QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 8

Предположим, что V (r) отлично от нуля только в некоторойограниченной области пространства |r| 6 d. Эту часть пространствабудем называть областью действия сил. Вне области действия сил частицы движутся свободно и их состояние, согласно принципу причинности, можно описать суперпозицией плоской волны(5.2)Φa (r) = exp(ika r),удовлетворяющей волновому уравнению (5.1) без правой части, и сферической расходящейся волны:Ψa (r) = Φa (r) + A(ka , kb )eikr,rr d.(5.3)Уравнение (5.3) задает граничные условия для волновой функциинепрерывного спектра. Коэффициент A(k a , kb ) называется амплитудой рассеяния.

Амплитуда связана с сечением простым соотношением2dσ(ka , kb ) = |A(ka , kb )| dΩb .(5.4)Таким образом, для расчета сечения необходимо найти амплитуду рассеяния. Общая формула, позволяющая получать амплитуду рассеянияпо заданному потенциалу, естьA(ka , kb ) = −µhΦb | V |Ψa i ,2π}2(5.5)где волновые функции Φb (r) и Ψa (r) определяются соответственно выражениями (5.2) и (5.3).

Прямое вычисление (5.5) затруднено, так кактребует использования неизвестной функции Ψa (r) (см. (5.3)), и можетбыть выполнено точно лишь для ограниченного числа потенциалов.Одним из приближенных методов расчета амплитуды является итерационный метод. В качестве нулевого приближения для функции (5.3)используется Φa (r). С ней вычисляется амплитуда (5.5):µhΦb | V |Φa i ,2π}2(5.6)V (r) ei(ka −kb )r d3 r ≡ V (q);(5.7)A(B) (ka , kb ) = −гдеhΦb | V |Φa i =Z}q = ka − kb — импульс, передаваемый при рассеянии рассеивающемуцентру.

Формула (5.6) дает амплитуду рассеяния в первом борновском48приближении. Подставляя A(B) (ka , kb ) в (5.3), можно получить уточненную функцию Ψb (r) и т. д. Мы ограничимся использованием первого борновского приближения. Оно применимо, если выполняется хотябы одно из двух условий:|V̄ (r)| или}22µd2}2|V̄ (r)| kd,2µd2где V̄ (r) — характерное значение потенциальной энергии в области действия сил.Как можно видеть из (5.6), (5.7), для решения задачи в первом борновском приближении необходимо перейти к импульсному представлению потенциальной энергии.Полное сечение получается из дифференциального интегрированием последнего по телесному углу.Пример 5.1. Записать выражения для дифференциального и полногосечений упругого рассеяния для случая центрального поля.Решение. В центральном поле задача расчета сечения становитсяаксиально-симметричной относительно оси Oz, проходящей через силовой центр в направлении, задаваемом вектором ka .

В сферическойсистеме координат сечение не зависит от угла ϕb и определяется лишьуглом рассеяния θb и энергией частиц E.Амплитуда в первом борновском приближении вычисляется по формуле (5.6). После интегрирования по угловым переменным (выполнитьсамостоятельно)Z2µ ∞A(θb ) = 2V (r) sin(qr)r dr,(5.8)q} 0гдеθb.(5.9)2Таким образом, в первом борновском приближении амплитуда и сечение рассеяния зависят от угла рассеяния θb лишь через q.При вычислении полного сечения рассеяния интегрирование по ϕbдает множитель 2π, а вместо переменной θb удобно интегрировать поq.

Тогда}2p2sin θ dθ =q dq,E=,2mE2mи выражение для полного сечения принимает видq = |kb − ka | = 2k sin49√8µE2Z π 2 Zθπ}} |A(q)|2 q dq,A 2k sin sin θ dθ =σ(E) = 2π2µE 00т. е. в центральном поле полное сечение рассеяния зависит лишь отэнергии частицы.Пример 5.2. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния частицы экранированным кулоновским полемZ1 Z2 e2rV (r) =exp −.rr0Результат исследовать в пределе r0 → ∞.Решение. Подставляя данный потенциал в (5.7) и учитывая (5.8), получаем:2dσ2µZ1 Z2 e2.(5.10)=dΩb}2 [4k 2 sin2 (θ/2) + r0−2 ]При r0 → ∞ экранирование отсутствует и (5.10) переходит в известнуюформулу Резерфорда:2dσµZ1 Z2 e2=.dΩb2}2 k 2 sin2 (θ/2)Задачи для самостоятельного решения30.

