QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 3

Найти в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения частицы с массой µ через параболический барьер U 1 − x22 , |x| 6 a,0aU (x) =0,|x| > a.πa(Ответ: D = D0 exp − (U0 − E)}r2µ.)U07. Найти в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения частицы с массой µ через потенциальный барьер(F (a − |x|), |x| 6 a, F > 0,U (x) =0,|x| > a.(F и a — параметры). √8 2µ3/2(Ответ: D = D0 exp −(F a − E).)3}F8. Холодное вырывание электронов с поверхности металла электростатическим полем можно интерпретировать следующим образом.

В14Рис. 1.5.отсутствии поля электроны находятся в потенциале, имеющем «ступеньку» на поверхности металла (рис. 1.5а). Они по понятным причинам не могут уйти с поверхности проводника. Однако при наложениивнешнего электростатического поля напряженности E потенциальнаяэнергия вне проводника приобретает «скос».

Если поле направлено понормали к поверхности проводника, то образуется потенциальный барьер (рис. 1.5б ):(U (x) =0,x < 0,U0 − eEx,x > 0,где U0 — высота «ступеньки», e — заряд электрона. Электрон, имеяработу выхода eϕ0 , туннелирует через этот барьер. Найти в квазиклассическом приближении вероятность вырывания электрона.

Записатьусловие применимостиприближения.( квазиклассического)pp4 2µeϕ30µeϕ30(Ответ: D = D0 exp −;E.)3 }E}9. При α-распаде, согласно теории Гамова, α-частица туннелирует через потенциальный барьер(−U0 ,r < R, U0 > 0,U (r) =2e2 Z/r, r > R,где U0 и R — глубина и радиус потенциальной ямы, Ze — заряд дочернего ядра. Этот барьер образован силами ядерного притяжения при r < Rи кулоновского отталкивания при r > R.

В квазиклассическом приближении найти вероятность вылета α-частицы в s-состоянии с энергиейE > 0 из ядра. Записать условие применимости квазиклассическогоприближения.15(Ответ:(D = D0 exp −Ze}2r )2µERERarctg Φ +1−Φ ,2E2ZeZe2r2Ze2где Φ =− 1, µ — масса α-частицы;ER 2 2 4 1/32Ze2} Z e− E .)R4 µR10. Найти в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения частицы массы µ через потенциальный барьерU (x) =U0,ch2 xaU0 > 0(U0 и a —параметры). Сравнить квазиклассический результат с точным.( p!)r28µa EU0(Ответ: D = D0 exp −−1.)}E16Глава 2.Стационарная теория возмущений2.1.Теория возмущений для случая отсутствия вырожденияТочное аналитическое решение уравнения Шредингера, определяющего энергию стационарных состояний системы, возможно только длянекоторых простейших потенциальных полей, соответствующих идеализированным системам (например, прямоугольная бесконечно глубокая потенциальная яма, линейный гармонический осциллятор, атомводорода).

При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственныхзначений и собственных функций гамильтониана. В предыдущей главе был рассмотрен один из таких методов, не требующий численногоинтегрирования уравнения Шредингера, — квазиклассическое приближение, которое применяется для сильно возбужденных систем. Другойаналитический метод, называемый теорией возмущений (ТВ), развитдля случая, когда гамильтониан с неизвестным решением может бытьпредставлен в видеĤ = Ĥ0 + V̂ ,(2.1)где Ĥ0 — гамильтониан идеализированной задачи, допускающей точноеаналитическое решение, а V̂ — некоторая малая добавка, называемаяоператором возмущения, или просто возмущением.

Оператором возмущения может быть либо часть гамильтониана, которая не учитываласьв идеализированной задаче, либо потенциальная энергия внешнего воздействия (поля). Задачей теории возмущений является отыскание формул, определяющих энергию и волновые функции стационарных состо(0)(0)яний через известные значения энергий En и волновые функции Ψn«невозмущенной» системы с гамильтонианом Ĥ0 .Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсутствует вырождение, т.

е.(0) (0)Ĥ0 Ψ(0)(2.2)n = E n Ψn .Если V̂ содержит малый параметр, то спектр En и собственные функ(0)(0)ции Ψn оператора Ĥ мало отличаются от En и Ψn . В этом случае17решения возмущенного уравнения Шредингера(2.3)ĤΨ = EΨищутся в виде разложения в ряд:En =En(0)+En(1)+En(2)+ ... =(1)(2)Ψn = Ψ(0)n + Ψn + Ψn + . . . =∞Xk=0∞XEn(k) ;(2.4)Ψ(k)n ,k=0(k)(k)где Ψn , En — величины k-го порядка малости по возмущению V̂ ,называемые k-ми поправками ТВ, или поправками k-го порядка. Дляих нахождения используется энергетическое представление по базисуневозмущенной задачи.

