QM3 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 2

Так, она применима непосредственно как клевой точке поворота a, так и к правой точке поворота b (рис. 1.1) с соππответствующей заменой a → b и → − . При этом следует помнить о44том, что при углублении в классически недоступную область волноваяфункция должна экспоненциально затухать.1.2.Правило квантования Бора – ЗоммерфельдаС помощью формул сопряжения можно получить условие, определяющее в ВКБ-приближении положение энергетических уровней дискретного спектра (правило квантования Бора – Зоммерфельда).Пример 1.2.

Получить правило квантования Бора – Зоммерфельдадля случая движения частицы в поле, изображенном на рис. 1.1.Решение. Поскольку обе точки поворота являются правильными, запишем волновую функцию в классически доступной области возле каждой из этих точек, пользуясь формулой сопряжения (1.8): Z xπCa1Ψa (x) = pcosp(x0 ) dx0 −,(1.9)}4p(x)a Z xCb1π00Ψb (x) = pcosp(x ) dx +,(1.10)} b4p(x)где Ca и Cb — произвольные константы.В любой точке x классически доступной области (a < x < b), достаточно удаленной от точек поворота, функции Ψa (x) и Ψb (x) должныпереходить друг в друга, т. е. необходимо приравнять их логарифмические производные.

Помня о том, что множители перед косинусами8можно рассматривать как константы, после несложных преобразований получаем: Z x Z x1π1πtgp(x0 ) dx0 −= tgp(x0 ) dx0 +.(1.11)} a4} b4Для тождественного выполнения равенства (1.11) аргументы тангенсов должны различаться на целое число π:Z b1p(x) dx = π} n +,n = 0, 1, . . .(1.12)2aОтрицательные значения n исключены из-за того, что в классическиразрешенной области, как можно видеть из (1.3), p(x) > 0.Выражение (1.12) является правилом квантования энергетическихуровней в одномерной потенциальной яме.

Пределы интегрирования aи b (точки поворота) — функции энергии E, которые задаются неявноуравнением (1.7). Классический импульс p(x) также зависит от энергии, как от параметра (см. (1.3)). Поэтому выражение (1.12) представляет собой в общем случае трансцендентное уравнение относительноэнергии E с целым неотрицательным параметром n. Очевидно, решение этого уравнения определяется величиной n и дает значение энергииn-го возбужденного состояния. Можно также показать, что при этомвыполняется осцилляционная теорема: волновая функция n-го возбужденного состояния внутри потенциальной ямы обращается в нуль ровноn раз.Фактически правило квантования (1.12) применимо при большихзначениях n.

Действительно,1n∼}Zbp(x) dx =aZbadxd∼ 1,λλт. к. в квазиклассическом приближении де-бройлевская длина волнызначительно меньше размеров области движения.Пример 1.3. Используя правило квантования Бора – Зоммерфельда,получить энергии стационарных состояний линейного гармоническогоосциллятора с массой µ и частотой ω.Решение. Как известно, потенциальная энергия осциллятораU (x) =1 2 2µω x .29Поэтому, используя (1.3) и (1.7), записываем в явном виде классическийимпульс и координаты точек поворота при заданной полной энергии E:s 1 2 2p(x) = 2µ E − µω x ;(1.13)2s2Eb=,a = −b.(1.14)µω 2Фазовый интеграл в левой части (1.12) вычисляется с подынтегральной функцией (1.13) и пределамиинтегрирования (1.14). Учитывая четrµω 2ность p(x) и делая заменуx = sin v, имеем:2EZ bZ brZpµω 2 24E π/2 2πEJ=p(x) dx = 8µE1−x dx =cos v dv =.2Eω 0ωa01, получаем энергетиПриравнивая вычисленный интеграл π} n +2ческий спектр осциллятора в ВКБ-приближении:1,n = 0, 1, .

. .En = }ω n +2Интересно, что в данном частном случае результат оказывается точным, хотя фактически правило квантования Бора – Зоммерфельдасправедливо лишь для высоковозбужденных уровней (n 1).Пример 1.4. Получить правило квантования Бора – Зоммерфельдадля случая, когда движение с одной стороны ограничено непроницаемой стенкой.Решение. Пусть для определенности частица не может проникать в область x > b, т. е. U (x) = ∞ при x > b (см.

рис. 3.3), и здесь волноваяфункция Ψ(x) ≡ 0. Она также должна обратиться в нуль и на границе при x = b (стандартные условия требуют непрерывности волновойфункции):Ψ(b) = 0.(1.15)Правило квантования в форме (1.12) не учитывает граничного условия(1.15), поскольку при его выводе предполагалось, что волновая функция должна экспоненциально затухать в области x > b.Чтобы обобщить правило квантования, воспользуемся формулой сопряжения (1.9) для точки поворота a.

Для точки поворота b формула10сопряжения (1.10) неприменима, поскольку в классически разрешенной области при достаточно высокой энергии движение квазиклассично всюду вплоть до точки b. Потребуем для функции (1.9) выполненияграничного условия (1.15), т. е., полагая x = b, приравняем аргументπкосинуса величине + πn (n — целое). В результате получим правило2квантования при наличии непроницаемой стенки:Z b3p(x) dx = π} n +,n = 0, 1, . .

