QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 7

пример 3.3.)38. Зная заряд электрона e и его массу me , оценить размер атома.(Ответ: ℏ2 /(me e2 ).)45Глава 4.Гамильтониан4.1.Временное уравнение ШредингераВолновая функция реальной физической системы в общем случаенаходится из решения временно́го уравнения Шредингера:iℏ∂Ψ= ĤΨ,∂t(4.1)где Ĥ — гамильтониан системы. Подобно уравнениям Ньютона в классической механике, а также уравнениям Максвелла в электродинамике, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется.

Критериемправильности данного уравнения является совпадение вытекающих изнего фактов с экспериментальными данными.Для одной частицы, движущейся в поле с заданной потенциальнойфункцией V (r, t), гамильтонианp̂2Ĥ =+ V (r, t),2mтак что уравнение (4.1) принимает вид:∂ℏ2 2iℏΨ(r, t) = −∇ + V (r, t) Ψ(r, t).∂t2m(4.2)Граничные условия к нему вытекают из стандартных условий.Гамильтониан многочастичной системы строится следующим образом: вначале записываются операторы кинетических и потенциальныхэнергий всех частиц, а также их потенциальных функций, а затем онисуммируются.

В частности, для системы N взаимодействующих частицмассами mi во внешних полях Vi (r, t) гамильтониан имеет вид:"#NN2Xp̂i1 XĤ =+ Vi (r i , t) +Φij (rij ),(4.3)2m2ii=1i,j=1где Φij (rij ) — потенциальная энергия взаимодействия i-й и j-й частиц(rij = |r i − r j |). Выражение (4.3) мы будем использовать при построении гамильтонианов простейших систем.46Пример 4.1.

Построить гамильтониан атома водорода. Массы ядраи электрона — M и m соответственно, элементарный заряд e и зарядовое число ядра Z предполагаются известными. Ядро и электронпредполагаются точечными.Решение. Система содержит две частицы, поэтому гамильтониан будетдействовать на две векторные координаты: электронную r и ядернуюR. Условимся обозначать переменную дифференцирования индексом уоператора «набла».

В соответствии с (4.3)ℏ2 2ℏ2 2Ze2Ĥ = −∇ −∇ −.2m r 2M R |r − R|Между электроном и ядром действует кулоновское притяжение, поэтому последнее слагаемое входит со знаком «минус».Пример 4.2. Построить гамильтониан молекулы водорода. Массыкаждого протона и электрона — M и m соответственно, элементарный заряд e предполагается известным. Протоны и электроныпредполагаются точечными.Решение. Система содержит четыре частицы, поэтому гамильтонианбудет действовать на четыре векторные координаты: электронные r 1 ,r 2 и ядерные R1 , R2 .

В молекуле водорода присутствуют шесть кулоновских взаимодействий: отталкивающие взаимодействия электрон–электрон и протон–протон и четыре притягивающих взаимодействияэлектрон–протон. Таким образом, гамильтониан содержит десять слагаемых:ℏ2 2ℏ2 2ℏ2 2ℏ2 2Ĥ = −∇ −∇ −∇ −∇ +2m r1 2m r2 2M R1 2M R2e2e2++−|r 1 − r 2 | |R1 − R2 |e2e2e2e2−−−−.|r 1 − R1 | |r 2 − R2 | |r 1 − R2 | |r 2 − R1 |Массы обоих электронов и протонов предполагаются одинаковыми ипоэтому не нумеруются.4.2.Плотность потока вероятностиНа основании самосопряженности гамильтониана можно показать,что плотность вероятности (1.3) в трехмерном случае удовлетворяет47уравнению непрерывности, выражающему закон сохранения количества вещества в нерелятивистской физике:∂w(r, t) + div j(r, t) = 0,∂tгде величина j(r, t) имеет смысл плотности потока вероятности и связана с волновой функцией Ψ(r, t) соотношением:j(r, t) =ℏ[Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)],2mi(4.4)m — масса частицы.Для частицы с зарядом e локальная зарядовая плотность даетсявыражением ρe (r, t) = ew(r, t), а плотность электрического тока, обусловленного движением частицы, — соотношением j e (r, t) = ej(r, t).Стандартное условие непрерывности волновой функции необходимо для обеспечения конечности плотности потока вероятности.Пример 4.3.

Состояние частицы массой m задается волной де Бройля (1.1). Вычислить плотность потока вероятности распределенияэтой частицы.Решение. Непосредственное использование формулы (4.4) даетj = |C|2p.m(4.5)Легко заметить, что при выборе нормировочной константы C = 1 выражение (4.5) будет давать классическую скорость частицы. Такаянормировка часто используется в теории рассеяния.4.3.Стационарные состоянияВ квантовой механике особая роль отводится системам, гамильтониан которых не зависит от времени явным образом: Ĥ(ξ, t) = Ĥ(ξ)(так называемая стационарная постановка задачи). В этом случае вквантовой системе могут быть реализованы стационарные состояния,в волновых функциях которых зависимость от времени факторизована:iΨE (ξ, t) = ΨE (ξ) exp − Et .(4.6)ℏ48Здесь E и ΨE (ξ) — соответственно собственное значение и собственнаяфункция гамильтониана Ĥ(ξ), который в данном случае можно назватьоператором энергии:Ĥ(ξ)ΨE (ξ) = EΨE (ξ).(4.7)Уравнение (4.7) называется стационарным уравнением Шредингера.На основании (4.7) стационарные состояния определяются как состояния с определенными значениями энергии.

