QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 7

Решить предыдущую задачу с пробной функцией Ψ(x, α) == A e−α|x| , где α —√вариационный параметр Ритца.(Ответ: E0 = }ω/ 2.)25. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой µ ичастотой ω находится в первом возбужденном состоянии. Вариационным методом получить приближенное значение энергии осциллятора.−α|x|Пробную функциюс параметром α.√ выбрать в виде Ψ(x, α) = A xe(Ответ: E1 = 3 }ω).40Глава 4.Нестационарная теория возмущений (теорияквантовых переходов)4.1.Возмущение, действующее в течение конечногопромежутка времениРассмотрим систему, находящуюся в стационарном состоянии |ii =Ψi (r) (i — initial, т.

е. «начальное» состояние; зависимость от временине показана). Пусть в момент времени t = t0 включается дополнительное взаимодействие V̂ (r, t), зависящее в общем случае от времени и действующее в течение конечного промежутка времени; в момент t = τ оновыключается. Во все последующие моменты времени наша система может быть обнаружена и в другом стационарном состоянии |f i = Ψf (r)(f — final, т. е. «конечное» состояние).

В таком случае говорят, что система совершила квантовый переход из состояния |ii в состояние |f i.Наблюдаемой характеристикой данного перехода является его вероятность.Поскольку в нашем случае в промежутке времени t0 < t < τ гамильтониан явно зависит от времени, задача расчета данной вероятности будет нестационарной. Если внешнее воздействие удовлетворяет условиюприменимости теории возмущений, вероятность перехода может бытьвычислена в рамках нестационарной теории возмущений.

Ограничимся для простоты рассмотрением переходов только между состояниямидискретного спектра. Амплитуда процесса в первом порядке ТВ имеетвид:Z1 τhf | V̂ (r, t) |ii eiωf i t dt,Af i =i} t0где ωf i = (Ef − Ei )/} — «частота перехода»; Ei и Ef — соответственно энергии начального и конечного состояний. С амплитудой простымобразом связана вероятность перехода:Z21 τ2iωf i t Wf i = |Af i | = 2 hf | V̂ (r, t) |ii edt .(4.1)}t0Если можно считать, что возмущение V̂ «включается» в момент времени t0 = −∞ и исчезает («выключается») при τ → +∞ (так называемый41адиабатический способ включения взаимодействия), то полная вероятность перехода (4.1) естьWf iZ21 +∞iωf i t = |Af i | = 2 hf | V̂ (r, t) |ii edt .}−∞2(4.2)Предлагаем самостоятельно убедиться в безразмерном характере величины Wf i .

Таким образом, для вычисления вероятности перехода необходимо знать энергетическое представление оператора возмущения побазису невозмущенной задачи.Пример 4.1. Линейный гармонический осциллятор с массой µ, частотой ω и зарядом e при t → −∞ находился в n-м возбужденномсостоянии. Данный осциллятор подвергается воздействию внешнегооднородного электрического поля, изменяющегося во времени по закону E(t) = E0 e−t/|τ | (τ = const), и направленному вдоль оси Ox. Найтив первом порядке теории возмущений вероятности обнаружения осциллятора в различных стационарных состояниях при t → +∞.Решение. Вероятность возбуждения различных стационарных состояний определяется формулой (4.2).

Оператор возмущения имеет следующий вид:V̂ (x, t) = −exE0 e−t/|τ | ,и его матричные элементы пропорциональны матричным элементамоператора координаты в базисе осциллятора. Согласно примеру 2.4 ч. 2,√s n + 1, m = n + 1;} √hm| x |ni =n,m = n − 1;2µω 0,m 6= n ± 1.В нашем случае |ii ≡ |ni, |f i ≡ |mi. Частота перехода 111ωf i = ωmn =}ω m +− }ω n += ω(m − n).}22Для вероятности возбуждения имеем:Wf i = WmnZ +∞2|t|e2 E022− τ +iωmn t = 2 |xmn | edt =}−∞n + 1,2 222e E0τ=·n,µ}ω (ω 2 τ 2 + 1)2 0,42m = n + 1;m = n − 1;m 6= n ± 1.Таким образом, в первом порядке теории возмущений возбуждаются лишь соседние к n-му состояния осциллятора |n ± 1i; при n = 0возбуждается лишь состояние |1i. Обратим внимание на то, что для∞Xнашего ответа не выполняется условиеWmn = 1, поскольку не учиm=0тывается вклад слагаемых более высоких порядков малости по возмущению.Задачи для самостоятельного решения26.