.4a(как и ранее, начало отсчета n выбрано с учетом положительной определенности p(x) в классически доступной области).Таким же будет результат и приналичии стенки в точке a (при этомточка b является правильной). В обоих случаях выполняется осцилляционная теорема. Рекомендуем самостоятельно проверить данные утверждения.Задачи для самостоятельного решенияРис. 1.2.1. В квазиклассическом приближении определить положение энергетических уровней частицы с массой µ, совершающей одномерноедвижение в поле U (x) = F |x| (параметр F > 0). (Ответ: En = 2/3131F π} n +, n = 0, 1, . . .)=22µ 1/3 22. Частица с массой µ вертикально падает на горизонтальную пластинуи упруго отражается от нее.

С квазиклассической точностью определить уровни энергии и допустимые максимальные высоты. 2/313En1/32(Ответ: En = (9g µ)π} n +, h(max)=, n = 0, 1, . . .,n24µgгде g — ускорение свободного падения.)3. Обобщить правило квантования Бора – Зоммерфельда для случая,когда движение с двух сторон ограничено непроницаемыми стенками вточках a и b (a < b, см.

рис. 1.3). В качестве примера рассмотреть движение частицы в потенциальной яме ширины L с бесконечно высокимистенками и плоским дном:11U (x) =(0,0<x<L+∞,x < 0, x > L.Сравнить результат квазиклассического расчета энергетического спектра с точным.Указание: воспользоваться формулой(1.1).Z b(Ответ:p(x) dx = π}n,an = 1, 2, . . .,π 2 }2 n 2En =.)2µL24∗ . Определить в квазиклассическомРис. 1.3.приближении уровни энергии частицы с массой µ в модифицированной потенциальной яме Пешля–Теллера:U0U (x) = − 2 x ,U0 > 0,ch αгде U0 > 0 и α > 0 — параметры. Сравнить квазиклассический результат с точным.Указание: При вычислении интеграла использовать метод дифференцирования по параметру E."r#222}2µα U01−n+, n = 0, 1, . . .)(Ответ: En = −2µα2}221.3.Квазиклассическое прохождение через потенциальный барьерНа рис. 1.4 показан потенциальный барьер.

В отличие от ямы, здеськлассически доступными являются области I (x < a) и III (x > b), гдерешение уравнения Шредингера осциллирует. В классически недоступной области II (a < x < b) решение содержит экспоненциально растущую и экспоненциально убывающую компоненты. Для коэффициентапрохождения частиц с заданной энергией 0 < E < Um через потенциальный барьер U (x) в квазиклассическом приближении получаетсятакже достаточно простая формула, не требующая решения уравненияШредингера:12(2D = D0 exp −}Z)ba|p(x)| dx .(1.16)Конкретное выражение для множителя D0 зависит от вида потенциальной энергии, характера точекповорота и является медленно меняющейся функцией энергии E. Экспоненциальный же множитель, наоборот, является быстро меняющейся функцией энергии, и во всех задачах данного раздела требуется рассчитать именно его.

Условие примениРис. 1.4.мости ВКБ-приближения (1.6) требует подбарьерного значения энергии частиц (E < U0 ) и достаточно большой ширины барьера. В этом случае коэффициент прохождения будетмал (D 1).Пример 1.5. Найти в квазиклассическом приближении (с точностью до экспоненциального множителя) коэффициент прохождениячастиц с массой µ и энергией E через потенциальный барьер U (x) == U0 e−|x|/x0 , где U0 > 0 и x0 > 0 — параметры.Решение. Вычислим интеграл в показателе экспоненты в формуле длякоэффициента прохождения (1.16). С учетом четности подынтегральной функции и кусочно-гладкого поведения потенциала получаем:Z brZ bpU0 −x/x0J≡|p(x)| dx = 2 2µEe− 1 dx,E0aU0где a и b — точки поворота; b = x0 ln, a = −b.

Интеграл вычисляетсяEпосредством замены переменной:rU0 −x/x02yx0e− 1 = y,dx = − 2dy;Ey +1J = 4x0p2µEZ0qU0E−1qU0pE −1y dy11−= 4x0 2µEdy =y2 + 11 + y20!rrpU0U0= 4x0 2µE− 1 − arctg−1 .EEZ213При замене пределов интегрирования учтено, что y(b) = 0. Коэффициент прохождения через барьер определяется по формуле (1.16):(!)rr√8x0 2µEU0U0D = D0 exp −− 1 − arctg−1.}EEДанная формула применима при U0 E.Задачи для самостоятельного решения5. Найти в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения частицы с массой µ через прямоугольный потенциальный барьер(U0 > 0, 0 6 x 6 a,U (x) =0,x < 0, x > a.Квазиклассический результатсравнить сточным.p2a2µ(U0 − E) .)(Ответ: D = D0 exp −}6.