QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 4

Решение полностью аналогично примеру 2.7, с той лишь разницей, что множитель x заменяется на f (x):p̂x f (x)Ψ = −iℏ∂∂f∂Ψ{f (x)Ψ} = −iℏΨ − iℏf.∂x∂x∂xВ конечном итоге получаем соотношение[f (x), p̂x ] = iℏ∂f (x),∂x(2.19)обобщающее (2.17).Пример 2.11. Вычислить коммутатор [V (r), p̂], где V (r) — дифференцируемая скалярная функция координат.Решение. Запишем вначале все векторные операторы в декартовом базисе:[V (r), p̂] = [V (r),Xk(2.8)ek p̂k ] =Xk22(2.19)ek [V (r), p̂k ] = iℏXkek∂V.∂xkВспоминая вид градиента в декартовом базисе, получаем:(2.20)[V (r), p̂] = iℏ grad V (r).Очевидно, соотношение (2.19) есть частный случай (2.20).Пример 2.12. Вычислить коммутаторы [r, Ĥ], [p̂, Ĥ], предполагаяизвестными вид потенциальной энергии V (r) и массу частицы m.Решение.

Основываясь на данных таблицы 2.1 и результате примера 2.9, имеем:p̂2iℏ(2.8) 1[r, Ĥ] = [r,+ V (r)] =[r, p̂2 ] + [r, V (r)] =p̂.| {z } m2m2m0Второй коммутатор вычислим из соотношения (2.20):1p̂2(2.20)(2.8)+ V (r), p̂] = −[p̂2 , p̂] −[V (r), p̂] =[p̂, Ĥ] = −[Ĥ, p̂] = −[2m2m | {z }(2.4)0= −iℏ grad V (r).Объясните, почему [r, V (r)] = 0, [p̂2 , p̂] = 0.Выпишем теперь результаты:[r, Ĥ] =iℏp̂ ;m[p̂, Ĥ] = −iℏ grad V (r).(2.21)(2.22)Данные тождества используются при выводе некоторых фундаментальных соотношений квантовой теории.Рассмотрим теперь оператор орбитального момента L̂, или момента количества движения.

Его декартовы компоненты выражаются через координату и проекцию импульса с помощью следующего соотношения:XL̂k =εklm xl p̂m .(2.23)l,mЗдесь εklm — символ Леви – Чивита. Его свойства собраны в приложении В.Пример 2.13. Вычислить коммутатор [xk , L̂l ].23Решение. Представим L̂l согласно (2.23):(2.23)[xk , L̂l ] = [xk ,XX(2.8)εlmn xm p̂n ] =m,n=X(2.13)εlmn [xk , xm p̂n ] =m,nεlmn {[xk , xm ] p̂n + xm [xk , p̂n ]} = iℏ| {z }| {z }m,n0iℏδknXεlmk xm = iℏmXεklm xm .mНа последнем шаге мы сделали циклическую перестановку индексов,от которой значение символа Леви – Чивита не изменяется.Приведем ответ:[xk , L̂l ] = iℏX(2.24)εklm xm .mТождество (2.24) содержит в себе 9 тривиальных соотношений:[x, L̂x ] = 0;[y, L̂y ] = 0;[y, L̂y ] = 0;[x, L̂y ] = iℏ z;[y, L̂z ] = iℏ x;[z, L̂x ] = iℏ y;[y, L̂x ] = −iℏ z;[z, L̂y ] = −iℏ x;[x, L̂z ] = −iℏ y.Легко видеть, что использование ε-символа делает формулы более компактными.Таким образом, в отличие от импульса с координатой коммутируют одноименные проекции орбитального момента.Пример 2.14.

Вычислить коммутатор [p̂k , L̂l ].Решение. В отличие от предыдущей задачи мы для большей наглядности не будем здесь использовать символ Леви – Чивита. Для определенности вычислим коммутатор [p̂x , L̂x ]:(2.23)(2.13)[p̂x , L̂x ] = [p̂x , y p̂z ] − [p̂x , z p̂y ] == − [y, p̂x ] p̂z + y [p̂x , p̂z ] + [z, p̂x ] p̂y − z [p̂x , p̂y ] = 0.| {z }| {z } | {z }| {z }0000Таким образом,[p̂x , L̂x ] = 0.(2.25)Такой же результат получается и при замене в (2.25) x → y, z (проверьте самостоятельно!), т. е.

