QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 9

Отсутствие зависимости V (r)от сферических углов в сферических координатах очевидным образом2приводит к обращению в нуль коммутатора [Ĥ, L̂ ] с гамильтонианом(5.10).Как видим, условия сохранения рассмотренных величин такие же,как и в классической механике.Исследуем теперь условия сохранения типично квантовой величины — четности.Пример 5.7.

Показать, что если потенциальная энергия являетсячетной функцией координат, то четность будет интегралом движения.58Решение. Запишем гамильтониан частицы массы m в поле V (r) == V (−r) для удобства в следующем виде:ℏ2 ∂ 2Ĥ(r) = −+ V (r).2m ∂r 2(5.11)В соответствии с таблицей 2.1 четность изображается оператороминверсии, который не содержит явной зависимости от времени. Поэтому достаточно доказать его коммутацию с гамильтонианом (5.11), приˆнимая во внимание четность V (r). Подействуем коммутатором [Ĥ(r), I]на произвольную функцию Ψ(r):ˆˆ[Ĥ(r), I]Ψ(r)≡ Ĥ(r)IΨ(r)−IˆĤ(r)Ψ(r) = Ĥ(r)Ψ(−r)−Ĥ(−r)Ψ(−r) =ℏ2 ∂ 2 Ψ(−r)ℏ2 ∂ 2 Ψ(−r)+ V (r)Ψ(−r) +− V (−r)Ψ(−r) ==−2m∂r 22m ∂(−r)2= [V (r) − V (−r)]Ψ(−r).При условии V (r) = V (−r) данное выражение тождественно обращаˆется в нуль, что и доказывает коммутацию Ĥ(r) и I.Верны и обратные утверждения.Состояния квантовой системы целесообразно выбирать так, чтобыоно характеризовалось максимальным числом независимых совместноизмеримых интегралов движения (их полным набором).

Число элементов в полном наборе равно числу степеней свободы квантовой системы.Задачи для самостоятельного решения44. Показать, что для частицы, движущейся в постоянном однородномполе действия силы f , величина F = p − f t будет интегралом движения.45. Доказать следующие свойства полной производной:ddF̂(αF̂ ) = α;dtdtdF̂dĜd(F̂ + Ĝ) =+;dtdtdtddF̂dĜ(F̂ Ĝ) =Ĝ + F̂.dtdtdt46.

Указать физические величины (их полные наборы), сохраняющиесяпри движении бесспиновых заряженных частиц в следующих полях:591) при свободном движении;2) в поле бесконечного однородного цилиндра с осью Oz;3) в поле бесконечной однородной плоскости (xOy);4) в поле однородного шара;5) в поле бесконечной однородной полуплоскости (xOz), z > 0;6) в поле двух точечных зарядов;7) в однородном переменном поле;8) в поле равномерно заряженного бесконечного прямого провода спеременным зарядом;9) в поле однородного трехосного эллипсоида;10)∗ в поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии с шагом a (Ответ: E, Lz + apz /(2πℏ)).47.

Величины f1 и f2 являются интегралами движения. Показать, чтовеличины, соответствующие операторам {fˆ1 , fˆ2 } и i [fˆ1 , fˆ2 ], будут тожеинтегралами движения.48. В условиях примера 5.2 частица находится в стационарном состоянии с энергией E. Вычислить средние значения кинетической и потенциальной энергии частицы.NE2E; hU i =.)(Ответ: hT i =N +2N +249∗ . Электрон с массой me и зарядом −e (e > 0) движется в поленеподвижного притягивающего кулоновского центра с зарядом Ze > 0.В классическом случае одним из интегралов движения был бы векторРунге – Ленца:r [v × L]A= −.rZe2Построить оператор, соответствующий вектору Рунге – Ленца.

Показать, что эта величина сохраняется и в микромире. Вычислить коммутаторы [L̂i , Âk ], [Âi , Âk ].60Математическое приложениеА.Интеграл вероятностиВычислим вначале интеграл ПуассонаZ +∞2P =e−x dx.−∞Возведем его в квадрат и преобразуем к двойному интегралу:2P =Z+∞e−x2−∞2 Zdx =+∞e−x2dx−∞Z+∞2e−y dy =−∞=Z+∞Ze−x2−y 2dx dy.−∞Если последний интеграл рассматривать в декартовых координатах, тозаменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ его можнопривести к полярным координатам:Z 2πZ ∞Z ∞−r 22e r dr = πe−t dt = π.P =dϕ| 0 {z } 0| 0 {z }2π1Таким образом,P =Z+∞2e−x dx =√(А.1)π.−∞Из (А.1) следует, чтоP (α) =Z+∞2e−αx dx =−∞rπ.α(А.2)n-кратное дифференцирование (А.2) по параметру α приводит к следующему результату:nZ +∞2∂(2n − 1)!! √x2n e−x dx = −P (α)=π.(А.3)n∂α2−∞α=161yzABRe cD0CxРис.

5.1.Рис. 5.2.Приведем здесь главные свойства интеграла Пуассона (А.1).1. При параллельном смещении пути интегрирования в комплексную плоскость его значение не изменяется:Z+∞+ic2e−z dz =√π,(А.4)−∞+icгде c = const.Для доказательства (А.4) следует выбрать контур интегрирования2функции e−z в соответствии с рис. 5.1 и устремить отрезки DA и BCк бесконечности.2.

