QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 9

Если же дополнительно потребовать выполнения условия Z > 0 (это соответствует Z1 > Z2 в (6.6) и(6.12)), тоединственным ненулевым ее решением будет X = Y = Z = 1.Таким образом, мы нашли явный вид всех матриц Паули.Приведем теперь явный вид матриц Паули в представлении с диагональной σ̂z (σz -представление):!!!0 10 −i1 0σ̂x =; σ̂y =; σ̂z =.(6.21)1 0i 00 −1Напомним еще раз о том, что матрицы Паули определены неоднозначно. Используя произвольную унитарную матрицу Û размерности2 × 2, можно из (6.21) получить другое представление матриц Паулиσ̂ 0 = Û σ̂ Û −1 , которые также удовлетворяют свойству (6.4) и являютсясамосопряженными.

Заметим, что произвольная ненулевая комплексная матрица 2 × 2 может быть однозначно разложена по «базису», состоящему из единичной матрицы и трех матриц Паули.Пример 6.3. Найти наблюдаемые значения sx,y,z и соответствующие им спиновые состояния.Решение. Воспользуемся явным видом спиновых операторов (см. (6.2),(6.21)).а) Рассмотрим sz . Запишем уравнение для собственных функций исобственных значений:ŝz χ = sz χ.В явном виде это уравнение преобразуется в систему двух линейныхалгебраических уравнений относительно! комплексных чисел a и b, изaкоторых составляется спинор χ =:b}− b = sz b,2}a = sz a;2(6.22)или в матричной форме}2− sz00− }2 − sz!ab!=00!.(6.23)Как известно из курса линейной алгебры, данная система будет иметьнетривиальное решение лишь в том случае, если выполняется равенство нулю детерминанта матрицы в (6.23) (почему нас интересуюттолько нетривиальные решения?):56}2−= 0.(6.24)4Данное условие выполняется при таких значениях sz , которые являют}ся корнями характеристического уравнения (6.24).

Их два: s(±)=±.z2Данный факт подтверждается экспериментально.Собственные спиноры, соответствующие каждому из собственныхзначений ŝz , можно найти непосредственной подстановкой в систему(6.22):}}}}}=a = a; − b = b, откуда a 6= 0 (выбираетсядля s(+)z22222произвольно), b = 0;}}}}}для s(−)=−a=−a;−b=−b, откуда b 6= 0 (выбиz22222рается произвольно), a = 0.!!10, χ− = b. Произвольные пока нормиТаким образом, χ+ = a01ровочные константы a и b находятся из условия нормировки спиноровна единицу χ† χ = 1. Окончательный ответ:!!10χ+ =,χ− =.(6.25)01s2zЭрмитовость оператора ŝz влечет ортогональность собственных функций. Проверим данное утверждение, используя явный вид спиноров(6.25):! 0χ†+ χ− = 1 0= 1 · 0 + 0 · 1 = 0.1полноты спиноров (6.25) сводится к тому, чтобы матрицаPУсловие†χp χp (ее размерность 2 × 2 — обратить внимание на место дляp=+,−знака †!) была единичной.

Для наших спиноров условие полноты выполняется:!!!101 0= I,χ+ χ†+ + χ− χ†− =1 0 +0 1 =010 1и χ± образуют базис в пространстве 2-компонентных спиноров.Таким образом, задача формально сводится к диагонализации соответствующей матрицы Паули.57б) Рассмотрим теперь оператор ŝy . Для него несколько изменим ходрешения. Диагонализуем матрицу σ̂y , решая характеристическое уравнение−σ y −i = 0, i−σy (±)относительно σy . Получаем два корня: σy = ±1 — собственные значения матрицы σ̂y .Для нахождения χ+ решаем систему −ib = a; ia = b.

Более определенно о решении сказать нельзя ничего, и мы получаем!1χ+ = a, где a 6= 0.iДля нахождения χ− решаем систему ib = a; ia = −b и получаем!1χ− = a.−i!11.После нормироваки имеем: χ± = √2 ±iПроверим ортогональность χ+ и χ− :!11χ†+ χ− == 12 + i2 = 0.1 −i2−iУбедимся в полноте:( !1 1††χ+ χ+ + χ − χ− =1 −i +2i1−i!1 i)=1001!= I.Теперь собственные значения ŝy можем найти, пользуясь (6.2):}}s(±)= σy(±) = ± , т.