Вычислить сечение рассеяния на потенциале Гауссаr2V (r) = V0 exp − 2 .2r0dσ2πµ2 r06 V022 θ2 2(Ответ:=exp −4k r0 sin.)dΩb}4231. В борновском приближении получить дифференциальное и полноесечение рассеяния частиц сферической прямоугольной потенциальнойямой(−V0 , r 6 R,V (r) =0,r > R.50Для полного сечения исследовать предельные случаи высоких и низкихэнергий.(Ответ:24µ2 V02 R2sin qRdσ=cos qR −;dΩb}4 q 4qR2 2π µV0 R21sin(4kR) sin2 (2kR)σ(E) = 21−+−.k}2(2kR)2(2kR)3(2kR)416πµV02 R6.9}4πµV02 R4.)При E → ∞ σ(E) ≈}2 E32∗ . Функция Грина свободного движения вычисляется по формулеZ +∞qeiqx02−1G(r, r ) = (4π ix)dq,(5.11)22−∞ k − qПри E → 0 σ(E) ≈где x = |r − r 0 |. Легко видеть, что подынтегральная функция в (5.11)имеет 2 полюса на вещественной оси: q± = ±k. Их обход возможен четырьмя способами.

Показать, что при сдвиге полюсов в комплекснуюплоскость по правилу q± → q± ∓ iε (ε → +0) волновая функция имеет правильную асимптотику (5.3). Обосновать ошибочность остальныхтрех способов обхода полюсов при решении задачи упругого рассеяния.51Глава 6.Нерелятивистская теория спина электронаОпыты Штерна и Герлаха показывают, что электрон, находящийe}ся в s-состоянии, обладает магнитным моментом с проекцией ±.2µe cДанный факт невозможно объяснить в рамках классической механики(см. задачу 33). Согласно результатам экспериментов Эйнштейна – деХааза, проекция «собственного» механического момента также может}принимать только два значения: ± .

Поэтому спиновое гиромагнитное2отношение вдвое больше орбитального! Наконец, спиновые эффекты неимеют классического аналога, так как исчезают при } → 0.Таким образом, электрону присущ «собственный» механический момент, не связанный с орбитальным движением и именуемый спиновыммоментом или просто спином (от англ. spin — веретено). Он обладаетвсеми известными свойствами механического момента: его оператор —псевдовектор, компоненты которого удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, т. е.X[ŝi , ŝj ] = i}εijk ŝk ,(6.1)kŝj являются линейными эрмитовыми операторами.Спиновому моменту, однако, присущ ряд свойств, отличающих егоот орбитального момента.

Прежде всего его проекция модет принимать только два значения: ± 12 }, т. е. равняться полуцелому числу }(напомним, что наблюдаемая проекция орбитального момента всегдапринимает значения, равные целому числу }). Но тогда для квантовомеханического рассмотрения спина нельзя использовать координатное представление! Действительно, если воспользоваться аналогией сорбитальным моментом, то в координатном представлении собственная1функция оператора ŝz должна иметь вид: Ψ± 21 (ϕ) = √12π e± 2 iϕ .

Тогдаполучим: Ψ± 21 (ϕ + 2π) = −Ψ± 12 (ϕ), т. е. функция неоднозначна!Из этих соображений вводится матричное представление для описания спиновых состояний микрочастиц. Число наблюдаемых значений sz равно двум и поэтому в качестве спиновых операторов можноиспользовать комплексные матрицы размерности 2 × 2. В этом случаеволновыми функциями будут двухкомпонентные столбцы комплексных52чисел — спиноры 1 . Аргумент у таких функций дискретен.

Им являетсяномер элемента в спиноре. В дальнейшем там, где это не вносит недоразумений, аргумент спиновой функции мы будем опускать. Стандартныеусловия, налагаемые на спиноры, сводятся к требованию однозначностии ограниченности их элементов. Формально спиноры в алгебраическихвыкладкахможно рассматривать как матрицы размерности 2 × 1 видаab . В бра-векторе спинор заменяется эрмитово-сопряженной конструкцией, т.

е. превращается в строку из двух комплексно-сопряженныхэлементов (a∗ b∗ ).Пример 6.1. Нормировать спиноры: а) χ = A ab (кроме a = b = 0);3б) χ = A 4i.Решение. а) Нормируем спинор на единицу условием:! ahχ|χi = χ† χ = A a∗ b∗= A(a∗ a + b∗ b) = A(|a|2 + |b|2 ) = 1.b1Отсюда A = (|a|2 + |b|2 )− 2 (выбрали действительное положительноечисло).б) Пользуясь результатом предыдущего пункта задачи, имеем A =1.5Оператор спина удобно представить в видеŝ =}σ̂,2(6.2)где σ̂ = (σ̂x , σ̂y , σ̂z ) — так называемые матрицы Паули.

