QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 6

Перечислимих:1) собственные значения вещественны;2) собственные функции, соответствующие различным собственнымзначениям, взаимно ортогональны 3 ;3) система собственных функций полна в классе тех функций, накоторых этот оператор задается, т. е. она образует базис оператора.Математические выражения важнейших свойств собраны в таблице3.1 применительно к операторам с дискретным и непрерывным спектром.Пример 3.4 не характерен для задачи собственных функций и собственных значений оператора F̂ . Обычно неизвестными бывают каксобственные значения F , так и собственные функции ΨF (ξ).Пример 3.5. Найти наблюдаемые значения Lz и соответствующиеим волновые функции.Решение.

В уравнении для собственных функций и собственных значенийL̂z Ψ = Lz Ψ3Собственные функции, соответствующие одному и тому же вырожденному собственному значению, не обязаны быть ортогональными; из них, однако, можно построить ортогональные линейные комбинации (процедура Грама – Шмидта).38Неизвестными являются как Lz , так и Ψ. Это уравнение удобно переписать в сферической системе координат, где вид L̂z будет наиболеепростым [см. (2.31)]:−iℏ∂Ψ(ϕ)= Lz Ψ(ϕ);∂ϕ0 6 ϕ < 2π.(3.7)Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Поэтому его решение ищем в видеΨ(ϕ) = A eiλϕ ,(3.8)где A — произвольная ненулевая константа, обусловленная однородностью уравнения (2.31), λ — подлежащая определению константа.

Выборрешения в виде (3.8) обеспечивает конечность (почему?) и непрерывность волновой функции.После подстановки (3.8) дифференциальное уравнение (3.7) превращается в алгебраическое:ℏλ = Lz .(3.9)В уравнении (3.8) неизвестное Lz выражается через неизвестное λ. Темне менее, значения λ определяются требованием однозначности: функция полярного угла должна быть 2π-периодичной (см. пример 1.4).

Поэтому λ может принимать только целые значения: λml = ml = 0, ±1, . . .Соответственно(3.9)Lz,ml = ℏ ml ;ml = 0, ±1, . . .(3.10)В том же примере получены и нормированные собственные функции(1.11).Таким образом, спектр оператора L̂z дискретный и невырожденный.Рекомендуем самостоятельно проверить свойства собственных значений и собственных функций линейного эрмитова оператора L̂z .

Пример 3.6. Найти наблюдаемые значения проекции импульса и соответствующие им волновые функции.Решение. Для удобства рассмотрим декартову компоненту импульсаpx . Вид оператора p̂x дается выражением (2.15), так что уравнение длясобственных функций и собственных значений принимает вид:−iℏ∂Ψ(x)= px Ψ(x).∂x(3.11)Неизвестными здесь будут как сама функция, так и собственное значение px . В отличие от (3.7) аргумент функции изменяется в бесконечныхпределах.39Подобно (3.7) уравнение (3.11) является линейным однороднымдифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его решение также ищется в видеΨ(x) = A eiλx(3.12)с неизвестной в общем случае комплексной константой λ.Выражение (3.12) удовлетворяет условиям однозначности и непрерывности функции Ψ(x).

Подстановка (3.12) в уравнение (3.11) превращает его в алгебраическое уравнение(3.13)px = ℏλс двумя неизвестными px и λ. Чтобы определить допустимые значенияλ, представим эту константу в явном комплексном виде:λ = λ0 + iµ0 ,где λ0 и µ0 — вещественные. При таком представлении λ легко заметить, что функция (3.12) будет конечной только при µ0 = 0, т. е. привещественных λ.

Поэтому, в соответствии с (3.13), собственным значением проекции импульса будет произвольное вещественное число, т. е.у оператора p̂x будет непрерывный спектр.Вычислим теперь нормировочную константу. В соответствии стабл. 3.1, собственные функции оператора с непрерывным спектромдолжны быть нормированы на δ-функцию:Z+∞−∞Ψ∗p′x (x)Ψpx (x) dx= 2π|A|2 δ2= |A|px −ℏp′xZ+∞−∞i(Г.20)′x(px − px ) dx =expℏ(Г.19)= 2πℏ|A|2 δ(p′x − px ) = δ(p′x − px ),√откуда A = 1/ 2πℏ.Выпишем собственные функции оператора проекции импульса:1iΨpx (x) = √exppx x .ℏ2πℏ(3.14)Предлагаем самостоятельно проверить свойства собственных функций и собственных значений p̂x . Как и в случае с L̂z , спектр p̂x будеттоже невырожденным.Пример 3.7.

