QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 3

Оператором, обратным к F̂ , будемназывать такой оператор F̂ −1 , для которого выполняется соотношение:defdefF̂ −1 F̂ = F̂ F̂ −1 = 1̂.В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некорF̂ректность записей типа . Необходимо использовать обратный операĜ−1−1тор: F̂ Ĝ либо Ĝ F̂ (при этом могут получиться различные результаты).158◦ . Целая положительная степень оператора: F̂ n .

Это nкратное перемножение оператора F̂ на себя:defF̂ n = F̂. . · F̂} .| · .{zn раз9◦ . Оператор под знаком функции: f (F̂ ). Если функция f (z)допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности нуляf (z) =∞Xcn z n ,n=0то оператор F̂ под ее знаком определяется следующим образом:∞Xdefnf (F̂ ) =cn z .n=0z=F̂Таким образом, для внесения оператора под знак функции необходимознание коэффициентов тейлоровского разложения этой функции.Определения 1◦ –9◦ широко используются при выводе различныхоператорных тождеств.

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в справедливости тождеств:[Â, B̂] = −[B̂, Â];[Â, Â] = 0.(2.4)(2.5)Пример 2.2. Вывести «сочетательный закон» для операторов:ÂB̂ Ĉ = Â(B̂ Ĉ) = (ÂB̂)Ĉ.(2.6)Решение. Закон (2.6) выводится элементарно из определения произведения операторов 6◦ и операторного равенства 1◦ .В квантовой механике большая роль отводится так называемым линейным операторам, которые удовлетворяют условиюdefF̂ (αΨ + βΦ) = αF̂ Ψ + β F̂ Φ(2.7)для произвольных функций Φ, Ψ и произвольных комплексных констант α, β.16Для выполнения принципа суперпозиции состояний операторы физических величин обязаны быть линейными. В дальнейшем всюду, еслине оговорено особо, операторы предполагаются линейными.Рекомендуем самостоятельно доказать следующие свойства билинейности коммутатора:[Â, β B̂ + γ Ĉ] = β[Â, B̂] + γ[Â, Ĉ],[α + β B̂, Ĉ] = α[Â, Ĉ] + β[B̂, Ĉ].(2.8)Пример 2.3.

Вывести «распределительный закон» для операторов:Â(B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ,(2.9)(Â + B̂)Ĉ = ÂĈ + B̂ Ĉ.Решение. Для произвольной функции Ψ выполняем последовательность преобразований:(6◦ )(5◦ )(2.7)Â(B̂ + Ĉ)Ψ = Â[(B̂ + Ĉ)Ψ] = Â(B̂Ψ + ĈΨ) =(6◦ )(5◦ )= Â(B̂Ψ) + Â(ĈΨ) = (ÂB̂)Ψ + (ÂĈ)Ψ = (ÂB̂ + ÂĈ)Ψ.В соответствии с определением 1◦ приходим к первому операторномуравенству (2.9). Аналогично выводится и второе тождество (2.9).Тождества (2.6) и (2.9) показывают, что при алгебраических преобразованиях с линейными операторами можно поступать как с обычными числами.

Недопустимо лишь произвольно изменять порядок сомножителей в произведениях без учета правил коммутации. В частности, за скобки можно выносить либо только крайний левый, либотолько крайний правый операторы (см. (2.9)).Если возникает необходимость изменения порядка сомножителей,то необходимо учитывать коммутационное соотношение между операторами. На основе (2.2) легко вывести следующее тождество:F̂ Ĝ = ĜF̂ + [F̂ , Ĝ].Пример 2.4. Раскрыть скобки в произведениях операторов:(F̂ − Ĝ)(F̂ + Ĝ);17(F̂ + Ĝ)2 .(2.10)Решение.

Преобразования осуществляем с использованием тождеств(2.1), (2.9):(F̂ − Ĝ)(F̂ + Ĝ) = F̂ (F̂ + Ĝ) − Ĝ(F̂ + Ĝ) == F̂ 2 − Ĝ2 + F̂− ĜF̂} = F̂ 2 − Ĝ2 + [F̂ , Ĝ];| Ĝ {z[F̂ ,Ĝ](F̂ + Ĝ)2 = (F̂ + Ĝ)(F̂ + Ĝ) = F̂ (F̂ + Ĝ) + Ĝ(F̂ + Ĝ) =(2.10)= F̂ 2 + Ĝ2 + F̂+ ĜF̂} = F̂ 2 + 2F̂ Ĝ + Ĝ2 − [F̂ , Ĝ].| Ĝ {z{F̂ ,Ĝ}Мы намеренно представили результаты в форме, наиболее близкой ксоответствующим тождествам для обычных чисел. Отличие заключается в дополнительных слагаемых — коммутаторах.