Поскольку энергия,как правило, является наиболее удобной для измерения величиной, стационарным состояниям отводится важная роль в квантовой теории.Стационарные состояния обладают следующими основными свойствами:1) их волновые функции зависят от времени по гармоническомузакону (4.6);2) средние значения плотности вероятности и плотности потокавероятности в стационарных состояниях не зависят от времени;3) если оператор физической величины не зависит от времени явно, то ее среднее значение в стационарном состоянии тоже не будетзависеть от времени.Энергетический спектр стационарной системы определяется характером движения: в случае финитного движения он дискретен, вслучае инфинитного — непрерывен.Среди всех возможных состояний квантовой системы обязательноимеется одно состояние с минимальной энергией — основное состояние.Основное состояние всегда невырождено.В случае дискретного спектра состояние, ближайшее (по энергии) косновному, называется первым возбужденным и т.

д.Если это не приводит к недоразумениям, в записи волновой функции стационарного состояния ограничиваются одной лишь координатной зависимостью ΨE (ξ).В трехмерной задаче уравнение (4.7) принимает видℏ2 2∇ ΨE (r) + V (r)ΨE (r) = EΨE (r),−2m(4.8)аналогичный уравнению для стоячих волн в среде с переменным показателем преломления. Таким образом, стационарные состояния можноуподобить стоячим волнам в упругой среде.Пример 4.4. Частица массы m совершает свободное одномерное движение. Найти энергии и волновые функции стационарных состояний.49Решение. В случае свободного движения в уравнении Шредингера отсутствует слагаемое с потенциальной энергией, и оно приводится к виду:p̂2x Ψ(x) = 2mEΨ(x).Дальнейшее рассмотрение проводится в соответствии с примерами 3.6и 3.7.

Ненормированные волновые функции стационарных состоянийi(±)(±)ΨE (x) = AE exp ± px ,ℏгдеp=√2mE,E > 0.Свободное движение является инфинитным, поэтому его спектрнепрерывен. При E > 0 стационарные состояния будут двукратно вырождены в соответствии с тем, что движение с импульсом p возможнокак в положительном, так и в отрицательном направлении оси Ox. Таким образом, вырождение здесь идет по знаку проекции импульса. Пример 4.5.

Решить задачу предыдущего примера для свободноготрехмерного движения.Решение. По аналогии с решением предыдущей задачи, получаем:i(p)(p)ΨE (r) = AE exp ± pr ,ℏгде√p = 2mE,2E > 0,направление импульса p произвольно. Все возбужденные состояния будут здесь вырождены с бесконечной кратностью в соответствии с бесконечным числом способов ориентации вектора с заданным абсолютнымзначением.Пример 4.6. Найти энергии стационарных состояний плоского ротатора с моментом инерции I.Решение. Гамильтониан вращательного движения ротатора можно получить по аналогии с гамильтонианом поступательного движения материальной точки.

Для этого в классической функции Гамильтона дляL2плоского ротатора H = z заменим Lz → L̂z . Теперь можно записать2Iстационарное уравнение Шредингера для ротатора и привести его квиду:L̂2z Ψ(ϕ) = 2IEΨ(ϕ).50На основании примеров 3.5 и 3.7 получаем решение:Emℏ2 m2=;2IeimϕΨm (ϕ) = √ ,2πm = 0, ±1, . . .Все стационарные состояния, за исключением основного, двукратно вырождены. Это связано с двумя возможными направлениями вращенияротатора вокруг закрепленной оси.Пример 4.7. Система с не зависящим от времени гамильтонианом вначальный момент времени находилась в состоянии с волновой функцией Ψ(ξ, 0).

Найти волновую функцию этой системы в последующиемоменты времени Ψ(ξ, t > 0). Энергетический спектр и базис системы предполагаются известными.Решение. Разложим Ψ(ξ, 0) по базису стационарных состояний системыи используем их зависимостью от времени (4.6):Xi(4.9)Ψ(ξ, t > 0) =cn Ψn (ξ) exp − En t .ℏnЗдесьĤΨn (ξ) = En Ψn (ξ);cn =ZΨ∗n (ξ)Ψ(ξ, 0) dξ.Пример 4.8.

Состояние свободной частицы массы m в начальныймомент времени задается волновым пакетом из примера 1.3. Показать, что с течением времени пакет «расплывается». Найти закон«расплывания».Решение. В момент t = 0 плотность вероятности местоположения будетгауссовой с шириной x0 . Ее максимум будет двигаться со скоростьюℏk0 /m, совпадающей со средней классической скоростью частицы (вволновой оптике такая скорость называется групповой).Задачу решаем на основе предыдущего примера.