Найти собственные функции и собственные значенияоператора F̂ 2 , зная базис и спектр оператора F̂ .40Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что собственные функции не изменятся, а собственные значения возведутся в квадрат.Следствие 1. Если невырожденные собственные значения оператора F̂ располагаются симметрично относительно нуля, то собственныезначения F̂ 2 будут двукратно вырождены.Следствие 2. Если функция f (z) допускает разложения в ряд Тейлора, а у оператора F̂ известны базис и спектр, тоf (F̂ )Ψn (ξ) = f (Fn )Ψn (ξ).(3.15)Проясним теперь смысл коэффициентов разложения произвольнойфункции Φ(ξ) по базису оператора F̂ (см. таблицу 3.1). Для определенности ограничимся случаем дискретного спектра:Xcn Ψn (ξ).(3.16)Φ(ξ) =nФункция Φ(ξ) задает такое состояние, в котором в общем случаевеличина F не имеет определенного значения.

Данный факт проявляется в том, что при многократных измерениях получается некоторыйразброс наблюдаемых значений F . Каждое из них появляется с вероятностьюwn = |cn |2 .(3.17)Если известны наблюдаемые значения величины F в состоянии Ψ(ξ) ивероятности их обнаружения, то в соответствии с теоремой о математическом ожидании для вычисления среднего значения можно использовать выражение:XXhF i =Fn wn =Fn |cn |2 ,(3.18)nnкоторое эквивалентно (3.1).Пример 3.8. Плоский ротатор приведен в состояние с волновой функциейΦ(ϕ) = A[1 + cos ϕ + cos 2ϕ].(3.19)Найти: наблюдаемые значения Lz , вероятности их обнаружения,hLz i, h(∆Lz )2 i.Решение.

Специфическая зависимость Φ(ϕ) позволяет решить задачуалгебраическими методами на основе формулы Эйлера и результатовпримера 3.5. Вначале разложим функцию Φ(ϕ) по базису оператора L̂z[см. (1.13)]:41eiϕ + e−iϕe2iϕ + e−2iϕ (1.11)Φ(ϕ) = A 1 ++=22√Ψ1 (ϕ) Ψ−1 (ϕ) Ψ2 (ϕ) Ψ−2 (ϕ)= 2π A Ψ0 (ϕ) ++++.2222(3.20)Выражение (3.20) приведено к видуr (3.16) с ненулевыми коэффици√πентами c0 = 2π A, c±1 = c±2 =A. Нормировочную константу2удобно найти из условияX|cm |2 = 1,m111откуда A = √ ; c0 = √ , c±1 = c±2 = √ .4π22 2Таким образом, при измерении будут наблюдаться следующие зна1чения Lz : Lz,0 с вероятностью и Lz,±1 = ±ℏ, Lz,±2 = ±2ℏ с одинако21выми вероятностями w±1 = w±2 = .8Средние значения вычисляются по формуле (3.18):XhLz i =Lz,m wm = 0.mДля вычисления среднеквадратичного отклонения воспользуемся результатом примера 3.7:2h(∆Lz ) i =hL2z i2− hLz i =hL2z i=XmL2z,m wm =5 2ℏ .43.3.Совместная измеримость физических величин.Соотношение неопределенностейФизические величины F̂ и Ĝ называются измеримыми совместно,если существуют такие состояния, в каждом из которых будет измерима как величина F , так и G.

Математически это выражается в наличии у операторов F̂ и Ĝ общих собственных функций. Существованиеобщих собственных функций проверяется с помощью следующего критерия:42необходимым и достаточным условием существования у линейных 4операторов общих собственных функций является коммутация данных операторов.У операторов неизмеримых совместно величин, естественно, общихсобственных функций нет. При совместном измерении таких величин впроизвольном состоянии всегда наблюдается разброс наблюдаемых значений.

