QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике)

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования«Воронежский государственный университет»И.В. Копытин, А.С. КорневЗадачи по квантовой механикеУчебное пособие для вузовЧасть 14-е изданиеИздательско-полиграфический центрВоронежского государственного университета2009Утверждено научно-методическим советом физического факультета12 января 2009 г., протокол № 1Рецензент доцент С.Д.

КургалинУчебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физикифизического факультета Воронежского государственного университета.Рекомендуется для студентов 3, 4 курсов д/о и 4 курса в/о.Для специальностей: 010701 — Физика, 010801 — Радиофизика и электроника, 010803 — Микроэлектроника и полупроводниковые приборы2ОглавлениеВведение4Глава 1. Квантовые состояния. Волновые функцииГлава 2.

Физические величины. Операторы2.1. Понятие оператора . . . . . . . . . . . . . .2.2. Алгебра операторов . . . . . . . . . . . . . .2.3. Операторы различных физических величин2.4. Эрмитово сопряжение операторов . . . . .................5................1313142028Глава 3. Измеримость физических величин3.1. Средние значения физических величин .

. . . . . . . . .3.2. Определенные значения физических величин . . . . . . .3.3. Совместная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343437Глава 4. Гамильтониан4.1. Временное уравнение Шредингера . . . . . .

. . . . . . .4.2. Плотность потока вероятности . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Стационарные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46464748Глава 5. Интегралы движения в квантовой механике5.1. Дифференцирование операторов по времени . . . . . . .5.2. Интегралы движения . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .555557ПриложениеА. Интеграл вероятности . . .Б. Гамма-функция и связанныеВ. Символ Леви – Чивита . . .Г. Дельта-функция Дирака . .3.с... . . . . . . . . .ней интегралы .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .........................426161636465ВведениеНастоящее пособие предназначается для практических занятий исамостоятельной работы по курсу «Квантовая теория» для студентоввсех специальностей физического факультета.Пособие содержит пять глав, охватывающих следующие вопросыкурса: квантовые состояния и их волновые функции (гл. 1), физическиевеличины и их операторы (гл. 2), измеримость физических величин(гл. 3), гамильтониан (гл.

4) и интегралы движения (гл. 5).В курсе механики была построена теория количественного описаниямеханического движения, или перемещения тела в пространстве. Этатеория (так называемая классическая механика) применима, однако,не всегда. Если механическое действие физической системы по порядку величины совпадает с постоянной Планка ℏ, то движение принимаетиные качественные формы: исчезает само понятие траектории, появляются принципиальные ограничения в точности измерений физическихвеличин, в ряде случаев возникает дискретность значений некоторыхфизических величин, волновой характер движения частиц и т. д. Размеры этих систем по обыденным меркам крайне малы.

Даже для такойотносительно большой частицы, как атом, они порядка 10−10 м. Принято говорить, что данные системы образуют микромир. В свою очередь,системы, подчиняющиеся классической механике, образуют макромир.Механика микромира традиционно называется квантовой механикой,в отличие от классической механики, хотя такое наименование весьма условно.

К объектам микромира относятся элементарные частицы(электрон, протон, нейтрон и др.), ядра, атомы, молекулы и кристаллы.Количественная теория микромира нуждается в специфическом понятийном и математическом аппарате. Почти каждое понятие изображается при помощи некоторой математической конструкции, и приэтом используются многие изученные прежде разделы математики.Приведем значения (в единицах СИ) некоторых фундаментальныхконстант, использованные в настоящем пособии:постоянная Планка ℏ = 1.055 · 10−34 Дж·с;масса электрона me = 9.11 · 10−31 кг.4Глава 1.Квантовые состояния. Волновые функцииОдним из фундаментальных понятий квантовой теории являетсяквантовое состояние системы (микрочастицы).

В данный момент мыпока не можем сказать ничего более определенного о квантовых состояниях. В дальнейшем будем неоднократно уточнять данное понятие.Здесь лишь обратим внимание на его математический аспект: квантовое состояние изображается с помощью волновой функции — некоторойкомплексной функции координат и времени 1 Ψ(ξ, t) (ξ — совокупностьвсех обобщенных координат; для частицы в трехмерном евклидовомпространстве ξ ≡ r).Волновая функция сама по себе не имеет физического смысла, т. е.является ненаблюдаемой величиной.