При произвольном повороте пути интегрирования в комплексной плоскости его значение не изменяется:Z+∞iα 2e−[xe]dx =√π,(А.5)−∞где α = const, − π4 < α < π4 .Для доказательства (А.5) можно вновь воспользоваться контуроминтегрирования из рис. 5.1, но отрезок AB должен теперь проходитьчерез начало координат под углом α к вещественной оси (рис.

5.2).62Интеграл Пуассона (А.1) является частным случаем так называемойфункции ошибок :Z x22e−z dz.erf x = √(А.6)π 0Ее значения табулированы. Легко показать, что erf ∞ = 1. Также используется функцияZ ∞22erfc x = √e−z dz = 1 − erf x.(А.7)π xБ.Гамма-функция и связанные с ней интегралыГамма-функция часто определяется интегралом, зависящим от параметра:Z ∞Γ(z) =tz−1 e−t dt.(Б.8)0Она табулирована и обладает следующими основными свойствами:во-первых,Γ(z + 1) = zΓ(z);(Б.9)во-вторых, при целых отрицательных z и в нуле она имеет простыеполюсы;в-третьих, непосредственное вычисление Γ(1) = 1 вместе с использованием формулы (Б.9) дает:Γ(n) = (n − 1)!(Б.10)Некоторые важные интегралы можно свести к Γ-функции.

Так, например, для интеграла Пуассона имеем: Z +∞1−z 2e dz = 2 Γ.2−∞Другой интеграл, важный в теории атома водорода, получается из(Б.10):Z ∞tn e−t dt = n!(Б.11)0Данная формула также может быть получена последовательным nкратным интегрированием по частям.63В.Символ Леви – ЧивитаСимвол Леви – Чивита εijk , каждый индекс которого может пробегать значения 1, 2, 3, или соответственно x, y, z, определяется следующим образом:1) ε123 = 1;2) символ изменяет знак при перестановке двух любых индексов;как следствие, при наличии одинаковых индексов символ Леви – Чивита обращается в нуль.Можно сформулировать следующее правило вычисления символас тремя различными индексами: символ Леви – Чивита равен 1, еслион приводится к ε123 циклической перестановкой индексов, и −1, еслинециклической перестановкой.Аналогично формулируется перестановочное свойство: при циклической перестановке индексов значение символа Леви – Чивита не изменяется, при нециклической перестановке символ меняет знак.Данный символ удобен для записи декартовых компонент векторных произведений:X[A × B]k =εklm Al Bm ;(В.12)l,m(rot A)k =Xεklml,m∂Am.∂xl(В.13)В записи (В.13) полагается x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.Важнейшее свойство символа εijk выражается тождеством:δkp δlp δmp εklm εpqr = δkq δlq δmq .(В.14)δkr δlr δmr Сворачивая (В.14) по парам соответствующих индексов, получаем:Xεklm εpqm = δkp δlq − δkq δlp ;(В.15)mXεklm εplm = 2δkp ;l,mXεklm εklm = 6.k,l,mТождество (В.15) использовано при выводе коммутационных соотношений для оператора орбитального момента.64Г.Дельта-функция ДиракаДельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регулярной функции ее значение в нуле:Z+∞def(Г.16)δ(x)f (x) dx = f (0).−∞Определение (Г.16) обобщается на 3-мерный случай:Zdef(Г.17)δ(r)f (r) dr = f (0).В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с1-мерной δ-функцией простым соотношением:(Г.18)δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z).Напомним основные свойства δ-функции.1.

Четность: δ(−x) = δ(x).2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального оператора, действующего согласно правилу:Z +∞n(n)n d f (x) .δ (x)f (x) dx = (−1)dxn x=0−∞3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:δ[g(x)] =δ(x − xi ) dg(x) dx Xi,x=xiгде xi — i-й нуль функции g(x). В частности,δ(αx) =δ(x).|α|(Г.19)4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочисленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболеераспространенные интегральное1δ(x) =2πZ+∞−∞65eixq dq(Г.20)и три предельных представления: 21xδ(x) = lim √exp − 2 ;a→0aπaa1;δ(x) = lima→0 π x2 + a21 sin ax.δ(x) = lima→∞ πxСоотношение (Г.20) допускает 3-мерное обобщение:(Г.18)δ(r) =1(2π)366Zeirq d3 q.(Г.21)ЛитератураОсновная1. Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С.

Давыдов. – М. : Наука,1973. – 704 с.2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики / Д.И. Блохинцев. –М. : Наука, 1983. – 664 с.3. Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике / В.М. Галицкий,Б.М. Карнаков, В.И. Коган. – М. : Наука, 1992. – 880 с.4. Сборник задач по теоретической физике / Л.Г. Гречко [и др.] –М. : Высш. шк., 1984. – 319 с.Дополнительная1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10-ти т. / Л.Д. Ландау,Е.М.

Лифшиц. – М. : Физматлит, 2001. – Т. 3 : Квантовая механика : Нерелятивистская теория. – 803 с.2. Левич В.Г. Курс теоретической физики : в 2-х т. / В.Г. Левич,Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. – М. : Наука, 1971. – Т. 2. – 936 с.3. Флюгге З. Задачи по квантовой механике : в 2-х т. / З. Флюгге;под ред. А.А. Соколова. – Череповец : Меркурий–ПРЕСС, 2000. –Т. 1. – 341 c.Учебное изданиеКопытин Игорь Васильевич,Корнев Алексей СтаниславовичЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕУчебное пособие для вузовЧасть 1Редактор И.Г. Валынкина67.