Для них, согласно (6.1) и (6.2), выполняются коммутационные соотношения:X[σ̂i , σ̂j ] = 2iεijk σ̂k .(6.3)kПоскольку оператор спина эрмитов, матрицы Паули также эрмитовы:σ̂k† = σ̂k .(6.4)Пример 6.2. Получить явный вид матриц Паули 2 .1Их нельзя отождествлять с физическими векторами, потому что возникаютпроблемы с введением операции инверсии.2 Данный пример является дополнительным для изучения.53Решение. Свойство эрмитовости (6.4) позволяет параметризовать матрицы Паули следующим образом:!iδPSeσ̂x,y,z =.(6.5)−iδSeQЗдесь P , Q, S, δ — подлежащие определению вещественные параметры,причем S > 0.Из курса линейной алгебры известно, что любую эрмитову матрицус помощью надлежащего унитарного преобразования можно привестик диагональному виду.

Поэтому для упрощения дальнейших расчетовпотребуем, чтобы одна из матриц, например, σ̂z , была диагональной.Остальные матрицы будут недиагональны, так как в противном случаеони бы коммутировали, вступая в противоречие с (6.3).Таким образом, с учетом выражения (6.5) и сделанных замечаниймы будем искать матрицы Паули в виде!!!iδx−iδyX1XeY1YeZ1 0σ̂x =; σ̂y =; σ̂z =.Xe−iδxX2Y eiδyY20 Z2(6.6)На вещественные параметры в (6.6) налагаются дополнительные условия:X > 0,Y > 0;σ̂z 6= 0.(6.7)(6.8)Будем искать параметры (6.6), используя коммутационные соотношения (6.3), а также учитывая условия (6.6) — (6.8).

Соотношения(6.3) дают 12 уравнений, из которых независимыми являются только9 вследствие антиэрмитовости коммутатора эрмитовых матриц. Числонезависимых параметров в (6.6) равно 10, и один из них может бытьвыбран произвольно. Поэтому мы положим δx = 0.Рассмотрим коммутатор[σ̂x , σ̂y ] = 2iσ̂z .(6.9)Подставляя (6.6) в (6.9) и перемножая матрицы по правилам линейнойалгебры, получаем 4 уравнения:XY sin δy = Z1 ,XY sin δy = −Z2 ;Y eiδy (X1 − X2 ) = X(Y1 − Y2 ),Y e−iδy (X1 − X2 ) = X(Y1 − Y2 ).54(6.10)(6.11)Из (6.10) с учетом условий (6.7), (6.8) имеем:(6.12)Z1 = −Z2 = Z 6= 0.Преобразуя систему (6.11) по формуле Эйлера, мы приходим к уравнениям:Y (X1 − X2 ) sin δy = 0;Y (X1 − X2 ) cos δy = 2X(Y1 − Y2 ).(6.13)Матрица σ̂y не может быть вещественной (это нарушит коммутационные соотношения (6.3)), поэтому из (6.13) следует, чтоX1 = X2 = X̃;Y1 = Y2 = Ỹ .(6.14)Более подробной информации о параметрах матриц Паули (6.6) из соотношения (6.9) извлечь нельзя.

Необходимо теперь использовать всеоставшиеся коммутационные соотношения из (6.3).Рассмотрим теперь коммутатор(6.15)[σ̂z , σ̂x ] = 2iσy .Подстановка (6.6) в (6.15) с учетом (6.12) и (6.14) даетX̃ = 0;(6.16)Y Z = −i Xeiδy = i Xe−iδy .(6.17)Ненулевые значения X, Y и Z (свойства (6.7), (6.8)), а также вещественный диапазон параметров матриц (6.6) приводят к необходимостиположить в (6.17).π(6.18)δy =2(взято наименьшее неотрицательное значение).Воспользуемся, наконец, коммутатором(6.19)[σ̂y , σ̂z ] = 2iσx .Подставляя (6.6) в (6.19) и учитывая (6.12), (6.14), (6.16) и (6.18), получаемỸ = 0;(6.20)XZ = Y.Оставшиеся пока не определенными значения X, Y, Z находим из(6.10), (6.17) и (6.20) подстановкой в них уже найденных параметров.К сожалению, получающаюся при это системаXY = Z;Y Z = X;55ZX = Yоднозначно не решается.