QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 5

. .)µa2(1)12. Показать, что поправка первого порядка En к энергетическимуровням частицы из предыдущей задачи для произвольного возмущения V (x) при достаточно больших значениях n не зависит от n.13. Для частицы с массой µ, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины a, найти в первых двух порядкахтеории возмущений смещение энергетических уровней под действиемвозмущения вида V (x) = V0 δ(x − a/2). Указать условие применимостиТВ.2V02µV 2(Ответ: для четных n En(1) =, En(2) = − 2 2 0 2 ;aπ } (n + 1)2}(1)(2)для нечетных n En = En = 0; |V0 | 2 (n + 1); n = 0, 1, . .

.)π µa14. Плоский ротатор с моментом инерции I и электрическим дипольным моментом d помещен в однородное электрическое поле E, лежащее в плоскости вращения. Рассматривая взаимодействие с полем каквозмущение, найти в первом неисчезающем порядке сдвиг энергии основного состояния. Определить поляризуемость основного состоянияротатора.(Ответ: α0 = 2Id2 /}2 . Указание: см. задачу 18 ч. 2.)15. Вычислить в первом порядке теории возмущений сдвиг энергииосновного состояния водородоподобного иона, обусловленный неточечностью ядра.

Ядро считать шаром радиуса R, по объему которого равномерно распределен заряд Ze. Масса электрона µe . Указать условиеприменимости ТВ.2 22 Z2Re(1)(Ответ: E1s =; R a0 .)5a0a016∗ . В условиях предыдущей задачи вычислить квантовые дефекты(см. задачу 24∗ части 2) состояний с большими главными квантовымичислами.27(Указание: приl) волноваяфункция имеет вид!r n max(1,r1 2Z 28ZrΨnlm (r) ≈JYlm (θ, ϕ).)2l+1a 0 n3 ra017.

Стационарное состояние частицы с массой µ и зарядом e в центральном поле описывается невозмущенной волновой функцией(0)Ψnlm (r) = Rnl (r)Ylm (θ, ϕ).В первом порядке теории возмущений определить расщепление энергетических уровней под действием постоянного магнитного поля B.e}Be}B(0)(Ответ: Enlm = Enl −m; ∆E =;ось Oz направлена2µc2µcвдоль B.)2.2.Теория возмущений для близких уровней и приналичии вырожденияЕсли в дискретном спектре имеются уровни, которые для заданного оператора V̂ не удовлетворяют условию (2.9), то знаменатели всуммах (2.7) и (2.8) становятся большими и необходимое условие сходимости рядов ТВ нарушается.

Примером может служить f -кратновырожденный уровень, при наличии которого соответствующие знаменатели в (2.7) и (2.8) обращаются в нуль. Чтобы избежать возникающихтрудностей, волновая функция уже в нулевом приближении ищется ввиде линейной комбинации невозмущенных волновых функций, соответствующих данному вырожденному состоянию (или системе близкихуровней):fX(0)Ψ =cm Ψ(0)(2.34)m ,m=1где f — кратность вырождения (число близких уровней); эти уровни(0)нумеруются индексом m; Ψm — волновые функции, соответствующие(0)невозмущенным уровням Em и удовлетворяющие уравнению Шредингера(0) (0)Ĥ0 Ψ(0)(2.35)m = E m Ψm .(0)(0)(0)Если Ψm соответствует вырожденному уровню, то E1 = . . .

= Em =(0)E (0) . В этом случае функции Ψm будем считать по-прежнему ортонормированными (их всегда можно ортогонализовать):Z(0)∗Ψk (ξ)Ψ(0)(2.36)m (ξ) dξ = δkm .28Коэффициенты разложения в (2.34) неизвестны и подлежат определению.Для решения уравнения Шредингера(Ĥ0 + V̂ )Ψ(0) = EΨ(0)подставляем вместо Ψ(0) разложение (2.34), затем домножаем получив(0)∗шееся уравнение на Ψk и интегрируем по всему конфигурационномупространству. Тогда с учетом (2.35) и (2.36) имеем:fXm=1(0)[(Em− E)δkm + Vkm ]cm = 0;k = 1, 2, .

