QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 8

Вначале найдемэволюцию волнового пакета во времени. Энергетический спектр здесьбудет непрерывным, а в качестве базисных функций удобно использовать (3.14):(4.9)Ψ(x, t > 0) =Z+∞−∞i(3.14)c(p)Ψp (x) exp − Et dp =ℏZ +∞1iℏt 2i=√c(p) exppx −p dp,ℏ2m2π −∞51(4.10)т. е. пакет представляется в виде суперпозиции плоских волн де Бройля.Коэффициентыc(p) =Z+∞−∞Ψ∗p (x)Ψ(x, 0) dx =1=p√2πx0 πZ+∞−∞x2iexp − 2 + ik0 x − px dx.2x0ℏПосле выделения полного квадрата в показателе экспоненты последнийинтеграл приводится к виду (А.4), так чтоs 22 ℏx0 p√ exp −c(p) =− k0 .(4.11)x0 π2 ℏПостановка (4.11) в (4.10) и интегрирование в соответствии с (А.4),(А.5) приводят к явному виду волновой функции частицы:#"2 2kxx2 − 2 ix20 k0 x + i ℏt1m 0 0Ψ(x, t > 0) = p √,exp −22x0 f (t)x0 πf (t)гдеf (t) = 1 + iℏt.mx20Получим теперь закон изменения плотности вероятности с течениемвремени:w(x, t) = |Ψ(x, t)|2 ==x0√π 1+1ℏtmx202 1/220x − ℏkm t exp −2 .ℏt1 + mx2(4.12)0Легко заметить, что плотность вероятности (4.12) по-прежнему имеет форму гауссовой кривой с той же скоростью движения максимума.Однако ее ширина теперь увеличивается с течением времени по законуqx0 (t) = x0 1 + [ℏt/(mx20 )]2 .В начальные моменты времени скорость такого «расплывания» можносчитать постоянной и равной ℏ/(mx0 ).Соотношение неопределенностей для такого пакета будет выполняться в любой момент времени.52Пример 4.9.

Доказать теорему Гельмана – Фейнмана: если гамильтониан стационарной системы зависит от параметра λ, то в произвольном стационарном состоянии с энергией E*+∂ Ĥ∂E=.(4.13)∂λ∂λРешение. Вначале формально продифференцируем стационарное уравнение Шредингера (4.7) по параметру λ, затем домножим его слева наΨ∗ (ξ) и проинтегрируем по ξ с учетом нормировки Ψ(ξ) на 1: ∂Ψ ∂Ψ∂ Ĥ∂EhΨ||Ψi + hΨ| Ĥ =+ E hΨ .(4.14)∂λ∂λ∂λ∂λВоспользуемся теперь самосопряженностью гамильтониана: ∗ (2.34) ∂Ψ ∂Ψ (2.34) ∂Ψ ∂Ψ(4.7)∗ Ĥ |Ψi = E Ψi = E hΨ =hΨ| Ĥ ∂λ .∂λ∂λ ∂λ Теперь вторые слагаемые в обеих частях равенства (4.14) уничтожаются и мы приходим к (4.13).Пример 4.10. У частицы с массой m имеются стационарные состояния Ψi (r) и Ψf (r) с энергиями Ei и Ef соответственно.

Доказатьсоотношение:hΨf | p̂ |Ψi i = imωf i hΨf | r |Ψi i ,(4.15)где ωf i = (Ef − Ei )/ℏ.Решение. Из условия задачи следует, чтоĤΨi (r) = Ei Ψi (r);ĤΨf (r) = Ef Ψf (r),(4.16)где Ĥ — гамильтониан частицы.Из доказанного ранее тождества (2.21) получаем соотношение:iℏhΨf | p |Ψi i .mПреобразуем его левую сторону на основании стационарных уравненийШредингера (4.16) и самосопряженности гамильтониана:hΨf | [r, Ĥ]|Ψi i =(4.16)hΨf | r Ĥ|Ψi i = Ei hΨf | r|Ψi i ;(2.34)(4.16)hΨf | Ĥr|Ψi i = hΨf | Ĥ| rΨi i = hrΨi | Ĥ|Ψf i∗ = Ef hΨf | r|Ψi i .Мы приходим к важному соотношению (4.15).