Первые слагаемые рядов (2.4) определяютсяследующими формулами:En(1) = Vnn ;X0(2)En =m(2.5)|Vnm |2(0)En,(0)− EmΨ(1)n=X0mVmn(0)En−(0)EmΨ(0)m ,(2.6)R (0)∗(0)где Vmn ≡ hm| V |ni = Ψm (ξ)V̂ Ψn (ξ) dξ — матричный элемент оператора V̂ по невозмущенным волновым функциям (т. е. оператор возмущения в энергетическом представлении; здесь и далее V̂ предполагает∗ся эрмитовым, и поэтому Vnm = Vmn), а штрих над знаком суммы ознаP0P(1)чает пропуск слагаемого с m = n:≡. Очевидно, что En равmm6=n(0)няется среднему значению «возмущения» в состоянии Ψn , а поправкавторого порядка к энергии основного состояния не может быть положительной.

Сумму в (2.6) с энергетическим знаменателем иногда называют спектральной суммой. Обратим внимание на ортогональность(0)(1)невозмущенной волновой функции Ψn и поправки Ψn .Если в уравнении (2.3) требуется найти энергию с точностью до первого порядка, поправку к волновой функции вычислять не следует, поскольку для расчета наблюдаемых величин требуется вычисление матричных элементов. При учете поправок к волновой функции в матричных элементах появляются квадратичные по возмущению члены, чтоявляется превышением точности.

Поэтому в формуле (2.5) при вычис(1)(0)(2)лении En ограничиваются Ψn , в (2.6) при нахождении En оставляют(1)Ψn и т. д.18Таким образом, в отсутствие вырождения n-го состояния энергия сучетом поправок второго порядка и волновая функция с учетом поправок первого порядка по V̂ определяются выражениями:En =En(0)+ Vnn +X0mΨn = Ψ(0)n +X0m|Vnm |2(0)Vmn(0)En(0)En − E m−(0)EmΨ(0)m .;(2.7)(2.8)В большинстве случаев формулы (2.7) и (2.8) оказываются достаточными для приближенного решения задачи. Условие их применимости сводится, очевидно, к выполнению неравенства(0)|Vnm | |En(0) − Em|.(2.9)На практике обычно поступают следующим образом.

Вначале находятпоправку первого порядка к энергии по формуле (2.5). Если она ока(1)зывается ненулевой, решение задачи завершают. Если En = 0, этоеще не означает, что поправка отсутствует вообще, а обусловлено лишь(0)определенной симметрией оператора V̂ и функций Ψn . В таком случае(2)переходят к вычислению поправки второго порядка к энергии En и(1)первого порядка к функции Ψn и т. д.

Как только очередная поправка(k)к энергии En становится ненулевой, вычисления прекращают во избежание возможной расходимости рядов (2.4). Данная процедура иногданазывается поиском поправок в первом неисчезающем порядке теориивозмущений.Пример 2.1. На осциллятор с массой µ и частотой ω наложено возмущение1V̂ = αω 2 x2 .(2.10)2В первом неисчезающем порядке теории возмущений найти энергиии волновые функции стационарных состояний осциллятора. Указатьусловия применимости ТВ.Решение.

Если гамильтониан представить в виде (2.1), то в качестве Ĥ0следует взять гамильтониан линейного гармонического осциллятора1}2 d 2+ µω 2 x2 .Ĥ0 = −22µ dx2Его собственные функции и собственные значения:1En(0) = }ω n +;219(2.11)(2.12)√ −1/22nΨ(0)π]Hn (ξ) e−ξ /2 ,n (x) = [x0 n!2(2.13)pгде x0 = }/(µω); ξ = x/x0 ; Hn (ξ) — полином Эрмита; n = 0, 1, . . .Вначале найдем поправку к энергии в первом порядке ТВ. Для этогоперейдем к энергетическому представлению оператора (2.10) по базису«невозмущенного» осциллятора (2.13) и вычислим, согласно (2.5), егодиагональные матричные элементы:111En(1) = Vnn ≡ hn| V |ni = αω 2 hn| x2 |ni = αω 2 x20 n +222(см.

ч. 2, задача 35, либо воспользоваться теоремой о вириале).(1)En 6= 0, и поэтому более высокие порядки мы не исследуем. Поправки к волновой функции в данном случае не требуются. Таким образом,α1(TB)(0)(1)En= En + En = }ω 1 +n+;2µ2Ψ(TB)(x) = Ψ(0)nn (x);n = 0, 1, . . .Согласно (2.9), условием применимости ТВ будет |α| µ. Предлагаемчитателю самостоятельно сопоставить полученное приближенное решение с точным.Сдвиг энергетических уровней заряженной частицы под действиемвнешнего электрического поля принято называть эффектом Штарка,а для внешнего магнитного поля — эффектом Зеемана.Пример 2.2. Эффект Штарка для линейного гармонического осциллятора.

Определить в первом неисчезающем порядке ТВсдвиг энергии и изменение волновой функции стационарного состояния осциллятора с частотой ω, массой µ и зарядом e, помещенного воднородное электрическое поле напряженности E, направленное вдольоси Ox. Указать условие применимости ТВ.Решение. Оператор возмущения определяется потенциальной энергиейчастицы в однородном электрическом поле:V̂ = −eEx.Энергия невозмущенного n-го стационарного состояния и соответствующая ей волновая функция даются соответственно выражениями (2.12)и (2.13). Найдем энергетическое представление оператора V̂ :20Vmn = −eE hm| x |ni = −eEx0rnδm,n−1 +2r!n+1δm,n+1 ,2(2.14)pгде x0 = }/(µω).