QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 5

Доказать самосопряженность оператора проекции импульса p̂x .Решение.1 способ. Задачу можно решать по полной аналогии с примером 2.17,т. е., исходя из определения (2.39), получать равенство:Z+∞∗Φ (x) p̂x Ψ(x) dx =−∞Z+∞−∞Ψ(x) p̂∗x Φ∗ (x) dx.Мы рекомендуем выполнить все выкладки самостоятельно.2 способ. Воспользуемся явным видом оператора проекции импульса(2.15), а также уже доказанными свойствами (2.35)–(2.37) и определением в форме (2.38):(2.15)p̂†x =† †∂∂∂(2.37)−iℏ=(−iℏ)† = −iℏ∂x∂x∂x(2.15)= p̂x .Мы доказали самосопряженность оператора проекции импульса.Самосопряженность оператора координаты практически очевидна(обоснуйте!).30Пример 2.21.

Доказать самосопряженность оператора орбитального момента.Решение.1 способ. Докажем самосопряженность проекции орбитального момента на произвольное направление. Ориентируем ось Oz сферическойсистемы координат вдоль этого направления. В такой системе координат вид оператора L̂z будет наиболее простым (2.31).

Будем опиратьсяна определение в форме (2.39):Z02πZ2π∂Ψ(ϕ)dϕ =∂ϕ0#2π Z 2π∗∂Φ(ϕ)= −iℏ Φ∗ (ϕ)Ψ(ϕ) −Ψ(ϕ)dϕ .∂ϕ00(2.31)∗Φ (ϕ)L̂z Ψ(ϕ) dϕ = −iℏ"Φ∗ (ϕ)В примере 1.4 было показано, что волновая функция, зависящая отполярного угла, для выполнения условия однозначности должна быть2π-периодичной. Поэтому разность на пределах обращается в нуль. Изэтого следует самосопряженность L̂z :Z 2πZ 2π∗Φ (ϕ)L̂z Ψ(ϕ) dϕ =Ψ(ϕ)L̂∗z Φ∗ (ϕ) dϕ.002 способ.

Воспользуемся видом L̂ в декартовых координатах (2.23),принимая во внимание правило (2.37), самосопряженность координатыи импульса, а также результат задачи 15:†L̂ = [r × p̂]† = −[p̂ × r] = L̂.Самосопряженность оператора орбитального момента доказана (объясните появление знака «минус»).Пример 2.22. Доказать самосопряженность оператора инверсии.Решение. Построим два интеграла и преобразуем их на основании определения оператора инверсии (таблица 2.1):ZZˆΦ∗ (r)IΨ(r)d3 r = Φ∗ (r)Ψ(−r) d3 r;ZZZ∗ 3∗3ˆΨ(r)[IΦ(r)] d r = Ψ(r)Φ (−r) d r = (r → −r) = Φ∗ (r)Ψ(−r) d3 r.Равенство этих интегралов позволяет на основании (2.33) сделать вывод о самосопряженности оператора инверсии.31Легко установить самосопряженность суммы эрмитовых операторовF̂ и Ĝ.

С их произведением, однако, может возникнуть проблема: делов том, что в соответствии с правилом (2.37),[F̂ Ĝ]† = Ĝ† F̂ † = ĜF̂ 6= F̂ Ĝ.Таким образом, произведение эрмитовых операторов будет эрмитовым только в случае их коммутации.Из произведений двух эрмитовых операторов можно, тем не менее,построить следующие эрмитовы комбинации: i[F̂ , Ĝ] и {F̂ , Ĝ} (убедиться в их самосопряженности самостоятельно!).Оператор Û называется унитарным, если его эрмитово сопряжениесовпадает с обратным оператором:defÛ −1 = Û † .(2.41)Пример 2.23. Оператор сдвига определяется следующим образом:defT̂a Ψ(x) = Ψ(x − a),(2.42)где Ψ(x) — произвольная волновая функция. Найти аналитическийвид этого оператора и показать его унитарность.Решение. Разложим правую часть (2.42) в ряд Тейлора по степеням∂ 0 Ψ(x)≡ Ψ(x):параметра сдвига a, предполагая∂x0n∞∞n nXX1∂(2.15)n a ∂ Ψ(x)Ψ(x − a) =(−1)=−aΨ(x)=nn!∂xn!∂xn=0n=0"∞n #X 1 i=− ap̂xΨ(x).n!ℏn=0Если вспомнить разложение экспоненты в ряд Тейлора, то в соответствии с определением 9◦ для оператора под знаком функции суммуiв квадратных скобках можно представить в виде exp − ap̂x .

Еслиℏтеперь воспользуемся определением операторного равенства 1◦ , то получим окончательный ответ:iT̂a = exp − ap̂x .(2.43)ℏСопоставление (2.43) с (2.41) позволяет сделать вывод об унитарностиоператора сдвига.32Задачи для самостоятельного решения20. Доказать самосопряженность операторов физических величин изтаблицы 2.1.21. Операторы F̂ и Ĝ эрмитовы.