Оно используется в аналитических преобразованиях, а также при проверке точности приближенных решений уравнения Шредингера.53Задачи для самостоятельного решения39. Плоский ротатор с моментом инерции J в момент времени t == 0 приведен в состояние с волновой функцией (3.19). Найти волновуюфункцию в последующие моменты t > 0. 1iℏt2 iℏt(Ответ: Ψ(ϕ, t) = √1 + cos ϕ exp −+ cos 2ϕ exp −.)2JJ4π40. Могут ли состояния с нижеприведенными волновыми функциямибыть стационарными?Ψ(ξ, t) = Φ(ξ) e−i(ε−iγ)t ; Ψ(ξ, t) = Φ(ξ) e−iεt − Φ∗ (ξ) eiεt ;A2iℏt/αΨ(ϕ, t) =1 − cos 2ϕ e; Ψ(ξ, t) = Φ1 (ξ) e−iεt + Φ2 (ξ) e−2iεt ;2Ψ(ξ, t) = Φ(ξ, t) e−iEt/ℏ ; Ψ(ξ, t) = Φ(ξ, t) eb−iεt .Все константы предполагать вещественными.41∗ .

Показать, что в волновом пакете из примера 4.8 уравнение непрерывности выполняется в любой момент времени.42. Показать, что в стационарных состояниях финитного движениясреднее значение импульса равно нулю.43∗ . Обобщить задачу примера 4.10 на нестационарный случай.54Глава 5.Интегралы движения в квантовой механике5.1.Дифференцирование операторов по времениЧастная производная оператора физической величины F по време∂ F̂ниполучается обычным дифференцированием явной аналитиче∂tской формы оператора.dF̂Полная производная по временитребует специального определеdtния: полной производной будем называть такой оператор, для которогопри усреднении в произвольном состоянии выполняется соотношение:*dF̂dt+def=dhF̂ i.dt(5.1)В квантовой системе с гамильтонианом Ĥ полная производная оператора физической величины F связана с частной производной уравнением движения в форме Гейзенберга:dF̂∂ F̂1=+ [F̂ , Ĥ].dt∂tiℏ(5.2)Таким образом, полная производная оператора по времени существенно зависит от типа взаимодействия в системе.

Она может оказатьсяненулевой даже в том случае, когда оператор не зависит от времениявно, т. е. при нулевой частной производной.Уравнение (5.2) формально получается из известного классическогосоотношения заменой физических величин их операторами, а также1скобок Пуассона коммутатором[. . . , . . .].iℏНа основании (5.2) можно показать, что для полной производнойоператора по времени справедливы те же свойства, что и для производной функции, если учитывать строгий порядок следования сомножителей.Рассмотрим примеры использования соотношения (5.2).55Пример 5.1.

Частица с массой m движется во внешнем силовомполе с потенциальной энергией V (r). Получить явный вид операторовскорости и ускорения частицы.Решение. Операторы координаты и импульса не зависят от времениявно, поэтому∂r∂ p̂= 0,= 0.(5.3)∂t∂tВ соответствии с (5.2), (5.3) имеем:1dr(2.21) p̂=[r, Ĥ] =;dtiℏm1 dp̂11(2.22)ŵ ==[p̂, Ĥ] = − ∇V (r).m dtiℏmmv̂ =(5.4)(5.5)Соотношения (5.4), (5.5) имеют классические аналоги.Пример 5.2. Доказать квантовую теорему о вириале: если потенциальная энергия имеет вид ямы V (r) = V0 rN , то в произвольномстационарном состоянии для средних значений кинетической и потенциальной энергии выполняется соотношение:2hT i = N hV i.(5.6)Решение. Введем вспомогательную величину F̂ = rp̂ (вириал).