е. собственные значения у ŝy — те же, что иy22у ŝz .Предлагаем самостоятельно рассмотреть оператор ŝx .Решая этот пример, мы смогли убедиться в том, что собственныезначения проекции спина на выделенное направление не зависят отвыбора представления. Соответствующие им спиноры, наоборот, определяются представлением; они имеют особенно простой вид в том представлении, которое диагонализует оператор проекции спина:58χ+ =10!,χ− =01!.Еще одно отличие спина от орбитального момента состоит в том,2что спектр квадрата проекции состоит лишь из одного значения }4 ,поэтому13ŝ2i = }2 1̂, σ̂i2 = I;ŝ2 = }2 1̂, σ̂ 2 = 3I,(6.26)44где I — единичная матрица 2 × 2. Часто ее не пишут, подразумеваяна соответствующем месте I.

Единственное собственное значение ŝ2можно представить в виде s2 = }2 s(s + 1), где s = 21 — по аналогии сL2 = }2 l(l + 1).Помимо коммутаторов, простой вид имеют также и антикоммутаторы, составленные из спиновых операторов. Приведем эти соотношения для матриц Паули:{σ̂i , σ̂j } = σ̂i σ̂j + σ̂j σ̂i = 2δij 1̂.(6.27)Электроны в состояниях с определенным значением проекции спинана выделенное направление принято называть поляризованными в этомнаправлении.Пример 6.4.

Электрон поляризован в направлении, задаваемом осьюOz. Найти наблюдаемые значения и вероятности их обнаружениядля проекции спина на ось Oz 0 , составляющую с осью Oz угол θ.Решение. Эта задача решается без использования спинового формализма. Достаточно лишь знать наблюдаемые свойства спина.По условию среднее значение проекции sz совпадает с наблюдаемым}и равняется . Очевидно, что2hsz0 i = hsz i cos θ =}cos θ.2(6.28)Поскольку ось Oz 0 не совпадает с Oz, проекция спина на нее ужене будет иметь определенного значения. Согласно общим свойствамспина, его проекция на любое направление может принимать только}(±)два значения: sz0 = ± (это ответ на первый вопрос задачи).

Пусть2в нашем случае вероятность обнаружения электрона с поляризациейвдоль оси Oz 0 равна w+ , а вероятность поляризации электрона в противоложном направлении — w− . Пользуясь теоремой о математическом59ожидании, мы получим еще одно выражение, помимо (6.28):(+)(−)hsz0 i = w+ sz0 + w− sz0 =}(w+ − w− ).2(6.29)Приравнивая (6.28) и (6.29), мы получаем первое уравнение дляискомых вероятностей wpm :(6.30)w+ − w− = cos θ.Второе уравнение следует из общего свойства вероятностей:(6.31)w+ + w− = 1.Совместное решение уравнений (6.30) и (6.31) дает ответ и на второйвопрос задачи:w+ =1 + cos θθ= cos2 ;22w− =1 − cos θθ= sin2 .22Предлагаем самостоятельно проанализировать ответ при различныхзначениях угла θ. Рассмотреть, в частности, случаи θ = 0, π2 , π.Задачи для самостоятельного решения33.

Будем предполагать, что электрон представляет собой равномернозаряженный шарик с радиусом, равным классическому радиусу электрона (заряд и массу электрона считать известными). Какова экваториальная скорость точек электрона, если допустить, что спиновый магнитный момент создается простым вращением электрона вокруг своей«оси»?(Ответ: 342.5c.)34.

Пользуясь явным видом матриц Паули (6.21), проверить свойства(6.9), (6.26) и (6.27).35. Постулируя (6.9) и зная свойства спектра ŝz и ŝ2 , доказать (6.27),не используя явный вид матриц Паули.(Указание: воспользоваться свойством (6.26).)36. Исходя из (6.9) и (6.27), доказать тождество:Xσ̂i σ̂j = δij 1̂ + iεijk σ̂k .k6037. Доказать тождество, важное в релятивистской теории спина:(σ̂ â)(σ̂ b̂) = (âb̂) + iσ̂[â × b̂](â и b̂ — произвольные векторные операторы, не действующие на спиновые переменные).(Указание: Воспользоваться результатом предыдущей задачи.)38. Атом водорода помещен во внешнее магнитное поле B. Для элекdŝxdŝyтрона найтии(ось Oz направлена вдоль B).dtdtdŝx|e|dŝy|e|(Ответ:=Bz ŝy ;=−Bz ŝx .dt}µdt}µУказание: Записать гамильтониан электрона в поле неподвижного кулоновского центра в присутствии внешнего магнитного поля.)39.