операторы одноименных проекций импульсаи орбитального момента всегда коммутируют.24Аналогичным образом вычислим следующие коммутаторы:(2.23)(2.13)[p̂x , L̂y ] = [p̂x , z p̂x ] − [p̂x , xp̂z ] == − [z, p̂x ] p̂x + z [p̂x , p̂x ] + [x, p̂x ] p̂z − x [p̂x , p̂z ] = iℏ p̂z .| {z }| {z } | {z }| {z }0и0(2.23)0iℏ(2.13)[p̂y , L̂x ] = [p̂y , y p̂z ] − [p̂y , z p̂y ] == − [y, p̂y ] p̂z + z [p̂y , p̂z ] + [z, p̂y ] p̂y − z [p̂y , p̂y ] = −iℏ p̂z .| {z }| {z } | {z }| {z }0iℏ0Таким образом,[p̂x , L̂y ] = iℏ p̂z ;[p̂y , L̂x ] = −iℏ p̂z .0)(2.26)Непосредственной проверкой (выполнить ее самостоятельно!) можноубедиться, что структура выражений (2.26) не меняется при произвольной циклической перестановке индексов x, y и z, т.

е. операторыразноименных проекций импульса и орбитального момента не коммутируют.Упомянутая симметрия выражений (2.25) и (2.25) позволяет их объединить с использованием символа Леви – Чивита (проверить самостоятельно!):[p̂k , L̂l ] = iℏXεklm p̂m .(2.27)mДанное соотношение полностью аналогично свойству (2.24) с заменойxk → p̂k .Пример 2.15.

Вычислить коммутатор [L̂k , L̂l ].Решение. Предлагаем вначале самостоятельно получить следующеевспомогательное тождество:[xs p̂t , xσ p̂τ ] = iℏ δτ s xσ p̂t − iℏ δσt xs p̂τ .(2.28)Подставим теперь в коммутатор операторы проекций в виде (2.23):X(2.23) X(2.8) X(2.28)[L̂k , L̂l ] = [εkst xs p̂t ,εlστ xσ p̂τ ] =εkst εlστ [xs p̂t , xσ p̂τ ] =stsσtτστ25= iℏXxσ p̂tσt= iℏXsXσtεtks εlσs − iℏXXxs p̂τsτεksσ ετ lσ(В.15)=σxσ p̂t (δtl δkσ − δtσ δkl ) − iℏXsτxs p̂τ (δkτ δsl − δkl δsτ ).Переобозначим в последней сумме бегущие индексы s → σ, τ → t:[L̂k , L̂l ] = iℏXσt(В.15)xσ p̂t (δlt δkσ − δlσ δkt ) = iℏ= iℏXεklmmXXεlkm εtσm xσ p̂t =σtmεmσt xσ p̂t = iℏεklm L̂m .mσt|X{z}L̂mПри выполнении всех вычислений мы регулярно использовали перестановочные свойства символа Леви – Чивита. Выпишем теперь окончательный результат:[L̂k , L̂l ] = iℏX(2.29)εklm L̂m .mТождество (2.29) состоит из трех тривиальных соотношений:[L̂x , L̂y ] = iℏL̂z ;[L̂y , L̂z ] = iℏL̂x ;[L̂z , L̂x ] = iℏL̂y .Их можно было бы получить и без использования символа Леви – Чивита на основе тривиальных коммутационных соотношений, найденныхв предыдущих примерах.2Пример 2.16.

Вычислить коммутатор [L̂k , L̂ ].2Решение. Представим L̂ в декартовом базисе:2[L̂k , L̂ ] = [L̂k ,Xl=Xl(2.8)L̂2l ] =X(2.13)[L̂k , L̂l L̂l ] =l(2.29){[L̂k , L̂l ]L̂l + L̂l [L̂k , L̂l ]} = iℏ= iℏXXεklm (L̂m L̂l + L̂l L̂m ) =lmεklm L̂m L̂l + iℏlmXεklm L̂l L̂m .lmВ последней сумме переобозначим бегущие индексы l ⇄ m и воспользуемся перестановочным свойством ε-символа:XX2[L̂k , L̂ ] = iℏ(εklm + εkml )L̂m L̂l = iℏ(εklm − εklm )L̂m L̂l = 0.lmlm26Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с любой его проекцией:2(2.30)[L̂k , L̂ ] = 0.Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента.

Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделатьпредельный переход ℏ → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такойрезультат не противоречит классической механике.Задачи для самостоятельного решения12. Раскрыть скобки:p̂xxp̂xx−+;x0p0x0p0xp̂x+x0p02;xp̂x+x0p03.Здесь x0 , p0 — константы с размерностью координаты и импульса соответственно.13. Вычислить коммутаторы: [r, (rp̂)]; [p̂, r 2 ]; [r 2 , (rp̂)]; [p̂2 , (rp̂)];[r 2 , Ĥ]; [p̂2 , Ĥ]; [(rp̂), Ĥ].14. Доказать тождество:[A(r), p̂] = iℏ divA(r),где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат.15.