В случае обычныхчисел эти коммутаторы тождественно обращаются в нуль.Пример 2.5. Выразить оператор (F̂ Ĝ)−1 через F̂ −1 и Ĝ−1 .Решение. Легко показать, что F̂ 1̂ = 1̂F̂ = F̂ (сделайте самостоятельно!).По определению обратного оператора 7◦ ,(F̂ Ĝ)(F̂ Ĝ)−1 = 1̂.(2.11)Преобразуем левую часть (2.11) в соответствии с «сочетательным законом» (2.6) и домножим обе части (2.11) слева сначала на F̂ −1 , а затемна Ĝ−1 . В результате получим тождество:(F̂ Ĝ)−1 = Ĝ−1 F̂ −1 .(2.12)Таким образом, обращение произведения изменяет порядок следованиясомножителей на противоположный.

Тождество (2.12) лишний раздемонстрирует отличие операторов от обычных чисел. Если же операторы коммутируют, мы приходим к традиционному правилу обращенияпроизведения чисел.Пример 2.6. Выразить коммутатор [Â, B̂ Ĉ] через коммутаторы[Â, B̂] и [Â, Ĉ].Решение. Приведем вначале два вспомогательных тождества:1) F̂ + 0̂ = F̂ ; 2) F̂ − F̂ = 0̂ (доказать самостоятельно!).Дальнейшие выкладки мы осуществляем без подробных комментариев:18(2.2)[Â, B̂ Ĉ] = ÂB̂ Ĉ − B̂ Ĉ Â = ÂB̂ Ĉ + 0̂ − B̂ Ĉ Â =(2.1)(2.9)= ÂB̂ Ĉ + |B̂ ÂĈ {z− B̂ ÂĈ} −B̂ Ĉ Â = ÂB̂ Ĉ − B̂ ÂĈ + B̂ ÂĈ − B̂ Ĉ Â =0̂= (ÂB̂ − B̂ Â)Ĉ + B̂(ÂĈ − Ĉ Â) = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].Выпишем окончательный ответ:[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].(2.13)Полученное тождество чрезвычайно удобно при «упрощении» коммутаторов.Задачи для самостоятельного решения6.

Доказать тождества:[F̂ , Ĝ] = −[Ĝ, F̂ ];{F̂ , Ĝ} = {Ĝ, F̂ }.7. Доказать тождества (2.8).8. Доказать тождество Якоби:[Â, [B̂, Ĉ]] + [Ĉ, [Â, B̂]] + [B̂, [Ĉ, Â]] = 0̂.(2.14)9∗ . Разложить оператор (F̂ − λĜ)−1 по степеням малого параметра λ.∞X−1(Ответ: (F̂ − λĜ) =(λF̂ −1 Ĝ)n .)n=010∗ . Доказать тождество Бекера – Кэмпбела – Хаусдорфа:eF̂ Ĝ e−F̂ = Ĝ + [F̂ , Ĝ] +11[F̂ , [F̂ , Ĝ]] + [F̂ , [F̂ , [F̂ , Ĝ]]] + .

. .2!3!11∗ . Для операторов, удовлетворяющих условиям [F̂ , [F̂ , Ĝ]] = 0,[Ĝ, [F̂ , Ĝ]] = 0, доказать тождество Вейля:1eF̂ +Ĝ = e− 2 [F̂ ,Ĝ] eF̂ eĜ .19Таблица 2.1Операторы основных физических величин№ВеличинаОператорПримечание1координата rr̂ = r2импульс pp̂ = −iℏ∇r̂Ψ(r) = rΨ(r)X∂∂= −iℏp̂ = −iℏek∂xk∂r3орб. момент L4кин. энергия T5потенц. энергия V6полная энергия E7четность P2.3.L̂ = [r × p̂]p̂2T̂ =2mV̂ = V (r)Ĥ = T̂ + V̂Iˆ — инверсияkℏ2 2T̂ Ψ(r) = −∇ Ψ(r)2mV̂ Ψ(r) = V (r)Ψ(r)Ĥ — гамильтонианˆIΨ(r)= Ψ(−r)Операторы различных физических величинВ таблице 2.1 собраны операторы важнейших физических величин(здесь и далее m — масса частицы).

