А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Функция Грина оператора Лапласа, страница 6

2.3.5). Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâM M02 = OM 2 + OM02 − 2OM · OM0 cos γ. íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ OM = r, OM0 = r0 , òî åñòü r2 = r2 + r02 − 2rr0 cos γ .Ñ äðóãîé ñòîðîíû r2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .  ñôåðè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ1M M0M M02rM= (r cos ϕ sin θ − r0 cos ϕ0 sin θ0 )2 + (r sin ϕ sin θ − r0 sin ϕ0 sin θ0 )2 +M02, ïîëó÷åííûì èç òåîðåìû êîñèíóñîâ, íàõî-+ (r cos θ − r0 cos θ0 )2 = r2 + r02 − rr0 (cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 )) .Ñðàâíèâàÿ ñ âûðàæåíèåì äëÿ räèìcos γ = cos θ cos θ2M M00+ sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ).3. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå37äÿùåé ñôåðû ðàäèóñà a.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð ñôåðû. Ïóñòü çàðÿä qðàñïîëîæåí â òî÷êå M0 âíå øàðà K(O, a). Ïîñêîëüêó íà áåñêîíå÷íîñòèçàðÿäû îòñóòñòâóþò, òî ñ÷èòàåì ïîòåíöèàë íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíûìíóëþ. Íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó(∆u = −4πqδ(M , M0 ),u|r=a = V ,u ⇒ 0 ïðè r → +∞,r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],ãäå V ïîñòîÿííûé ïîòåíöèàë íà ïðîâîäÿùåé ñôåðå, êîòîðûé ïîêà íåèçâåñòåí. Òàê êàê çàäà÷à ëèíåéíàÿ, åå ìîæíî ðàçáèòü íà äâå:(è∆u1 = −4πqδ(M , M0 ),u1 |r=a = 0,u1 ⇒ 0 ïðè r → +∞,(r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],∆u2 = 0, r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],u2 |r=a = V ,u2 ⇒ 0 ïðè r → +∞.(2.3.20)Ðåøåíèå u èñõîäíîé çàäà÷è ðàâíî ñóììå u1 è u2 . Ôèçè÷åñêè ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë ñóììàðíîãî ïîëÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîòåíöèàëàòî÷å÷íîãî çàðÿäà â ïðèñóòñòâèè çàçåìëåííîé ñôåðû è ïîòåíöèàëà,ñîçäàâàåìîãî èíäóöèðîâàííûìè íà ñôåðå çàðÿäàìè.Ôóíêöèÿ u1 ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 4πq ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåéÃðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ ñôåðû:u1 = q1rM M 0−1ar0 rM M 1,a2ãäå M0 = M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) è M1 = M1 (r1 , θ0 , ψ0 ), r1 = .r0Ðåøàÿ çàäà÷ó (2.3.20) ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì:aru2 = V .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà V âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïîëíûé çàðÿäñôåðû ðàâåí íóëþ.

Íàïîìíèì, ÷òî ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà íàïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåσ=−1 ∂u ,4π ∂n Sãäå ~n âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Âû÷èñëÿÿ ïîëíûéçàðÿä, ïîëó÷àåì0=−14πIΣ(O ,a)14∂udS = −∂nπIΣ(O ,a)∂u1∂u+ 2∂r∂rdS =38Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå1=Va−4πI∂u1dS.∂rΣ(O ,a)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîéÃðèíà (A.1.1), â êîòîðîé îäíà èç ôóíêöèé ðàâíà u1 , à äðóãàÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà åäèíèöå:Iq ∂π ∂rΣ(O ,a)4rP M0Zq∆π4=K(O ,a)=−1aqπr04a−r0 rP M11rM M 0Z∆K(O ,a)1òàê êàê âíóòðè øàðà K(O, a) ôóíêöèÿà ôóíêöèÿ1rM M 1dSP =P ∈Σ(O ,a)a−rM M 1dVM =r0 rM M 1dVM =1aq,r0ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé,r M M0óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∆Òàêèì îáðàçîì,1rM M 1= −4πδ(M , M1 ).q.r0V =Èòàê, ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âíå ïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñà aðàâåíu=1aq+qrr0r M M0−1ar 0 r M M1. ñëó÷àå, åñëè íà ñôåðå ðàñïðåäåëåí çàðÿä q1 , òîâ ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè, ïîòåíöèàë ñóììàðíîãîïîëÿ ñîäåðæèò åùå îäíî ñëàãàåìîå u3 = q1 .rÏðèìåð 2.3.10.

