QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 6

Тогда секулярное уравнение (2.37) определяет энергию E во втором порядке по V .Задачи для самостоятельного решения18. В примере 2.6 найти правильные волновые функции нулевого приближения.1(Ответ: Ψ± = √ (Ψ2s ∓ Ψ2p ), где Ψ2s ≡ Ψ200 , Ψ2p ≡ Ψ210 .)219. Найти расщепление первого возбужденного уровня энергии плоского гармонического осциллятора с массой µ и частотой ω под действиемвозмущения вида V = αxy ((x, y) — плоскость колебаний).α}(Ответ: E± = 2}ω ±.)2µω20. Определить расщепление и поляризуемость стационарных уровнейплоского ротатора с m = ±1 в однородном электрическом поле E, лежащем в плоскости вращения ротатора. Момент инерции ротатора I,электрический дипольный момент d.d2 E 2 I}2d2 E 2 J3(Ответ: ∆E = E+ − E− =, где E± =+1± ;}22J3}222 2d E J(±)α0 = −(2 ± 3).)3}234Глава 3.Применение вариационного метода кприближенным расчетамВ ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода.

Вариационный метод вычисления первых собственныхзначений оператора Гамильтона Ĥ не использует теорию возмущенийи соответственно не требует наличия в задаче малых параметров.При расчетах энергии основного состояния вначале аналитическивыбирается «пробная функция» Ψ0 (ξ; α, β, .

. .), содержащая некотороечисло неизвестных параметров α, β, . . . После вычисления энергетического функционалаR ∗Ψ0 (ξ; α, β, . . .)ĤΨ0 (ξ; α, β, . . .) dξR(3.1)J(α, β, . . .) =|Ψ0 (ξ; α, β, . . .)|2 dξполучают выражение J(α, β, . . .), зависящее от этих параметров. Оноимеет смысл средней энергии системы в состоянии, задаваемом «пробной функцией» Ψ0 (ξ; α, β, . . .). Определение искомых значений параметров сводится к минимизации J(α, β, .

. .), т. е. к решению системыуравнений∂J∂J== . . . = 0.∂α∂βПри удачном выборе пробной функции получаемое значение энергииE0 = J(α0 , β0 , . . .)(0)будет близко к истинному значению E0 даже при сравнительно малом числе использованных параметров. Ненормированная волноваяфункция основного состояния системы будет приближенно совпадать сфункцией Ψ0 (ξ; α0 , β0 , . .

.).Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений сучетом симметрии задачи. Пробная функция прежде всего должна удовлетворять стандартным условиям и в случае финитного движения обращаться в нуль на бесконечности. Согласно осцилляционной теореме35для основного состояния одномерной системы пробная функция внутрипотенциальной ямы не должна обращаться в нуль. Если гамильтонианне меняется при операции инверсии, пробную функцию основного состояния следует выбирать четной. В случае удачного выбора хорошиерезультаты для энергии получаются уже при использовании одного параметра.Пробная функция первого возбужденного состояния Ψ1 (ξ; α, β, .

. .)должна один раз обратиться в нуль. Вычисление энергии первого возбужденного состояния сводится к решению вариационной задачиR ∗Ψ ĤΨ1 dξE1 = min R 1 2|Ψ1 | dξRпри дополнительном условии Ψ∗1 Ψ0 dξ = 0, где Ψ0 — известная волновая функция основного состояния.Аналогичным образом вычисляется энергия n-го возбужденного состояния. Соответствующая пробная функция с помощью дополнительных условий подбирается ортогональной к волновым функциям болеенизких по энергии состояний: Ψ0 , Ψ1 , . .

. , Ψn−1 .(0)Заметим, что точные значения энергии En и полученные вариационным методом En удовлетворяют неравенствуEn(0) 6 En .(3.2)Волновые функции, найденные вариационным методом, не обязаныбыть собственными функциями гамильтониана Ĥ. Они являются таковыми лишь при определенном выборе параметризации пробных функций, позволяющем подбором параметров привести их к точным волновым функциям стационарных состояний.

В этом случае (3.2) превращается в строгое равенство.Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций гамильтониана некоторых систем. Предлагаем читателюпроделать все промежуточные выкладки самостоятельно.Пример 3.1. Вычислить вариационным методом энергию основногосостояния линейного гармонического осциллятора с массой µ и часто1 2той ω. Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x, α) = A exp − αx ,2где A = const, α > 0 — вариационный параметр.Решение.

При выборе пробной функции учтено, что Ψ(±∞, α) = 0.Также принято во внимание отсутствие узлов у волновой функции основного состояния и ее четность. Энергетический функционал (3.1) вычисляется с гамильтонианом36}2 d 21Ĥ = −+µω 2 x222µ dx2(3.3)и заданной пробной функцией Ψ(x, α). Приведем его окончательныйвид (3.1):1 }2 α µω 2J0 (α) =+.4µαМинимум J0 (α) соответствует значению α0 = µω/}, поэтому энергияосновного состояния1E0 = J0 (α0 ) = }ω,2а соответствующая нормированная волновая функция имеет видΨ0 (x) = Ψ(x, α0 ) = µω 1/4π}e−x22x20,(3.4)}. По причине удачно выбранной параметризации пробнойµωфункции значение энергии и вид волновой функции совпадают с точными выражениями.где x20 =Пример 3.2. Вычислить вариационным методом энергию основного состояния атома водорода.

Пробную функцию выбрать в видеΨ(r, β) = Ae−βr с вариационным параметром β > 0.Решение. Гамильтониан атома водорода имеет вид}2 2 Ze2Ĥ = − ∇ −.2µr(3.5)В центрально-симметричном поле определенное значение имеет угловой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Следовательно, волновая функция может зависеть только от r и не зависит от углов. В связанных состояниях при r → ∞ волновая функциядолжна обращаться в нуль. Радиальная волновая функция основного состояния не должна иметь узлов.

