîâ, ðàñïðåäåëåííûõ â òî÷êàõ Q îáëàñòè Dè â òî÷êàõ P íà åå ãðàíèöå S .