Использовать условие примераt2E0.а) E(t) = E0 e− τ 2 ; б) E(t) = t2+12τn + 1,e2 E02[Ответ: Wf i =I(ω) n,2µ}ω0,где а) I(ω) = πτ 2 e−ω2 2τ /24.1, заменив функцию E(t) наm = n + 1;m = n − 1;m 6= n ± 1,; б) I(ω) = π 2 τ 2 e−2ωτ .]27. Плоский ротатор с моментом инерции I и электрическим дипольным моментом d в момент времени t0 → −∞ находился в состоянии сLz = m} (m 6= 0). Данный ротатор подвергается воздействию внешнегооднородного электрического поля, изменяющегося во времени по закону, указанному в предыдущей задаче. Поле направлено вдоль оси Ox вплоскости вращения.E02 d2(Ответ: Wf i =δm0 ,m±1 I(ω), где I(ω) определено в предыдущем4}2примере.)4.2.Периодическое возмущение и спонтанное электромагнитное излучениеВажные случаи представляют возмущения, которые имеют постоянные значения между моментами включения и выключения илизависят от времени периодически с частотой ω (например, монохроматическая электромагнитная волна).

В этих случаях, если время действия возмущения достаточно велико по сравнению с характернымивнутренними временами системы (∼ }/En ), существует постояная вовремени наблюдаемая величина, называемая скоростью перехода. Онапоказывает число переходов, совершающихся в системе в единицу времени, и может принимать произвольные неотрицательные значения.43Для возмущений, имеющих видV̂ (r, t) = V± (r)e±iωt ,(4.3)скорость перехода из состояния |ii в состояние |f iPf i22π =hf | V̂± |ii δ(Ef − Ei ∓ }ω)}(4.4)(«золотое» правило Ферми). Согласно (4.4), переходы могут осуществляться лишь в те состояния, энергия которых отличается от Ei навеличину }ω. Таким образом, при наличии возмущения (4.3) системаможет либо принимать извне, либо отдавать энергию порциями }ω.При взаимодействии монохроматической электромагнитной волны сзаряженной системой может поглощаться (или вынужденно излучаться) квант электромагнитной энергии — фотон.

Скорость перехода вэтом случае также определяется из (4.3). Спонтанное излучение происходит при Ef > Ei в результате взаимодействия с флуктуациямивакуума. Полная проинтегрированная по Ef скорость спонтанного перехода с частотой ωf i в дипольном приближении вычисляется по формуле3 24 ωif(Sp)Wf i =(4.5)hf | d̂ |ii ,33 }cгде d̂ — оператор дипольного момента системы, совершающей квантовый переход (для электрона в атоме d̂ = −er). Рекомендуем самостоятельно проверить размерность (4.5).Пример 4.2.

Найти вероятность в единицу времени спонтанногоизлучения фотона из возбужденного 2p-состояния водородоподобногоиона с зарядом Z.Решение. Полная вероятность спонтанного излучения не может зависеть от проекции орбитального момента на выделенное направление(т. е. от ориентации излучающей системы). Поэтому для определенности предположим, что в начальном состоянии Lz = 0, так что волноваяфункция начального состояния имеет видrre− 2a Y10 (θ, ϕ),Ψi (r) = Ψ210 (r, θ, ϕ) = √2 6a5(4.6)где a = a0 /Z.

Выпишем также явный вид волновой функции основного1s-состояния, в которое осуществляется переход:1Ψf (r) = Ψ100 (r, θ, ϕ) = √e−r/a .3πa44(4.7)Для определения вероятности спонтанного излучения в дипольномприближении необходимо вычислить матричный элемент оператора дипольного момента d̂ = −er между начальным и конечным состояниямииона. В сферической системе координатr4πx = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ = rY10 (θ, ϕ). (4.8)3Волновые функции Ψi и Ψf не зависят от ϕ, поэтому интегрированиепо Rϕ обращает матричные элементы hf | x |ii и hf | y |ii в нуль, а hf | z |ii == Ψ∗f zΨi d3 r 6= 0.