Доказать самосопряженность i[F̂ , Ĝ]и {F̂ , Ĝ}.22. Доказать самосопряженность операторов Â = F̂ † F̂ и B̂ = F̂ F̂ † .23. Доказать, что произвольный оператор можно однозначно представить в виде суммы эрмитова и антиэрмитова операторов.(Указание. Провести аналогию со случаем, когда произвольная функция представляется в виде суммы четной и нечетной функций).24.

Получить аналитический вид оператора 3-мерного сдвига:defT̂a Ψ(r) = Ψ(r − a).25. Получить аналитический вид оператора поворота на угол ϕ0 вокругоси, задаваемой единичнымвекторомn.i(Ответ: R̂n (ϕ0 ) = exp − ϕ0 nL̂ .)ℏ26. Показать, что произведение унитарных операторов само являетсяунитарным оператором.33Глава 3.Измеримость физических величин3.1.Средние значения физических величинИзмерение физических величин в квантовой и классической механике существенно различается.

Прежде всего квантовую систему нужнопривести в то состояние, в котором величину F необходимо измерить.Пусть волновая функция этого состояния Ψ(ξ) 1 . В результате тогоили иного измерения состояние микрообъекта, как правило, разрушается (например, для фиксации летящего электрона на его пути ставятфотопластинку; после взаимодействия с ней этот электрон поглощается и уже не может быть зафиксирован повторно тем же способом).

Дляповторного измерения квантовую систему необходимо вновь привестив то же самое состояние и т. д. Среднее значение величины F получается усреднением результатов таких многократных измерений. Еслиизвестна волновая функция квантовой системы, то среднее значение Fвычисляется по формулеZhF i = Ψ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ,(3.1)где F̂ — оператор величины F . Формулу (3.1) можно также пониматькак определение оператора величины F . Волновая функция в (3.1)должна быть нормирована на 1 в соответствии с (1.4).

Если же используется ненормированная волновая функция финитного движения, тоформулу (3.1) необходимо обобщить следующим образом:R ∗Ψ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξRhF i =.|Ψ(ξ)|2 dξСреднее значение по своему смыслу должно быть величиной вещественной.Пример 3.1. Показать, что необходимым и достаточным условиемвещественности среднего значения величины F является самосопряженность ее оператора F̂ .1Зависимость волновой функции от времени не учитываем, так как в данномразделе она не существенна.34Решение.

Докажем вещественность среднего значения F , предполагаяF̂ самосопряженным:ZZ(2.39)(3.1)∗ (3.1)∗ ∗hF i =Ψ(ξ)F̂ Ψ (ξ) dξ =Ψ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ = hF i.Доказать обратное утверждение несложно.Таким образом, для вещественности среднего значения физическойвеличины оператор этой физической величины должен быть самосопряженным.

Помимо линейности, это второе требование, предъявляемое к оператору физической величины.Формулу среднего значения F в состоянии с волновой функциейΨ(ξ) можно также представить в дираковских обозначениях:(3.2)hF i = hΨ| F̂ |Ψi .Пример 3.2. Показать, что среднее значение квадрата физическойвеличины F неотрицательно.Решение. В соответствии со сказанным выше оператор F̂ долженбыть самосопряженным. Поэтому F̂ 2 тоже будет самосопряженным[см.

(2.37)], а hF 2 i — вещественным. Дальнейшее доказательство удобнопроводить в дираковских обозначениях, предполагая F̂ = F̂ † :2(3.2)2hF i = hΨ| F̂ |Ψi = hΨ| F̂ | F̂ Ψi(2.40)=hF̂ Ψ | F̂ Ψi =Z|F̂ Ψ(ξ)|2 dξ.Последний интеграл будет величиной неотрицательной, что и доказывает наше утверждение.Следует предостеречь читателя от возможной путаницы между hF 2 iи hF i2 . И вообще, hf (F )i =6 f (hF i) только за исключением случая линейной функции f (z).Описанный выше способ измерения физической величины F даетс математической точки зрения последовательность случайных чисел.Характеристикой их разброса относительно среднего значения служитсреднеквадратичное отклонение:defh(∆F )2 i = h(F − hF i)2 i.(3.3)Более удобной формулой для вычисления h(∆F )2 i по сравнению с (3.3)являетсяh(∆F )2 i = hF 2 i − hF i2 .(3.4)35Пример 3.3.