Первые шесть из них используются как в классической, так и в квантовой механике. Четность жеявляется чисто квантовой характеристикой микрообъектов. Предлагаем самостоятельно убедиться в линейности приведенных операторов.В данном параграфе мы будем вычислять коммутаторы (т.

е. находить их явный вид) операторов важнейших физических величин.Вначале рассмотрим операторы координаты и импульса. Для удобства мы будем пользоваться декартовым базисом.Пример 2.7. Вычислить коммутатор [x, p̂x ].Решение. Согласно своему определению, коммутатор является оператором. Поэтому его явный вид можно найти, подействовав им на произвольную функцию.

Из таблицы 2.1 возьмем явный вид операторапроекции импульса:∂p̂x = −iℏ.(2.15)∂xВ соответствии с (2.15) и определением произведения 6◦ , имеем:∂Ψ;∂x∂∂Ψp̂x xΨ = p̂x (xΨ) = −iℏ(xΨ) = −iℏΨ − iℏx.∂x∂xxp̂x Ψ = x(p̂x Ψ) = −iℏx20На основании 4◦ и 5◦ получаем:[x, p̂x ]Ψ = xp̂x Ψ − p̂x xΨ = iℏΨ.(2.16)Поскольку равенство (2.16) должно выполняться для произвольнойфункции Ψ, мы, согласно 1◦ , приходим к операторному равенству 2 :[x, p̂x ] = iℏ.(2.17)Операторное тождество (2.17) является одним из основных соотношений квантовой теории.Аналогичным образом можно показать, что[x, p̂x ] = [y, p̂y ] = [z, p̂z ] = iℏ,т. е. операторы декартовой координаты и одноименной проекции импульса не коммутируют.

Пары этих операторов называют также канонически сопряженными.Пример 2.8. Вычислить коммутаторы: 1) [x, p̂y ]; 2) [x, y]; 3) [p̂x , p̂y ].Решение.1. Коммутатор [x, p̂y ] вычисляем по аналогии с предыдущим примером, однако, вследствие независимости переменных x и y,∂∂(xΨ) = x −iℏΨ = xp̂y Ψ.p̂y xΨ = −iℏ∂y∂yТаким образом, [x, p̂y ] = 0 (в смысле нулевого оператора).Данное утверждение можно обобщить: разноименные декартовы координаты и проекции импульсов коммутируют.2.

Оператор координаты является обычным числовым множителем.Значение произведения чисел не зависит от порядка следования сомножителей. Поэтому [x, y] = 0. Вообще, все декартовы координатыкоммутируют друг с другом.3. Произведение p̂x p̂y , в соответствии с определением 6◦ , с точностью до постоянного множителя является смешанной производной.

Смешанные производные функций, удовлетворяющих стандартным условиям, не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому[p̂x , p̂y ] = 0. Как и в случае с координатами, все декартовы компоненты импульса коммутируют друг с другом.2Строго говоря, в правой части (2.17) следовало бы, в соответствии с 1◦ , поставить iℏ1̂, но, как правило, единичный оператор здесь не указывается.21Обобщим теперь результаты предыдущих двух примеров, введя обозначения x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z; p̂x ≡ p̂1 , . . . :[xk , p̂l ] = iℏδkl ;[xk , xl ] = 0;(2.18)[p̂k , p̂l ] = 0.Пример 2.9. Вычислить коммутатор [r, p̂2 ].Решение. Вначале запишем коммутатор в декартовых компонентах, затем воспользуемся свойством билинейности (2.8).

Упростим получившиеся коммутаторы по правилу (2.13), оставшиеся коммутаторы вычислим в соответствии с (2.18):XX(2.8) X(2.13)[r, p̂2 ] = [ek xk ,p̂l p̂l ] =ek [xk , p̂l p̂l ] =k=lXk,lk,l(2.18)ek {[xk , p̂l ]p̂l + p̂l [xk , p̂l ]} = 2iℏXek δkl p̂l = 2iℏp̂.k,lДанный пример наглядно демонстрирует использование правила«упрощения» (2.13).Пример 2.10. Вычислить коммутатор [f (x), p̂x ], где f (x) — дифференцируемая функция координат.Решение.