Очевидно, что в произвольном стационарном состоянииdhrpi = 0.dt(5.7)С другой стороны,d(5.1)hrpi =dtd(5.7)(rp) = 0.dt(5.8)В соответствии со свойствами полной производной оператора по времени и результатами задачи из предыдущего примераddrdp̂p̂2(rp̂) =p̂ + r=− r∇V (r) = 2T̂ − N V0 rN = 2T̂ − N V,dtdtdtmгде m — масса частицы.На основании (5.8) из последнего равенства получается (5.6).565.2.Интегралы движенияИнтегралом движения (или сохраняющейся величиной) называется физическая величина, среднее значение которой в произвольном состоянии не зависит от времени.В соответствии с определением (5.1) критерием сохранения физической величины является равенство нулю полной производной ее оператора по времени.В частности, если физическая величина не зависит явно от времени,критерием ее сохранения будет коммутация ее оператора с гамильтонианом физической системы [см.

(5.2)].Таким образом, наличие интегралов движения полностью определяется типом физического взаимодействия в квантовой системе, а точнее — его пространственно-временно́й симметрией.Рассмотрим типичные примеры интегралов движения.Пример 5.3. Показать, что если гамильтониан не зависит явно отвремени, то полная энергия будет интегралом движения.Решение. В данной ситуации гамильтониан будет оператором полнойэнергии.

Поэтому после замены в (5.2) F̂ → Ĥ мы приходим к равенствунулю полной производной гамильтониана, т.к. в отсутствие его явнойзависимости от времени его частная производная обращается в нуль.Пример 5.4. Показать, что в отсутствие силовых полей импульссохраняется.Решение.

В явный вид оператора импульса p̂ = −iℏ∇ время не входит, поэтому его частная производная по времени обращается в нуль иостается найти условие обращения в нуль его коммутатора с гамильтонианом:1(2.20)[p̂2 , p̂] +[V, p̂] = iℏ grad V.[Ĥ, p̂] =2m | {z }0Данное равенство обращается в нуль только в отсутствие внешних силовых полей.Как следствие, сохраняется проекция импульса на то направление,вдоль которого не действуют никакие силы.Пример 5.5. Показать, что в аксиально-симметричных силовых полях проекция орбитального момента на ось симметрии является интегралом движения.Решение.

Задачу удобно решать в цилиндрических координатах(ρ, ϕ, z), когда потенциальная функция не зависит от полярного угла57[V (r) = V (ρ, z)]. Рекомендуем самостоятельно получить гамильтонианчастицы массой m в аксиально-симметричном поле:ℏ2 1 ∂∂1 ∂2∂2Ĥ = −ρ+ 2+ 2 +V (ρ, z).(5.9)2m ρ ∂ρ∂ρρ ∂ϕ2∂z|{z}∇2В цилиндрических координатах, подобно сферическим, L̂z определяется соотношением (2.31) (показать самостоятельно) и не содержитявной зависимости от времени, поэтому достаточно доказать коммутацию (2.31) и (5.9).

Отсутствие зависимости V (ρ, z) от полярного угла вцилиндрических координатах очевидным образом приводит к обращению в нуль коммутатора [Ĥ, L̂z ] с гамильтонианом (5.9).Пример 5.6. Показать, что в сферически-симметричных (центральных) силовых полях квадрат орбитального момента является интегралом движения.Решение. Задачу удобно решать в сферических координатах (r, θ, ϕ),когда потенциальная функция не зависит от полярного угла [V (r) == V (r)]. Рекомендуем самостоятельно получить гамильтониан частицымассой m в центральном поле:"2#2ℏ1 ∂∂L̂r2+ 2 +V (r).Ĥ = −(5.10)22m r ∂r∂rr|{z}∇2Вид оператора L2 в сферических координатах дается выражением(2.32) и не содержит явной зависимости от времени, поэтому достаточно доказать коммутацию (2.32) и (5.10).