Ðåøèòå çàäà÷ó Äèðèõëå â øàðå:(∆u = −F (r, θ, ϕ), r ∈ (0, a), θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],u|r=a = f (θ, ϕ),(2.3.21)Çàìå÷àíèå 2.3.5|u||r=0 < ∞.Ð ÅØÅÍÈÅ . Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2.1.7):u(r0 , θ0 , ϕ0 ) = −Z+K(O ,a)Zf (P ),∂G(P M0 )dSP +∂nPΣ(O ,a)F (M )G(M , M0 )dVM = u1 + u2 .393. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏîäñòàâèì â íåå âûðàæåíèå (2.3.18) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà â øàðå. Âíà÷àëå íàéäåì ôóíêöèþ u1 .

Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèG ïî íîðìàëè nP íà ïîâåðõíîñòè øàðà:−∂G =∂nP Σ(O,a)1 ∂ q1a1=−− q4π ∂r  r2 + r02 − 2rr0 cos γ r0 r2 + r12 − 2rr1 cos γ  =r=a1r − r0 cos γr − r1 cos γa=4π  r2 + r02 − 2rr0 cos γ 3/2 − r0 r2 + r12 − 2rr1 cos γ 3/2  =r=a2a − (a /r0 ) cos γ1 a − r0 cos γ − a 4π  a2 + r2 − 2ar cos γ 3/2 r0 a2 + (a2 /r )2 − 2a(a2 /r ) cos γ 3/2  =0=0001 a − r0 cos γ − r02 /a + r0cos γ = 1 a2 − r02324π a2 + r02 − 2ar0 cos γ4πa a2 + r02 − 2ar0 cos γ 3 2 ,/ãäå r1 =a2.r0/Äëÿ ôóíêöèè u1 ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:au1 (r0 , θ0 , ϕ0 ) =π2Zπ4Zπdϕ00,f (θ ϕ)(a2 − r02 )3/2 sin θdθ.a2 + r02 − ar0 cos γ2(2.3.22)Ôóíêöèÿ u2 èìååò âèä:1u2 (r0 , θ0 , ϕ0 ) =4πZar2 dr02ZπZπdϕ F (r, θ, ϕ)  q0012r2 + r02 − rr0 cos γ−−qa2r02 r2 + a4 − rr0 a2 cos γ sin θdθ.Çàìå÷àíèå 2.3.6 Åñëè â çàäà÷å (2.3.21) F ≡ 0, òî åå ðåøåíèåì äëÿëþáîé íåïðåðûâíîé íà ñôåðå ôóíêöèè f (θ, ϕ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ u1 .Âûðàæåíèå (2.3.22) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà äëÿ ñôåðû.Ïðèìåð 2.3.11.

Ïóñòü âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïîëóñôåðîéðàäèóñàa è ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñôåðû, â òî÷êóa π πM0, ,2 4 4 ïîìåùåí òî÷å÷íûé çàðÿä âåëè÷èíû q. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ ýòîãî çàðÿäà, åñëè ãðàíèöû îáëàñòèçàçåìëåíû.40Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÐ ÅØÅÍÈÅ . Çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïðè ïîìîùè ìåòîäà èçîáðàæåíèé.Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíîé ôóíêöèåé Ãðèíà G(M , M0 ) çàäà÷è Äèðèõëåâ øàðå.