Предлагаемая пробная функцияудовлетворяет вышеперечисленным условиям.Энергетический функционал с гамильтонианом (3.5) приводится квидуZZ ∞2β 3 }2 ∞ −βr 2 −βr 2J1s (β) =e∇ er dr − 4β 3 Ze2e−2βr r dr.(3.6)µ0037При вычислении первого интеграла в (3.6) имеем2Z ∞Z ∞∂e−βr ∇2 e−βr r2 dr = −e−βr r2 dr = −(4β)−1 .∂r00Второй интеграл в (3.6) легко вычисляется:Z ∞e−2βr r dr = (2β)−2 .0Подставляя эти значения в (3.6), получаем:J1s (β) =}2 β 2− Ze2 β.2µИз условия минимума J1s (β) определяем вариационный параметр β0 == Z/a0 .

Подставляя найденное значение β0 в выражения для энергетического функционала и пробной функции, получаем:s2 2Z eZ3Zr;Ψ1s (r) =exp −.(3.7)E1s = J1s (β0 ) = −2a0πa30a0Выражения для энергии и волновой функции совпадают с точнымиблагодаря удачной параметризации пробной функции.Пример 3.3. Вычислить вариационным методом энергию первого возбужденного состояния 2s атома водорода. Пробнуюфункциювыбратьвиде Ψ(r; α, γ)= в двухпараметрическомZrαrexp −с вариационными параметрами α > 0 и= B 1+γa0a0γ < 0.Решение.

Помимо стандартных условий, радиальная волновая функция2s-состояния должна иметь один узел. Данный факт находит отражение в параметризации пробной функции. Дополнительным условиемпри минимизации энергетического функционала является требованиеортогональности Ψ(r; α, γ) к волновойфункции 1s-состояния, найденR∞ ∗ной в предыдущем примере: 0 Ψ (r; α, γ)Ψ1s (r) d3 r = 0. Несложныевычисления позволяют получить следующую связь между вариационными параметрами α и γ:1(Z + α).(3.8)3ZТеперь на основании (3.5) и (3.8) с заданной пробной функцией можно получить энергетический функционал 2s-состояния:Z222Zeα7αZαJ2s (α) = Ψ∗ ĤΨ d3 r =− +−.a026Z2(α2 − Zα + Z 2 )γ=−38Из условия минимума J2s (α) следует α0 = Z/2. Подставляя найденноезначение α0 в выражения для энергетического функционала и пробнойфункции, имеем:s2 2Z eZrZrZ3E2s = J2s (α0 ) = −;Ψ1s (r) =1−exp −.8a08πa302a02a0Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точнымирезультатами.Пример 3.4.

Вычислить вариационным методом энергию второговозбужденного состояния линейного гармонического осциллятора смассой µ и частотойфункцию выбрать в виде Ψ(x; β, γ) = ω. Пробную1= B 1 − γx2 exp − βx2 , где β, γ > 0 — вариационные параметры.2Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осциллятора является четной, а первого — нечетной, т.

е. они будут ортогональны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтомумы должны потребовать от пробной функции ортогональности толькок волновой функции основного состояния, найденной в примере 3.1:R +∞Ψ(x; β, γ)Ψ0 (x) dx = 0. После интегрирования мы получаем допол−∞нительное условие, связывающее параметры β и γ:γ = β + x−20 ,}. Пробная функция параметризована таким образом, чтоµωбы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычислениеэнергетического функционала J2 (β) требует многократного применения формулыZ +∞2(2n − 1)!! √πξ 2n e−ξ dξ =2n−∞где x20 =и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь неприводится. Его минимум достигается при β0 = x−20 . Окончательноерешение выглядит следующим образом:s51x2x2√E2 = }ω; Ψ2 (x) =1 − 2 2 exp − 2 .2x02x02x0 π39Задачи для самостоятельного решения21.

Частица с массой µ находится в δ-образной потенциальной ямеU (x) = −V0 δ(x) (V0 > 0). Вариационным методом получить приближенное значение энергии основногосостояния.Пробную функцию вы1брать в виде Ψ(x, α) = A exp − αx2 с параметром α.22µV(Ответ: E0 = − 02 .)π}22. Движение частицы с массой µ, находящейся в однородном поле тяготения, ограничено снизу абсоютно упругой горизонтальной пластиной.

Вариационным методом получить приближенное значение энергииосновного состояния частицы. Пробную функцию выбрать в следующем виде:а) Ψ(z, α) = A z exp(−αz); б) Ψ(z, α) = B z exp − 21 αz 2 ,где α — вариационный параметр. Ось Oz направлена вертикальновверх. Ускорение свободного падения g.1/31/3243 2 281 2 2(Ответ: а) E0 =} µg; б) E0 =} µg.)324π23.

Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой µ и частотой ω находится в основном состоянии. Вариационным методом получить приближенное значение энергии осциллятора. Пробную функцию выбрать в следующем виде:а) Ψ(x, α) = A/(1 + x2 /α2 ); б) Ψ(x, α) = B/(1 + x2 /α2 )2 ,где α — вариационный параметр. Сравнить с точнойэнергией.√√7(0)(0)}ω ≈ 1,058E0 , где(Ответ: а) E0 = }ω/ 2 ≈ 1,414E0 ; б) E0 =5(0)E0 = }ω/2 — точное значение энергии основного состояния.R +∞√Указание: продифференцировать −∞ (β + z 2 )−1 dz = π/ β по β.)Объяснить, почему в случае б) результат будет точнее.24∗ .