QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 4

Явный вид hm| x |ni получен в примере 3.8 части 2.(1)Из (2.5) и (2.14) видно, что En = Vnn = 0, т. е. в первом порядке ТВсдвиг уровней не наблюдается (линейный эффект Штарка отсутствуетиз-за нечетности оператора V̂ ), поэтому необходимо искать поправкувторого порядка. Подставляя (2.12) и (2.14) в (2.6), получаемEn(2) =X0|Vnm |2=(0)(0)E−Enmm2 2 2 X√√e E x0(n − m)−1 [ n δm,n−1 + n + 1 δm,n+1 ]2 ==2}ωm6=npe2 E 2 x20 X2=(n − m)−1 [nδm,n−1+ n(n + 1) δm,n−1 δm,n+1 +2}ωm6=n2+ (n + 1)δm,n+1].(2.15)δ-символы в (2.15) снимают суммирование по m; при этом в первой сумме остается слагаемое с m = n − 1, в третьей — слагаемое с m = n + 1;вторая сумма целиком обращается в нуль, поскольку m не может одновременно принимать значения n − 1 и n + 1.

Таким образом, независимоот ne2 E 2(2)En = −,2µω 2т. е. эффект Штарка будет квадратичным, а уровни окажутся одинаково сдвинутыми вниз. Теория возмущений позволила вычислить коэффициент перед E 2 , связанный с поляризуемостью α0 :1∆E = En(2) = − α0 E 2 .2(2.16)e2В случае линейного гармонического осциллятора α0 =.µω 2Аналогичным образом можно вычислить и поправку первого порядка к волновым функциям:Ψ(1)n =X0mVmn(0)En−(0)Em=21=−√√eEx0 X√(n − m)−1 [ n δm,n−1 + n + 1 δm,n+1 ] =}ω 2 m6=n=√eEx0 √(0)√ [ n + 1 Ψ(0)−n Ψn−1 ].n+1}ω 2Итак, в первом неисчезающем порядке теории возмущений1e2 E 2En(TB) = }ω n +−;22µω 2√eEx0 √(0)(0)(0)√Ψ(TB)(x)=Ψ+[n+1Ψ(x)−n Ψn−1 (x)].nnn+1}ω 2(2.17)(2.18)Для применимости ТВ поле E должно быть достаточно слабым.

Из(2.9) и (2.14) следует, что}ω.Eex0Данная задача имеет и точное решение. Предлагаем читателю самостоятельно сопоставить приближенное решение (2.17), (2.18) с точным 1 .(0)Пусть теперь невозмущенное значение энергии Enкратностью gn , т. е.(0)(0)Ĥ0 Ψnk = En(0) Ψnk ,вырождено сгде k = 1, . . . , gn , а оператор возмущения в энергетическом представлении диагонален по k, т. е.hn0 k 0 | V |nki = Bk,n0 n δk0 k(2.19)Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающийкратность вырождения в невозмущенной задаче, после наложения возмущения по-прежнему остается интегралом движения. В данном случае при k 6= k 0 , n = n0 числители спектральных сумм в (2.6) вместесо знаменателями обращаются в 0, т. е.

появляется неопределенность0. Если такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении0условия (2.19) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущенийдля невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как параметр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каждого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений дляневырожденных уровней.1Разложить точную волновую функцию (2.13) в ряд Тейлора по степенямdHn (ξ)E. При дифференцировании полиномов Эрмита использовать свойство=dξ= 2nHn−1 (ξ).22Пример 2.3. Эффект Штарка для пространственного ротатора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ сдвиги энергийи изменение волновых функций стационарных состояний пространственного ротатора в однородном электрическом поле с напряженностью E. Момент инерции ротатора I, его электрический дипольныймомент d. Указать условие применимости ТВ.Решение.

Оператор возмущения представляет собой энергию дипольной системы в однородном электрическом полеV̂ = −d E.Направим ось Oz сферической системы координат вдоль вектора E.ТогдаV̂ = −d E cos θ.(2.20)Энергии стационарных состояний и соответствующие им волновыефункции в отсутствие возмущения известны (см. ч. 2, пример 1.2):}2=l(l + 1),2I(0)Ψlm (θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ),(0)Ell = 0, 1, . . .