С ненаблюдаемыми величинамичитатель сталкивался и ранее. В классической механике, например, координата не будет иметь смысла до тех пор, пока не указан выбор начала координат. То же можно сказать и о времени, и о потенциальнойэнергии. В электродинамике ненаблюдаемыми величинами являютсяпотенциалы электромагнитного поля.Для описания свободного движения частицы с массой m и импульсом p (вот первый пример квантового состояния!) Л.

де Бройль предложил использовать плоскую волну:pr − Et,(1.1)Ψp (r, t) = C exp iℏгде E = p2 /2m — энергия частицы, C — некоторая ненулевая константа.В настоящее время функцию (1.1) принято называть волной де Бройля.Предлагаем читателю самостоятельно оценить ее длину для электронав атоме, записав (1.1) через волновой вектор k и частоту ω.Постоянная Планка ℏ — новая фундаментальная физическая константа, специфическая для микромира. В частности, она является ко1В качестве аргумента (динамической переменной) у волновой функции можновыбрать не только координату, но и другие физические величины: импульс, энергиюи т. д.

Зависимость от времени также можно выбрать по-разному в одной и той жефизической ситуации. Данные вопросы исследуются в теории представлений —специальном разделе квантовой теории. В настоящем пособии мы не касаемся этихаспектов и всюду предполагаем волновую функцию зависящей от координаты, т. е.используем так называемое координатное представление волновой функции.5эффициентом пропорциональности между энергией и частотой в (1.1).Соотношения квантовой теории дают классически непротиворечивыерезультаты при формальном переходе к пределу ℏ → 0.В общем случае волновая функция находится из решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,поэтому она определяется с точностью до произвольного постоянного множителя — нормировочной константы.

Если волновые функцииотличаются только постоянным множителем, то соответствующие имсостояния физически эквивалентны.М. Борн предложил следующую физическую интерпретацию волновой функции: квадрат ее модуля пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в точке с координатой ξ:|Ψ(ξ, t)|2 ∼ w(ξ, t).(1.2)В состояниях финитного движения частица локализована в конечной области пространства, так что надлежащим выбором нормировочной константы соотношение (1.2) можно превратить в строгое равенство:|Ψ(ξ, t)|2 = w(ξ, t).(1.3)Согласно теории вероятностей, условие нормировки для волновойфункции финитного движения можно сформулировать следующим образом:Z|Ψ(ξ, t)|2 dξ = 1,(1.4)где интегрирование ведется по всему пространству.Интеграл в (1.4) конечен, только если функция |Ψ(ξ, t)|2 на большихрасстояниях спадает достаточно быстро.

В состояниях инфинитногодвижения, в частности, описываемых волной де Бройля, этот интегралрасходится, так что условие нормировки необходимо сформулироватьиным образом. Там, где это не оговорено отдельно, мы будем рассматривать состояния финитного движения.Из условия (1.4) видно, что даже нормированная волновая функцияопределяется не однозначно, а с точностью до произвольного постоянного фазового множителя: eiδ . В настоящем пособии данный множитель всюду выбирается так, чтобы по возможности упростить видволновой функции.У волновой функции нет универсальной размерности. Ее размерность определяется только элементом интегрирования:[Ψ(ξ, t)] = [dξ]−1/2 .6(1.5)Легко видеть, что при выполнении (1.5) подынтегральное выражениев (1.4) будет безразмерным.В качестве волновой функции может выступать не любая математическая функция, а удовлетворяющая стандартным условиям: конечная, однозначная и непрерывная.

Первые два условия непосредственноследуют из ее вероятностной интерпретации, требование непрерывности мы поясним ниже.Вероятностная интерпретация волновой функции отличается от вероятностной интерпретации законов классической статистической механики. Вероятностный подход в статистической механике обусловленбольшим числом задействованных частиц (∼ 1022 ). В микромире дажев случае единственной частицы ее движение носит вероятностныйхарактер.Ряд философов в целях популяризации квантовой теории иногдаинтерпретируют волновую функцию как «волну вероятности» и широко используют понятие «корпускулярно-волнового дуализма».