Ôóíêöèÿϕ0 = 4πqG(M , M0 ) =qπ πãäå M1 2a, ,4 41rM M 02zM1M0M2M3Ðèñ. 2.3.6.øàðà ñ çàçåìëåííîé ãðàíèöåé:a π π1rM M 0−2rM M 1,âíóòðè çàçåìëåííîé ñôåðû.2 , Îíà4 , 4 óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ∆M ϕ0 (M , M0 ) = −4πqδ(M , M0 )â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè è îäíîðîäíîìó óñëîâèþ Äèðèõëå íà÷àñòè ãðàíèöû îáëàñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ïîëóñôåðó (ðèñ.2.3.6). Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿíà ïëîñêîñòèz = 0 ïîñòðîèì òî÷a 3π πêó M2 , , , ñèììåòðè÷íóþ2 4 4òî÷êå M0 îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòèz = 0, è ïîìåñòèì â íåå ôèêòèâíûéçàðÿä −q . ×òîáû ¾íå èñïîðòèëîñü¿ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ïîëóñôåðå,ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé ôèêòèâíûì çàðÿäîì âíóòðèϕ1 (M , M2 ) = −qãäå òî÷êà M3 2a, =q, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çà-ðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0π41a−a/ rM M11r M M2−2r M M3,3π , π ñîïðÿæåíà òî÷êå M2 îòíîñèòåëüíî ñôåðû:4 4OM2 · OM3 = a2 .Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó â ïîëóøàðèè âûøå ïëîñêîñòè z = 0,ôóíêöèÿ ϕ1 (M , M2 ) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàòòî÷êè M â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå.

Êðîìå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþϕ0 (P , M0 ) = −ϕ1 (P , M2 ), ∀P (x, y , 0),ïîýòîìó èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) = ϕ0 (M , M0 ) + ϕ1 (M , M2 ) =121 −=q−−qr M M0rM M 1r M M22rM M 3.3. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÇàìå÷àíèå 2.3.7åò âèä:41Ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå â ïîëóøàðèè èìå-G1/2 (M , M0 ) = G(M , M0 ) − G(M , M2 ).Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ îòðåçêà çàðÿæåííîé íèòèäëèíû 2L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ e, ïîìåùåííîãî íàä èäåàëüíîïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ ïàðàëëåëüíî åé íà ðàññòîÿíèèh îò íåå.Çàäà÷à 2.3.13.

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ îòðåçêà çàðÿæåííîé íèòèäëèíû L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ e, ïîìåùåííîãî íàä èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ ïåðïåíäèêóëÿðíî åé. Áëèæàéøàÿê ïëîñêîñòè òî÷êà îòðåçêà óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå h.Çàäà÷à 2.3.14. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè ¾ïîëóñëîÿ¿ 0 6 z 6 l,x > 0, ñ÷èòàÿ, ÷òî ñòåíêè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå è èìåþò íóëåâîéïîòåíöèàë.Çàäà÷à 2.3.15. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α = π â òî÷êó M0 , åñëè2åãî ãðàíè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = π è2πψ = 0.

Óãëîâàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè M0 ðàâíà , ðàäèàëüíàÿ êîîðäè4íàòà ðàâíà r0 .Çàäà÷à 2.3.16. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ â îáëàñòè y > 0, z > 0,x ∈ (−∞, +∞), ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè, ðàñïîëîæåííûìè ñ ëèíåéíîéïëîòíîñòüþ e âäîëü îòðåçêà äëèíû L. Êîíöû îòðåçêà èìåþò êîîðäèíàòû (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 + L, z0 ), x0 , y0 , z0 > 0.

Ãðàíèöû z = 0 èy = 0 èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå è çàçåìëåííûå.Çàäà÷à 2.3.17. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåé ñôåðû òî÷å÷íûìçàðÿäîì, ïîìåùåííûì â íåêîòîðóþ òî÷êó M0 âíå ýòîé ñôåðû.Çàäà÷à 2.3.18. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà âíå íåïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñà a, åñëè íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïîääåðæèâàåòñÿïîòåíöèàë, ðàâíûé f (θ, ψ).Çàäà÷à 2.3.19. Îïðåäåëèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà íà îñè ñèììåòðèè âíóòðè ñôåðû, åñëè íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàñïðåäåëåíèåïîòåíöèàëà çàäàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè 0 6 θ < π (âåðõíÿÿ2ïîëóñôåðà) u = u1 , ïðè π < θ 6 π (íèæíÿÿ ïîëóñôåðà) u = u2 , ãäå u12è u2 êîíñòàíòû.