Для волнового пакета из примера 1.3 вычислить hxi,h(∆x)2 i; hpx i, h(∆px )2 i.Решение. Нормировочная константа вычислена в примере 1.3, так чтонормированная волновая функция имеет вид1x2Ψ(x) = p √ exp − 2 + ik0 x ,(3.5)2x0x0 πа средние значения вычисляются по формуле (3.1).Для координаты 2Z +∞1xhxi = √x exp − 2 dx = 0x0 π −∞x0вследствие нечетности подынтегральной функции. Обратите вниманиена исчезновение множителя eik0 x при возведении его модуля в квадрат!Для среднеквадратичного отклонения координаты 2Z +∞1x22 (3.4)222x exp − 2 dx =h(∆x) i = hx i − hxi = hx i = √x0 π −∞x0Z+∞2x20(А.3) x02 −ξ 2.= (x = x0 ξ) = √ξ e dξ =2π −∞Оператор импульса — дифференциальный.

ПоэтомуZ +∞Z +∞∂Ψ(x)∗dx =hpx i =Ψ (x)p̂x Ψ(x) dx = −iℏΨ∗ (x)∂x−∞−∞ 2Z +∞ iℏxx=− √− 2 + ik0 exp − 2 dx = ℏk0 ;x0 π −∞x0x0hp2x iZ+∞Z+∞∂ 2 Ψ(x)=Ψ= −ℏΨ (x)dx =∂x2−∞−∞+∞2Z +∞ ∂Ψ(x)∂Ψ(x)2 dx == −ℏ2 Ψ∗ (x)+ℏ∂x −∞∂x −∞|{z}∗(x)p̂2x Ψ(x) dx2=ℏ√x0 πZ0+∞−∞2∗ 2x2xℏ22+ k0 exp − 2 dx = 2 + ℏ2 k02 ;4x0x02x0ℏ2h(∆px ) i =− hpx i = 2 .2x0Рекомендуем самостоятельно проделать все промежуточные выкладки.2(3.4)hp2x i3623.2.Определенные значения физических величинОписанная выше методика измерения физической величины F умикрообъекта дает ненулевые значения h(∆F )2 i даже в случае идеального прибора с нулевой погрешностью. Такая неопределенность взначении величины F есть объективное свойство движения в микромире. Поэтому возникает проблема поиска состояний с определеннымизначениями F . Определенность (измеримость) величины F в некотором состоянии квантовой системы означает, что при каждом акте ееизмерения будет получаться одно и то же значение этой величины.Данная проблема решается, если отождествить получаемые в эксперименте значения физической величины F с собственными значениямиее оператора F̂ , а соответствующие состояния изображать соответствующими этим значениям собственными функциями оператора F̂ :(3.6)F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).С математической точки зрения уравнение (3.6) представляет собойзадачу собственных функций и собственных значений оператора F̂ .

Онатребует отыскания нетривиальных [ΨF (ξ) 6≡ 0] решений уравнения(3.6) с заданными граничными условиями. Выбор последних диктуется физическими стандартными условиями, которым подчиняется волновая функция (конечность, однозначность, непрерывность). В общемслучае F̂ представляет собой линейный дифференциальный оператор,так что уравнение (3.6) является линейным однородным дифференциальным уравнением 2 . Однородность приводит к неоднозначности егорешений: они определены с точностью до произвольного постоянногомножителя, т. е. должны быть нормированы.2Пример 3.4. Показать, что функция Ψ(x) = e−x /2 является собd2− x2 , и найти соответствуственной функцией оператора F̂ =2dxющее собственное значение.Решение.

Необходимо лишь показать, что действие оператора F̂ нафункцию Ψ(x) приводит к умножению последней на некоторую константу. Ее значение при этом будет получено автоматически:F̂ Ψ(x) =2d2d2 −x2 /22−x2 /22 −x2 /2−xe=e−xe=dx2dx2= −e−xКак правило, не выше второго порядка.372/2= −1 Ψ(x).|{z}FТаблица 3.1Свойства собственных значений и собственных функцийлинейного эрмитова оператораСвойствоДискретный спектруравнениеортонорм.полнотаF̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ)RPnразлож.побазисуНепрерывный сректрΨ∗n′ (ξ)Ψn (ξ) dξ = δn′ nΨ∗n (ξ)Ψn (ξ ′ ) = δ(ξ ′ − ξ)PΦ(ξ) =cn Ψn (ξ)nRcn = Ψ∗n (ξ)Φ(ξ) dξP|cn |2 = 1nF̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ)RRΨ∗F ′ (ξ)ΨF (ξ) dξ = δ(F ′ − F )Ψ∗F (ξ)ΨF (ξ ′ ) dF = δ(ξ ′ − ξ)RΦ(ξ) = c(F )ΨF (ξ) dFRc(F ) = Ψ∗F (ξ)Φ(ξ) dξR|c(F )|2 dF = 1Итак, данное в условии утверждение доказано; найдено собственноезначение F = −1.Собственные значения и собственные функции линейных эрмитовых операторов обладают рядом специфических свойств.