Величина этого разброса, характеризуемая среднеквадратичными отклонениями, удовлетворяет неравенствуh(∆F )2 ih(∆G)2 i >1hBi2 ,4(3.21)называемому соотношением неопределенностей Гейзенберга. ЗдесьB̂ — самосопряженный оператор (см. задачу 21), определяемый из соотношения:[F̂ , Ĝ] = iB̂.(3.22)Все усреднения в (3.21) производятся в одном и том же состоянии.Пример 3.9. Записать соотношение неопределенностей для декартовой координаты и соответствующей проекции импульса.Решение. Соответствующее соотношение неопределенностей можетбыть получено с использованием выражения (2.17), которое по форме соответствует (3.22). Поэтому достаточно сделать в (3.21) замены:F → x, G → px , B → ℏ:h(∆x)2 ih(∆px )2 i >1 2ℏ .4(3.23)Проанализируем соотношение (3.23). Зададимся целью неограниченного снижения неопределенности, скажем, координаты.

Будем для этого подбирать соответствующие состояния. При этом в силу ненулевойправой части (3.23) неопределенность импульса обязана неограниченновозрастать.Исследуем теперь соотношение (3.23) для макромира. Рассмотрим,например, движение тела массой 1 кг со скоростью 1 м/с. Пусть приемлемой погрешностью в определении скорости будет 0,001 м/с. Оценимс помощью соотношения неопределенностей (3.23) предельно достижимую точность в определении координаты. Она оказывается порядка5·10−32 м, что много меньше размеров атомного ядра.Таким образом, в макромире соотношение неопределенностей практически не сказывается.

Можно сказать, что физическая система будет микрообъектом, если в соотношении Гейзенберга неопределенности4Самосопряженность здесь не требуется!43будут сравнимы со средними значениями физических величин. Поэтому соотношение неопределенностей удобно использовать для оценкиразличных физических величин в квантовых системах.Пример 3.10.

Частица массы m совершает одномерное финитноедвижение вдоль отрезка длиной a. Оценить наименьшую энергию частицы.Решение. Если считать, что неопределенность координаты порядкадлины отрезка, то, вспоминая нерелятивистскую связь между энергиейи импульсом, получаем Emin & ℏ2 /(ma2 ).Задачи для самостоятельного решения27. Частица приведена в состояние с волновой функциейA sin πnx при 0 6 x 6 a;aΨ(x) =0при x < 0 или x > a,где n = 1, 2, . . . Вычислить hxi, h(∆x)2 i, hpx i, h(∆px )2 i.22 (Ответ: a/2, a2 16 − π21n2 , 0, πnℏсоответственно.)a228. Показать, что функция Ψ(x) = xe−x /2 является собственной функd2− x2 , и найти соответствующее собственноецией оператора F̂ =2dxзначение.29. Показать, что функция Ψ(θ) = cosθ является собственной функци1 ddей оператора F̂ = −sin θ, и найти соответствующее собsin θ dθdθственное значение.30.

Показать, что функция Ψ(θ, ϕ) = sin θ e±iϕ является собственнойфункцией оператора L2 [см. (2.32)], и найти соответствующее собственное значение.sin ξ31. Показать, что функция Ψ(ξ) =является собственной функξd22 dцией оператора F̂ = 2 +, и найти соответствующее собственноеdξξ dξзначение.32. Показать, что функция Ψ(ρ) = e−ρ/3 ρ3 является собственной функd2 2 6цией оператора F̂ = 2 + − 2 , и найти соответствующее собственноеdρρ ρзначение.4433.

Найти собственные значения и собственные функции оператора p̂.(Ответ: p — произвольный вещественный вектор;Ψp (r) = (2πℏ)−3/2 exp[ipr/ℏ].)34. Найти собственные значения и соответствующие собственные функ∂ции антиэрмитова оператора. В чем заключается принципиальное∂xотличие ответа от случая эрмитова оператора?35. Записать и проанализировать соотношение неопределенностей дляслучая совместно измеримых величин.36. Среди величин r, p, L, L2 найти пары совместно измеримых. Длясовместно неизмеримых записать соотношения неопределенностей.37. Проверить соотношение (3.23) для задачи 27 и волнового пакета изпримера 1.3. (Указание: см.