Указать вид оператора спина ŝn на произвольное направление,определяемое единичным вектором n. !}cos θsin θ · e−iϕ; углы (θ, ϕ) определяют на(Ответ: ŝn =2 sin θ · eiϕ− cos θправление вектора n.)40. Найти собственные значения оператора F̂ = a + bσ̂ (a — число, b —числовой вектор).(Ответ: F1,2 = a ± b.)41. Упростить выражение (aσ̂)n , где a — числовой вектор, n — целоенеотрицательное число.(Ответ: an — для четных n, an−1 (aσ̂) — для нечетных n.)42∗ . Найти явное выражение оператора вида F̂ = F (a+bσ̂), где F (x) —произвольная функция переменной x, a = const, b — числовой вектор.Рассмотреть, в частности, оператор F̂ = exp(ibσ̂).(Ответ:F (a + b) + F (a − b) F (a + b) − F (a − b)F̂ =+bσ̂.)22b61Глава 7.Теория атома гелияВ данной главе под атомом гелия будет подразумеваться ион с двумя электронами.

Таким объектом является как собственно атом гелия,так и ионы H− , Li+ , Be++ , B+++ , C4+ и т. д.Для простоты будем рассматривать движение двух электронов вполе неподвижного кулоновского центра с зарядом Ze в пренебрежении спин-орбитальным и спин-спиновым взаимодействием электронов.Гамильтониан системы можно представить в виде(0)(0)Ĥ = Ĥ1 + Ĥ2 + V̂12 ,(7.1)где}2 2 Ze2(7.2)= − ∇i −2µri— гамильтониан i-го изолированного электрона с массой µ в кулоновском поле (водородоподобный гамильтониан),(0)ĤiV̂12e2=|r 1 − r 2 |— оператор кулоновского взаимодействия электронов (знак «плюс» отражает отталкивательный характер взаимодействия).Точное решение стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (7.1) невозможно, поскольку переменные r 1 и r 2 в оператореV̂12 не разделяются, и на практике обычно используются некоторыеприближения.Наиболее общим допущением является представление двухэлектронной волновой функции в виде произведения одноэлектронныхфункций, меняющего знак при одновременной перестановке координатных и спиновых переменных в соответствии с принципом Паули.Таким образом, в нерелятивистской постановке задачи двухэлектронную функцию можно представить в видеΨ(r 1 , 1; r 2 , 2) = χ(∓) (1, 2)Φ(±) (r 1 , r 2 ),(7.3)χ(∓) (1, 2) — спиновая волновая функция, зависящая от переменных «1»и «2», Φ(±) (r 1 , r 2 ) — координатная волновая функция переменных r 162и r 1 .

Знаки «±» в формуле (7.3) соответствуют симметричной (антисимметричной) функции относительно перестановки переменных и выбираются согласованно.Антисимметричная спиновая функция соответствует двухэлектронному состоянию с полным спином S = 0 (так называемое синглетноеспиновое состояние — с антипараллельными спинами электронов) ивыражается через одночастичные спиновые функции χ± (они задаютсостояния одного электрона с sz = ± }2 ) следующим образом:1χ(−) (1, 2) = √ [χ+ (1)χ− (2) − χ+ (2)χ− (1)].2(7.4)Симметричные спиновые функции задают двухэлектронные состояния с полным спином S = 1 (триплетное спиновое состояние — с параллельными спинами) и тремя различными проекциями на выделенноенаправление Sz = 0, ±}:(√[χ(1)χ(2)+χ(2)χ(1)]/2, Sz = 0,+−+−χ(+) (1, 2) =(7.5)χ± (1)χ± (2),Sz = ±}.Спиновые функции χ(±) ортонормированы (проверить самостоятельно!).Координатная двухэлектронная волновая функция Φ(±) (r 1 , r 2 ) в самом общем случае строится из ортонормированных одноэлектронныхфункций Ψ1,2 (r) аналогично спиновой:1Φ(±) (r 1 , r 2 ) = √ [Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) ± Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 )].2(7.6)Множитель √12 в формулах (7.4)–(7.6) введен для сохранения нормировки (проверить самостоятельно!).