Подставляя под знак интеграла выражения (4.6)–(4.8) и учитывая нормированность сферической функции Y10 , получаем1hf | z |ii = √3 2 a4Z∞r4 e3r− 2a0 5√2dr =4 2 a.3Полная вероятность спонтанного излучения в единицу времени (4.5)представляется в виде(Sp)Wf i3 23 2 2ee a128 ωif4 ωif2|hf|z|ii|==3 }c33}c3 102.3(4.9)Подставляя в (4.9) явное выражение для частоты 2p − 1s-перехода11 Z 2 e23Z 2 e21−=,ωif = (E1 − E2 )/} =24 a0 }8a0 }получаем окончательное выражение для вероятности спонтанного излучения: 82c(Sp)4Wf i = (Zαe ).(4.10)3a0Для атома водорода (Z = 1) имеем следующее численное значение:(Sp)Wf i ≈ 0.63·109 с−1 .

Соответственно, для времени жизни 2p-состояния(Sp)τ = 1/Wf iполучаем τ = 1.6 · 10−9 с.45Задачи для самостоятельного решения28. Определить в дипольном приближении вероятность спонтанногоизлучения фотона в единицу времени пространственным ротатором,находящимся в первом возбужденном состоянии. Ротатор имеет моментинерции I и дипольный момент d.4 }2 d 2(Sp)(Ответ: Wp→s =.9 I 3 c3Указание: d̂ = nd, где n — орт в направлении, задаваемом углами (θ, ϕ)в сферической системе координат.)29∗ . Определить в дипольном приближении вероятность спонтанногоизлучения фотона в единицу времени сферическим осциллятором, находящимся в первом возбужденном состоянии.

Осциллятор имеет массуµ, частоту ω и заряд e.2 e2 ω 2(Sp)(Ответ: Wp→s =.)3 µc346Глава 5.Теория рассеяния в борновскомприближенииУпругие столкновения — это столкновения, при которых не меняется внутреннее состояние сталкивающихся частиц. Напомним, что всистеме центра инерции движение двух частиц с массами m1 и m2 , взаимодействующих по закону V (r 1 −r 2 ) (r 1 , r 2 — радиус-векторы частиц),можно рассматривать как движение фиктивной частицы с приведенноймассой µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) в поле V (r) неподвижного силового центра. Движение системы как целого является свободным.Процесс рассеяния частицы с массой µ на силовом центре с потенциальной энергией V (r) (мишени) заключается в следующем. Начальнойстадией процесса является движение частицы по направлению к мишени на бесконечно большом удалении.

Влияние потенциала исчезающемало, и состоянию налетающей частицы можно приписать определенный импульс }ka . По мере приближения частицы к силовому центруее состояние меняется, что приводит к неопределенности в импульсе.Конечной стадией процесса является уход рассеянной частицы на большое расстояние от мишени. Ее движение вновь становится свободными теперь характеризуется импульсом }kb 6= }ka .Для исследования рассеяния удобно рассматривать не одну частицу,а их поток.

Основная характеристика процесса рассеяния — дифференциальное сечение dσ(k a , kb ), которое определяется как отношениепотока частиц, рассеянных в заданный элемент телесного угла dΩb , кплотности потока падающих частиц. Размерность сечения совпадает сразмерностью площади (проверить!).pПри упругом рассеянии |k a | = |kb | = k = 2µE/}, где E — энергиясвободного движения частицы. Мы будем рассматривать лишь упругоерассеяние частиц с заданной энергией E. Для расчета сечения необходимо вначале найти волновую функцию частицы из уравнения Шредингера2µV (r)(∇2 + k 2 )Ψ(r) =Ψ(r).(5.1)}2Инфинитный характер движения требует решения уравнения Шредингера (5.1) в непрерывном спектре. От задачи с дискретным спектром47данная задача отличается граничными условиями, которые требуют отволновых функций их неисчезновения на бесконечности.Для простоты ограничимся исследованием короткодействующегопотенциала, который на бесконечности стремится к нулю быстрее кулоновского.