;(2.21)m = 0, ±1, . . . , ±l.(2.22)(0)Энергетический уровень El вырожден по магнитному квантовомучислу m с кратностью gl = 2l + 1. Это объясняется наличием двухинтегралов движения (помимо полной энергии и четности): L2 и Lz .Вычислим матричный элемент оператора (2.20) в энергетическом представлении на базисных функциях (2.22) невозмущенного ротатора, используя результат, полученный в ч. 2 (пример 3.9):hl0 m0 | V |lmi = −d E hl0 m0 | cos θ |lmi =(s(l − m + 1)(l + m + 1)= −d E δm0 mδl0 ,l+1 +(2l + 1)(2l + 3)s)(l − m)(l + m)+δl0 ,l−1 .(2l − 1)(2l + 1)(2.23)Данный матричный элемент по структуре сходен с (2.19). Он диагонален по магнитному квантовому числу m, которое связано с величинойLz .

Возмущение (2.20) не действует на переменную ϕ и Lz будет интегралом движения даже при включенном возмущении. Поэтому, зафиксировав m, можно пользоваться теорией возмущений для невырожден(0)ных уровней, несмотря на вырождение El по m.23Поправка первого порядка к энергии, как следует из (2.5), (2.23),равна нулю. Это обусловлено нечетностью оператора (2.20). Поправкувторого порядка к энергии найдем по формулам (2.6), (2.21) и (2.23),сохраняя под знаком суммы лишь слагаемые с m0 = m:2Id2 E 2 X==[l(l + 1) − l0 (l0 + 1)]−1 ×2(0)(0)}E l − E l0l0 6=ll0 6=ls((l + 1)2 − m2 2(l2 − m2 )[(l + 1)2 − m2 ]×δ0+ 2δl0 ,l+1 δl0 ,l−1+(2l + 1)(2l + 3) l ,l+1(2l − 1)(2l + 1)2 (2l + 3))( l(l+1)−3m2222 2при l > 0;l −m 2IE dl(l+1)(2l−1)(2l+1)+ 2δl0 ,l−1 =(2.24)14l − 1}2−при l = m = 0.(2)ElmX | hl0 m| V |lmi |23(2)Поправка Elm , как можно видеть из (2.24), будет зависеть не толькоот l, но и от m как от параметра (точнее — от m2 ).

Это обусловленотем, что возмущение (2.20) нарушает сферическую симметрию задачии L2 перестает быть интегралом движения. Вместе с тем осевая симметрия сохраняется; Lz остается по-прежнему интегралом движения и(2)поэтому Elm не зависит от знака m. Таким образом, вырождение невозмущенных уровней пространственного ротатора по магнитному квантовому числу под действием возмущения (2.20) частично снимается.Возмущенные уровни также будут вырождены, но с меньшей кратно(2)стью 2 − δ0m .

Поправка Elm ∼ E 2 , т. е. эффект Штарка квадратичен.Для применимости теории возмущений поле E должно быть слабым, аименно}2.EIdПредлагаем самостоятельно найти поправку первого порядка к волновой функции, а также поляризуемость стационарных состояний ротатора.Пример 2.4. Вычислить в первом порядке теории возмущений релятивистскую поправку к энергиям стационарных состояний водородоподобного иона с зарядом ядра Z. Массу ядра считать большой посравнению с массой электрона µe .Решение. Данная поправка обусловлена релятивистской взаимосвязьюмежду классическими энергией и импульсом электрона. Получим вначале оператор возмущения в координатном представлении.