Âíóòðè ñôåðû íåò îáúåìíûõ çàðÿäîâ.Çàäà÷à 2.3.20. Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿçàäà÷è Äèðèõëå â ÷åòâåðòè øàðà.Çàäà÷à 2.3.21. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî â íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå òî÷å÷íûì çàðÿäîì, ïîìåùåííûì â òî÷êóÇàäà÷à 2.3.12.42Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåM0 (x0 , y0 , z0 ), z0 > 0. Ïðîñòðàíñòâî çàïîëíåíî íåîäíîðîäíûì äèýëåêòðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ:nε , z > 0,ε = ε1 , z < 0.23.2. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ.Ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîÿñíèòü, âêàêîì ñìûñëå ñëåäóåò ïîíèìàòü ñõîäèìîñòü ýòîãî ðÿäà, íåîáõîäèìîíàïîìíèòü ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâà L2 .Ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî L2 .Ïóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñçàìêíóòîé ãðàíèöåé S . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ â D êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé f (M ).

Êàê èçâåñòíî, îíè îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî C(D) íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå C(D) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå(f , g) =Zg(M )f (M )dV.DÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîðîæäàåò íîðìókf k =p(f , f ) , f ∈ C(D).Äîïîëíÿÿ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî C(D) ïðåäåëàìè âñåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïî ââåäåííîé íîðìå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïîëó÷èì ïîëíîåíîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì L2 (D).Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïîíÿòèÿ ïîëíîòû èçàìêíóòîñòè ñèñòåì ôóíêöèé â L2 (D).Îïðåäåëåíèå 2.3.1 Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕn }∞1 íàçûâàåòñÿ ïîëíîé âL2 (D), åñëè íå ñóùåñòâóåò ôóíêöèè f ∈ L2 (D), kf k =6 0, òàêîé ÷òî(f , ϕn ) = 0 ïðè âñåõ n.Îïðåäåëåíèå 2.3.2 Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕn }∞íàçûâàåòñÿ çàìêíó1òîé â L2 (D), åñëè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) è ëþáîãî ÷èñëà ε > 0ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N = N (ε) è êîýôôèöèåíòûα1 , α2 , ..., αN , ÷òîNXαn ϕn 6 ε.f −n=1 ïðîñòðàíñòâå L2 (D) ïîíÿòèÿ ïîëíîòû è çàìêíóòîñòè ýêâèâàëåíòíû [19].

Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) ðÿä Ôóðüåf=∞Xn=1(f , ϕn )ϕn ,433. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåïîïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå⊂ L2 (D), kϕn k = 1, ñõîäèòñÿ â íîðìå L2 (D).ôóíêöèé{ϕn }∞⊂1Çàäà÷à ØòóðìàËèóâèëëÿ.Íàïîìíèì, ÷òî çàäà÷åé ØòóðìàËèóâèëëÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàíàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à:∆v + λv = 0, M ∈ D,v|S = 0, P ∈ S.(2.3.23)Çàäà÷à ØòóðìàËèóâèëëÿ (2.3.23) ðàâíîñèëüíà èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ [14, 15]Z(2.3.24)v(M ) = λ G(Q, M )v(Q)dVQ .DÏåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé çàäà÷è (2.3.23), êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ.1. Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλn , êàæäîìó èç êîòîðûõ îòâå÷àåò êîíå÷íîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.2.

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðè óâåëè÷åíèè íîìåðà n íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàþò. Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå ïîëîæèòåëüíû.3. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû ìåæäó ñîáîé:Zvn (M )vm (M )dV = 0,ïðè n 6= m.D4. Ñèñòåìà {vn }∞1 ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è (2.3.23) ïîëíà è çàìêíóòà â L2 (D).Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõôóíêöèé.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó∆u = −F (M ), M ∈ D,u|S = 0, P ∈ S.Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà åå ðåøåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåZu(M ) =G(Q, M )F (Q)dVQ .DÔóíêöèÿ Ãðèíà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâókG(Q, M )k =2ZZDDG2 (Q, M )dVQ dVM < ∞.44Ãë.