. . , f,(2.37)R (0)∗(0)∗где Vkm = Ψk (ξ)V̂ Ψm (ξ) dξ. Полученные уравнения представляют собой систему f линейных однородных алгебраических уравненийс f неизвестными — коэффициентами cm . Легко видеть, что упорядоченный набор cm является волновой функцией, а (2.37) — уравнениемШредингера в энергетическом представлении по базису невозмущенных волновых функций близких уровней. Условие нетривиальной разрешимости (2.37), т. е. когда cm 6= 0 одновременно, — равенство нулюдетерминанта(0)det k(Em− E)δkm + Vkm k = 0.(2.38)Это характеристическое уравнение матрицы (Ĥ (0) + V̂ )km , называемоесекулярным, определяет энергию в первом порядке по возмущению.Левая часть (2.38) — многочлен степени f относительно E. В общемслучае уравнение (2.38) имеет f корней (среди которых могут быть икратные).Если в невозмущенной задаче уровень E (0) f -кратно вырожден, ауравнение (2.38) имеет f различных корней, то говорят, что возмущениеV̂ полностью снимает вырождение.

Если среди корней (2.38) встречаются кратные, то вырождение снимается частично. Характер снятиявырождения определяется симметрией оператора V̂ .Для каждого корня (2.38) существует нетривиальное решение системы (2.37) — набор коэффициентов cm .

Если их нормировать условиемfXm=1|cm |2 = 1(2.39)и подставить в (2.34), то для значения E мы получим так называемыеправильные функции нулевого приближения.Пример 2.5. Определить изменение двух близких уровней энергииE1 и E2 = E1 + ∆ (∆ > 0) под действием возмущения V̂ , матричные29элементы которого по базису невозмущенных состояний известны.Найти правильные волновые функции нулевого приближения.Решение. Пусть невозмущенному уровню соответствует волновая функция Ψ1 , а E2 — Ψ2 . Будем искать решение уравнения Шредингера приналичии возмущения в виде(2.40)Ψ = c 1 Ψ1 + c 2 Ψ2 .В энергетическом представлении уравнение Шредингера примет вид((E1 − E + V11 )c1 + V12 c2 = 0,(2.41)V21 c1 + (E2 − E + V22 )c2 = 0.(см. (2.37), а также задачу 21 ч.

2). Решение соответствующего секулярного уравненияE − E + VV 11112=0V21E2 − E + V22 дает 2 корня:E1 + V11 + E2 + V22E± =±2sE2 + V22 − E1 − V1122+ |V12 |2 . (2.42)(Легко видеть, что при V̂ → 0 E+ → E2 , E− → E1 .)При таких значениях E уравнения системы (2.41) становятся линейно независимыми и коэффициенты c1,2 можно найти, решая, например,только первое уравнение. Подставляя (2.42) в (2.41), имеем:c1± =где2V12c2± ,∆ + V22 − V11 ± δδ = E + − E− =p(∆ + V22 − V11 )2 + 4|V12 |2 .(2.43)Вследствие однородности система (2.41) имеет бесконечное число решений. Нормируем их, исходя из (2.39), условием|c1± |2 + |c2± |2 = 1.Из (2.43) получаем:4|V12 |2+ 1 |c2± |2 = 1.2[δ ± (∆ + V22 − V11 )]30Учитывая, что4|V12 |2 + [δ ± (∆ + V22 − V11 )]2 = 4|V12 |2 + δ 2 ± 2δ(∆ + V22 − V11 )++ (∆ + V22 − V12 )2 = 4|V12 |2 + (∆ + V22 − V12 )2 +|{z}δ2+ δ 2 ± 2δ(∆ + V22 − V11 ) = 2δ[δ ± (∆ + V22 − V11 )],имеем:c2±δ ± (∆ + V22 − V11 )=2δ 1/2.Коэффициент c1± вычисляется из (2.43).Проанализируем полученные результаты при различных предельных соотношениях между диагональными и недиагональными матричными элементами оператора V̂ .

Рассмотрим следующие случаи.а) Большие диагональные матричные элементы:|V11 |, |V22 | |V12 |;|V12 | |∆ + V22 − V11 | ≡ ∆12 .(2.44)Раскладывая корни в (2.42) и в выражении для δ по степеням V12 /∆12(проделать самостоятельно!), получаем предельные выражения дляэнергий стационарных состояний при наличии вырождения и правильные функции нулевого приближения:E+ ≈ E2 + V22 ;E− ≈ E1 + V11 ;V12Ψ1 .Ψ− ≈ −|V12 |Ψ+ ≈ Ψ 2 ;Функции Ψ− и Ψ1 отличаются фазовым множителем и поэтому физически эквивалентны.

В состоянии с энергией E+ доминирует Ψ2 , а сэнергией E− — Ψ1 . Такие же результаты дает и теория возмущений дляневырожденных уровней в первом порядке. Действительно, (2.44) является частным случаем условия применимости ТВ для невырожденныхуровней (2.9).б) Большие недиагональные матричные элементы:|V12 | |V11 |, |V22 |;|V12 | ∆12 .Раскладывая корни по степеням ∆12 /V12 , получаем:11V12E± = (E1 + E2 ) ± |V12 |;Ψ± = √Ψ2 ±Ψ1 .2|V12 |2Можно видеть, что δ > ∆, т.