Будем исходить из релятивистского выражения для классической функции Гамильтона:pZe2Hrel (p, r) = p2 c2 + µ2e c4 − µe c2 −.(2.25)r24Разложим корень в (2.25) при малых импульсах (p µe c) в ряд Тейлора с точностью до членов порядка p4 :s( 2 2 )22pp1 p1pp2 c2 + µ2e c4 = µe c2 1 + 2 2 ' µe c2 1 +−.µe c2 µ2e c28 µ2e c2(2.26)Подставляя (2.26) в (2.25) и переходя от классических величин к ихоператорам, мы получим гамильтониан электрона в кулоновском полес учетом релятивистских эффектов:Ĥrelp̂2Ze21 (p̂2 )2=−−= Ĥ0 + V̂ ,2µer8 µ3e c2гдеp̂2Ze2Ĥ0 =−2µer(2.27)(2.28)— нерелятивистский гамильтониан электрона в кулоновском поле;(p̂2 )21V̂ = − 3 2 = −8µe c2µe c2Ze2Ĥ0 +r2(2.29)— релятивистская компонента взаимодействия, которая по причине малости (предполагается p µe c) и будет рассматриваться в качествевозмущения.Решение невозмущенной задачи с гамильтонианом (2.28) в дискретном спектре известно:Ĥ0 |nlmi = En(0) |nlmi ,En(0) = −Z2Ea ,2n2(2.30)где |nlmi — волновая функция стационарного состояния, характеризующегося главным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми чис(0)лами.

Каждое значение En вырождено по l и m с кратностью n2 . Оператор (2.29) не нарушает сферической симметрии задачи, поэтому L2и Lz остаются интегралами движения, а значит, можно пользоватьсятеорией возмущений для невырожденных уровней.(0)Вычислим поправку первого порядка к уровню En :(1)Enl = hnlm| V |nlmi = −=−1hnlm| (Ĥ0 + Ze2 /r)2 |nlmi =22µe c1hnlm| Ĥ02 + Ze2 Ĥ0 r−1 + Ze2 r−1 Ĥ0 + Z 2 e4 r−2 |nlmi .22µe c25(2.31)При упрощении (2.31) воспользуемся (2.30), свойством нормированности функций |nlmi, а также эрмитовостью гамильтониана Ĥ0 , следствием которой будет равенствоhnlm| Ĥ0 = hnlm| En(0) ,(0)где En — то же, что и в (2.30).

После упрощения получаем:(1)Enl = −1[En(0)2 + 2Ze2 En(0) hnlm| r−1 |nlmi +22µe c+ Z 2 e4 hnlm| r−2 |nlmi].(2.32)Первый матричный элемент в (2.32) может быть вычислен по теореZме о вириале (ч. 2, задача 23): hnlm| r −1 |nlmi = 2 2 Ea . Второй —n eс использованием явного вида радиальных водородных функций (см.Ea22Z 2−2Приложение). Приведем результат: hnlm| r |nlmi = 3.Вn (2l + 1) e4конечном итоге получаем следующее выражение для поправки к энергии:431(1)2 Z−.(2.33)Enl = αe 3 Ea2n4n l + 21Условием применимости теории возмущений будет (αe Z)2 1.Как видно из (2.33), релятивистские поправки полностью снимаюткулоновское вырождение уровней — проявляется их «тонкая структура».

Вырождение по магнитному квантовому числу остается.Замечание. Мы не учитывали спин-орбитальное взаимодействие,порядок величины которого такой же, как и у (2.33). По этой и некоторым другим причинам точное релятивистское решение задачи приZ α−1не переходит в (2.33), и наш расчет носит лишь оценочныйeхарактер.Задачи для самостоятельного решения11. Для частицы с массой µ, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины a, найти в первом порядке теориивозмущений смещение энергетических уровней под действием возмущения вида (всюду 0 6 x 6 a):V0а) V (x) =(a − |2x − a|);(aV0 , b 6 x 6 a − b;б) V (x) =0,0 < x < b,a − b < x < a.26Указать условие применимости теории возмущений.(Ответ:11 + (−1)n(1)а) En = V0+ 2;22 π (n + 1)a2π(n+1)V0a − 2b +sinb ;б) En(1) =aπ(n + 1)aπ 2 }2|V0 | (n + 1);n = 0, 1, .