Доказать, что [p̂ × r] = −L̂.16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви –Чивита.217. Записать операторы L̂z и L̂ в сферических координатах.(Ответ:L̂z = −iℏ∂;∂ϕ(2.31)2L̂ = −ℏ2 ∇2θϕ = −ℏ2∂11 ∂∂2sin θ+.)sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ218. Вычислить коммутаторы: [L̂, r 2 ]; [L̂, p̂2 ]; [L̂, (rp̂)].19. Доказать тождества:[f (r), L̂] = iℏ [r × gradf (r)];27(2.32)[A(r), L̂] = iℏ r rotA(r);2[g(r), L̂ ] = 0,где f (r), g(r), A(r) — дифференцируемые функции координат.2.4.Эрмитово сопряжение операторовОператор F̂ † называется эрмитово сопряженным по отношению кF̂ , если для произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) выполняется равенство:ZdefΦ∗ (ξ)F̂ † Ψ(ξ) dξ =ZΨ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ.(2.33)Интегралы в (2.33) удобно записывать в дираковских обозначениях :def∗hΨ| F̂ † |Φi = hΦ| F̂ |Ψi .(2.34)Конструкция hΦ| F̂ |Ψi называется матричным элементом оператораF̂ между состояниями |Ψi и |Φi.

«Обкладки» являются аналогом матричных индексов. Определение (2.34) соответствует определению эрмитово сопряженной матрицы.Если действие оператора на функцию сводится к ее умножению нанекоторую функцию c(ξ): F̂ Ψ(ξ) = c(ξ)Ψ(ξ), то, как легко видеть изопределений,c† (ξ) = c∗ (ξ).(2.35)Пример 2.17. Найти∂∂x†.Решение. Воспользуемся определением (2.33) и преобразуем интегралинтегрированием по частям:Z+∞−∞ †Z +∞∂∂Φ∗ (x)(2.33)∗Φ (x)Ψ(x) dx =Ψ(x)dx =∂x∂x−∞+∞ Z +∞ ∂∗∗= Ψ(x)Φ (x)−Φ (x)Ψ(x) dx.∂x−∞−∞∂Если предположить, что операторзадается на функциях, нор∂xмированных на единицу, то разность на пределах обращается в нуль28(поскольку такие функции на бесконечности обращаются в нуль).

ПоэтомуZ+∞−∞ †Z +∞∂∂∗Φ (x)Ψ(x) dx =Φ (x) −Ψ(x) dx.∂x∂x−∞∗Данное равенство выполняется для произвольных функций Ψ и Φ, такчто имеет место операторное равенство:∂∂x†=−∂.∂x(2.36)Таким образом, при эрмитовом сопряжении оператор производной меняет знак.Пример 2.18. Доказать, что (F̂ † )† = F̂ .Решение. Воспользуемся определением эрмитова сопряжения в дираковских обозначениях (2.34) дважды, а также свойством повторногокомплексного сопряжения [(z ∗ )∗ = z]:(2.34)hΦ| (F̂ † )† |Ψi = hΨ| F̂ † |Φi∗ (2.34)= hΦ| F̂ |Ψi .Произвольность в выборе функций в «обкладках» доказывает требуемое утверждение.Пример 2.19.

Выразить (F̂ Ĝ)† через F̂ † и Ĝ† .Решение. При действии оператора на функцию получается другаяфункция. Поэтому, основываясь на определении (2.34), имеем:(2.34)(2.34)∗hΦ| (F̂ Ĝ)† |Ψi = hΨ| (F̂ Ĝ) |Φi = hΨ| F̂ | ĜΦi∗ = hĜΦ | F̂ † |Ψi =(2.34)∗ (2.34)= hĜΦ | F̂ † Ψi = hF̂ † Ψ | ĜΦi∗ = hF̂ † Ψ| Ĝ |Φi= hΦ| Ĝ† |F̂ † Ψi == hΦ| Ĝ† F̂ † |Ψi .Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение:(F̂ Ĝ)† = Ĝ† F̂ † ,(2.37)т. е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет порядок следования сомножителей на противоположный. Ситуация полностью аналогична обращению произведения операторов (2.12).29Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если онсовпадает со своим эрмитовым сопряжением:defF̂ † = F̂ .(2.38)Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на основе (2.33), (2.38):Z∗defΦ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =ZΨ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ,(2.39)а также в дираковских обозначениях (2.34):def∗(2.40)hΨ| F̂ |Φi = hΦ| F̂ |Ψi .Определение (2.40) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми матрицами.Введем также определение антиэрмитова оператора:defF̂ † = −F̂ .Пример 2.20.