е. сильно недиагональное возмущение приводит к «раздвиганию» близких уровней. |c1± |2 = |c2± |2 = 12 , поэтому31«невозмущенные» состояния вносят одинаковый вклад в формирование«возмущенных» уровней.Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, чтотеорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в томслучае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элементы доминируют над диагональными и по величине существенно превышают межуровневые расстояния.Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода.

Определитьрасщепление первого возбужденного энергетического уровня водородоподобного иона в однородном электрическом поле напряженности E.Заряд ядра Z, масса электрона µe .Решение.1 способ.Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом nвырожден с кратностью n2 . Поэтому первому возбужденному уровню(n = 2) соответствуют 4 состояния:Ψ200 (r) = R20 (r)Y0 0 (θ, ϕ) ≡ Ψ1 (r);Ψ210 (r) = R21 (r)Y1 0 (θ, ϕ) ≡ Ψ2 (r);Ψ211 (r) = R21 (r)Y1 1 (θ, ϕ) ≡ Ψ3 (r);Ψ21−1 (r) = R21 (r)Y1 −1 (θ, ϕ) ≡ Ψ4 (r).(2.45)Первое является 2s-состоянием, остальные — 2p.Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическимполем будем рассматривать в качестве возмущения:V̂ = −eEz(2.46)(ось Oz направлена вдоль E; предполагается e < 0).Пользуясь результатами примера 3.10 ч.

2, вычисляем матричныеэлементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярноеуравнение: (0) E − E −3a eE/Z000 2(0)−3a0 eE/Z E2 − E00 = 0,(2.47)(0)00E2 − E0(0)000E2 − E 1= − Z 2 Ea — энергия первого возбужденного состояния в от8сутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем уравнение 4-го порядка относительно E:(0)где E232(0)(0)(E2 − E)2 [(E2 − E)2 − 9a20 e2 E 2 ] = 0.(0)(0)Его решения E1,2 = E2 ± 3a0 eE/Z; E3,4 = E2 . Таким образом, вырождение снимается частично.2 способ.В водородоподобном ионе вырождение по магнитному квантовомучислу m обусловлено тем, что L2 и Lz являются интегралами движения, «случайное» вырождение по орбитальному квантовому числу lобъясняется спецификой кулоновского потенциала.При наложении возмущения (2.46) L2 перестает быть интеграломдвижения, а величина Lz по-прежнему сохраняется по причине осевойсимметрии V̂ .

Поэтому секулярное уравнение можно упростить, сделавего зависящим от m как от параметра.При заданных m и n орбитальное квантовое число l принимаетзначения |m|, |m| + 1, . . . , n − 1. В нашем случае n = 2, т. е. l == |m|, |m| + 1, . . . 1.Рассмотрим случай m = ±1. Единственным допустимым значениемквантового числа l является 1, т. е. имеется всего один p-подуровень сm = ±1, и можно пользоваться теорией возмущений для невырожденных состояний. Поскольку оператор (2.46) нечетный, поправка первогопорядка к энергии равна нулю, и подуровень, соответствующий n = 2,(0)l = 1, m = ±1, не расщепляется, т.

е. E3 = E4 = E2 , а вырождение поm остается.Рассмотрим случай m = 0. Орбитальное квантовое число может теперь принимать два значения l = 0, 1. Таким образом, при m = 0 имеются совпадающие s- и p-подуровни. В этом случае секулярное уравнение примет вид E (0) − E −3a eE/Z 20(2.48) = 0,(0)−3a0 eE/Z E − E 2(0)корни которого E1,2 = E2 ± 3a0 eE/Z.По своей структуре уравнение (2.48) проще (2.47).Таким образом, кулоновский уровень первого возбужденного состояния в слабом однородном электрическом поле расщепляется на 3 компоненты:одна компонента, соответствующая 2p-состоянию с m = ±1, не смещается (остается 2-кратное вырождение по m);две другие компоненты, соответствующие 2s- и 2p-состоянию сm = 0, смещаются на ±3a0 eE/Z. Величина расщепления δ = 6a0 |e|E/Zпропорциональна E, т. е. эффект Штарка линеен.33Расщепление можно объяснить нарушением центральной симметрии и отличием потенциала от чисто кулоновского.Если на близких уровнях все Vkm = hk| V |mi = 0, то в секулярномуравнении (2.37) Vkm необходимо заменить на(2)Vkm =X hk| V |ji hj| V |ki(0)j(0)Em − E j,(2.49)где в сумме по j отсутствуют состояния, принадлежащие системе fблизких уровней.