QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике)

Федеральное агентство по образованиюИ.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. ЧураковаЗадачи по квантовой механикеУчебное пособие для вузовЧасть 33-е изданиеВоронеж 2008Утверждено научно-методическим советом физического факультета30 августа 2008 г., протокол № 8Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физикифизического факультета Воронежского государственного университета.Рекомендуется для студентов 4 курса д/о и в/о.Для специальностей: 010701 — Физика, 010801 — Радиофизика и электроника, 010803 — Микроэлектроника и полупроводниковые приборы2ОглавлениеВведение4Глава 1.

Квазиклассическое приближение1.1. Волновая функция в квазиклассическом приближении .1.2. Правило квантования Бора – Зоммерфельда . . . . . . .1.3. Квазиклассическое прохождение через потенциальныйбарьер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2. Стационарная теория возмущений2.1. Теория возмущений для случая отсутствия вырождения2.2. Теория возмущений для близких уровней и при наличиивырождения . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .55812171728Глава 3. Применение вариационного метода к приближенным расчетам35Глава 4. Нестационарная теория возмущений (теория квантовых переходов)414.1. Возмущение, действующее в течение конечного промежутка времени . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Периодическое возмущение и спонтанное электромагнитное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Глава 5. Теория рассеяния в борновском приближении47Глава 6. Нерелятивистская теория спина электрона52Глава 7. Теория атома гелия7.1. Теория основного состояния атома гелия . . . . . . . . .7.2. Теория возбужденного состояния атома гелия . . .

. . .626469Приложение733ВведениеНастоящее учебное пособие предназначается для практических занятий и самостоятельной работы по курсу «Квантовая теория» длястудентов всех специальностей физического факультета.Учебное пособие содержит семь глав, охватывающих следующиевопросы курса: квазиклассическое приближение (гл. 1), стационарнаятеория возмущений (гл. 2), вариационный метод Ритца (гл. 3), теорияквантовых переходов (гл. 4), теория упругого рассеяния в борновскомприближении (гл.

5), нерелятивистская теория спина электрона (гл. 6)и теория атома гелия (гл. 7).Настоящее учебное пособие завершает цикл изучения курса. Оносодержит описание приближенных методов решения задач квантовоймеханики, а также знакомит читателя с теоретическим исследованиемспиновых свойств электрона.Все главы и разделы содержат, как правило, краткое изложение теоретического материала, а также большое количество наиболее важныхзадач с подробным решением. Часть задач предложена для самостоятельного решения.

Наиболее трудные (дополнительные) задачи отмечены звездочками.Нестандартный справочный математический материал вынесен в«Математическое приложение». Поэтому использование дополнительной математической литературы при изучении данного пособия непредполагается.Приведем значения (в единицах СИ) некоторых фундаментальных ипроизводных констант, использованных в настоящем учебном пособии:постоянная Планка } = 1,055 · 10−34 Дж·с;масса электрона µe = 9,11 · 10−31 кг;заряд электрона e = −1,60 · 10−19 Кл;скорость света в вакууме c = 3, 00 · 108 м/с;боровский радиус a0 = }2 /(µe2 ) = 0,529 · 10−10 м;атомная единица энергии Ea = e2 /a0 = 4,35 · 10−19 Дж;постоянная тонкой структуры αe = e2 /(}c) = 1/137,04.4Глава 1.Квазиклассическое приближение1.1.Волновая функция в квазиклассическом приближенииАналитическое решение стационарного уравнения Шредингера существует лишь для весьма ограниченного круга потенциалов (осцилляторный, кулоновский и некоторые другие).

В большинстве же случаевтребуется численное интегрирование соответствующего дифференциального уравнения. Однако для сильно возбужденных состояний частицы, находящейся в потенциальной яме, когда волновая функциябыстро осциллирует (вспомним вид волновых функций осциллятораи атома водорода с большими квантовыми числами; фактически обэтом же говорится и в осцилляционной теореме), решение уравненияШредингера все же может быть получено с достаточной точностью ваналитической форме, если использовать некоторые дополнительныепредположения. Для достаточно высоких и широких потенциальныхбарьеров произвольной формы величина коэффициента прохождениятакже может быть найдена аналитически.Прежде всего заметим, что сильно возбужденные системы по своимсвойствам являются почти классическими, или квазиклассическими,поскольку в этом случае классическое действие по порядку величинызначительно превосходит постоянную Планка }. Тем не менее, предельный переход } → 0 в самом уравнении Шредингера смысла не имеет.

Он осуществляется с помощью так называемого квазиклассическогоприближения, или метода Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна (ВКБ).Суть метода состоит в представлении волновой функции в виде iSΨ = exp}и разложении действия S в ряд по степеням малого параметра }/i (i написано для удобства). В дальнейшем для простоты ограничимся рассмотрением одномерной задачи, т.к. для нее данный метод разработаннаиболее полно.Волновая функция частицы с заданной энергией E в поле U (x) с5точностью до членов порядка }/i будет иметь видRxRx0000iiC1C2Ψ(x) = pe } p(x ) dx + pe− } p(x ) dx ,p(x)p(x)Ψ(x) = pгдеC10|p(x)|e1}Rx|p(x0 )| dx0+pp(x) =pC20|p(x)|1e− }Rx|p(x0 )| dx0E > U (x);(1.1),E < U (x),2µ[E − U (x)](1.2)(1.3)— классический импульс 1 частицы; µ — масса частицы; C1 , C2 , C10 ,C20 — подлежащие определению произвольные константы.

Из-за специфической структуры функции (1.1) данный метод иногда называютметодом фазовых интегралов. Главное его преимущество состоит в том,что для нахождения волновых функций не требуется численного интегрирования уравнения Шредингера, дающего основную погрешность врезультаты расчетов. При этом функции могут быть получены аналитически для достаточно широкого класса потенциалов.Условием применимости данного метода является dk dp1илиλ 1,(1.4)p2 } ,dxk dxгде p = p(x), k = k(x) = p(x)/}, λ = 2π/k — де-бройлевская длинаволны, т. е.

относительное изменение волнового числа на протяженииде-бройлевской длины волны должно быть мало по сравнению с единицей.Условиям (1.4) можно придать и другую эквивалентную формулировку: dλ 1.(1.5) dx Производную dλ/dx можно оценить по порядку величины как λ/d, гдеd — характерный размер области движения, поэтому неравенство (1.5)сводится к условию λ d.Пример 1.1. Какому условию должна удовлетворять потенциальнаяэнергия U (x) для применимости квазиклассического приближения?Решение. Подставляя (1.3) в (1.4) и опуская несущественные для (1.4)безразмерные множители порядка единицы, получаем:3 dU |p| ,(1.6) dx µ}1Это функция координат, и ее нельзя путать с оператором импульса.6откуда следует, что ВКБ-приближение применимо в случае движения с достаточно большими импульсами, причем классическая силаF = |dU/dx|, действующая на частицу, должна быть не очень большой.Другими словами, потенциальная энергия должна изменяться достаточно мало на протяжении де-бройлевской длины волны.Из условия применимости квазиклассического приближения (1.4)следует, что экспоненты, фигурирующие в (1.1), (1.2), являются быстро меняющимися функциями координат, в то время как предэкспоненциальные множители изменяются медленно.

Поэтому при дифференцировании функции Ψ(x) предэкспоненциальные множители можнорассматривать как константы.Характер полученной волновойфункции существенно зависит от знака разности E − U (x). В так называемой классически доступной области,где E > U (x), импульс является вещественным. При этом волновая функция осциллирует.

Совершенно инаяситуация наблюдается в классическинедоступной области, где E < U (x).Здесь импульс становится мнимым, аРис. 1.1.волновая функция имеет вид суперпозиции двух экспонент. На рис. 1.1 (частица с энергией E находится впотенциальной яме) область II (a < x < b) является классически доступной, а области I и III (x < a, x > b) — классически недоступными.Границы классически доступной области называются классическими точками поворота. Их координаты определяются из уравненияU (x) = E.(1.7)Точка поворота называется левой (правой), если классически доступнаяобласть находится справа (слева) от нее.

На рис. 1.1 точка a являетсялевой, а точка b — правой классическими точками поворота.Практическое использование квазиклассических волновых функцийвозможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующего решения (1.1) с экспоненциальным (1.2) при переходе через точки поворота, т. е. связь между константами C1 , C2 , C10 , C20 .

Однако для непрерывного в точке поворота потенциала обычная процедура сшивания функций, заключающаяся в приравнивании их логарифмических производных в соседних областях, является незаконной, поскольку в окрестности этой точки условия применимости квазиклассического приближения (1.4)–(1.6) не выполняются (p = 0). В этом случае используют такназываемые формулы сопряжения.7Для частицы с энергией E, находящейся в потенциальной яме (дискретный спектр), волновая функция должна убывать при x → ∓∞(рис. 1.1, соответственно области I, III). При этом связь экспоненциально убывающего решения в классически недоступной области с решением в классически разрешенной области движения определяетсяследующей формулой сопряжения: Z x Z xC1 2C1πpexp − |p(x0 )| dx0 → pcosp(x0 ) dx0 −.} a} a4|p(x)|p(x)U (x) > EU (x) < E(1.8)Формула сопряжения (1.8) записана в виде, не зависящем от того, скакой стороны от точки поворота (точка a) лежит классически недоступная область движения.