QM1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 2

Следуетпредостеречь читателя от слишком примитивного толкования подобных определений. Реально объекты микромира являются новой дляпонимания формой материи, которая в некоторых предельных случаяхможет проявлять свойства как частиц, так и волн.Укажем на существенное отличие квантового движения от распространения истинной волны (например, электромагнитной).

Если имеются N источников электромагнитных волн, то результирующая волнабудет по-прежнему зависеть только от одной пространственной переменной. В случае системы N микрочастиц ее полная волновая функциябудет зависеть от N пространственных переменных : Ψ(ξ1 , . . . , ξN ; t).Все предыдущие выводы, а также формулы (1.1)–(1.5) легко обобщаются на этот случай.

Теперь, однако, в качестве элемента интегрированияследует взять dξ = dξ1 . . . dξN — элемент так называемого конфигурационного пространства.В заключение сформулируем фундаментальный принцип квантовой теории — принцип суперпозиции, представляющий собой результатобобщения экспериментальных испытаний.Если квантовая система может находиться в состояниях с волновыми функциями Ψ1 и Ψ2 , то она может находиться и в состоянииΨ = α1 Ψ1 + α2 Ψ2 ,(1.6)где α1 и α2 — произвольные комплексные константы.Линейная комбинация волновых функций в правой части (1.6) задает суперпозицию состояний. Другими словами, суперпозиция состояний квантовой системы тоже будет состоянием этой системы.7Разберем несколько примеров, в которых будут вычислены нормировочные константы наиболее важных волновых функций (рекомендуем самостоятельно проверить их размерность!). Полученные результаты мы будем неоднократно использовать в дальнейшем при изучениикурса квантовой теории.Пример 1.1.

Частица приведена в состояние с волновой функциейA sin πx при 0 6 x 6 a;aΨ(x) =0при x < 0 или x > a.Вычислить нормировочную константу A.Решение. Частица локализована в конечной области пространства, поэтому в качестве условия нормировки следует взять (1.4), положивdξ = dx:Z aZ a12πxa2 πx22dx = |A|1 − sindx = |A|2 .(1.7)1 = |A|sina2a200Интеграл от второго слагаемого в (1.7) обращается в нуль из-за интегрирования гармонической функции по pее периоду. Таким образом, сточностью до фазового множителя A = 2/a, а нормированная функцияr2πxΨ(x) =sin.(1.8)aaПример 1.2. Частица приведена в состояние с волновой функциейx2Ψ(x) = A exp − 2 ,2x0где x0 > 0 — константа с размерностью длины.

Вычислить A.Решение. ИнтегралZ+∞−∞x2exp − 2x0dx(1.9)с помощью замены переменных x/x√ 0 = t сводится к интегралу Пуассона2(см. (А.1)), так что |A| = 1/(x0 π). Окончательный ответ:x2Ψ(x) = p √ exp − 2 .2x0x0 π18(1.10)Пример 1.3. Волновой пакет задается функциейx2Ψ(x) = A exp − 2 + ik0 x ,2x0где x0 > 0 — константа с размерностью длины, определяющая ширинупакета, k0 — константа с размерностью волнового числа. Вычислитьнормировочную константу A.Решение. При возведении |Ψ(x)| в квадрат слагаемое ik0 x под знакомэкспоненты исчезает и задача сводится к вычислению интеграла (1.9)из предыдущего примера.Мы рассмотрели вычисление нормировочных констант для некоторых функций, заданных в декартовых координатах. Теперь рассмотримдругие системы координат.Пример 1.4.

Волновая функция, зависящая от полярного угла ϕ, задается выражениемΨ(ϕ) = Aeiαϕ ,(1.11)где α — некоторая константа. Используя стандартные условия, определить возможные значения α и нормировать волновую функцию.Решение. Полярный угол ϕ задает некоторое направление на плоскостиxOy относительно начала координат. При изменении этого угла на 2πнаправление остается прежним, так что для выполнения условия однозначности функция полярного угла Ψ(ϕ) должна быть периодичной спериодом 2π:Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ + 2π).(1.12)Из явного вида функции Ψ(ϕ) (1.11) и условия периодичности (1.12)получаем условие для определения константы α:e2πiα = 1,откуда следует, что для функции вида (1.11) константа α должна принимать только целые значения: α ≡ ml = 0, ±1, .

. .Полярный угол ϕ может принимать значения из интервала0 6 ϕ < 2π; из (1.11) следует, что |Ψ(ϕ)|2 = |A|2 , поэтомуZ02π|Ψ(ϕ)|2 dϕ = 2π|A|2 = 1.9Выпишем окончательный вид нормированной функции (1.11):eimϕΨm (ϕ) = √ ,2πm = 0, ±1, . . .(1.13)Пример 1.5. Нормировать волновые функцииΨ1 (θ, ϕ) = A1 ;Ψ2 (θ, ϕ) = A2 cos θна единичной сфере.Решение. Вначале напомним вид элемента телесного угла в сферических координатах:dΩ = sin θ dθ dϕ,0 6 θ 6 π;0 6 ϕ < 2π.(1.14)Константу A1 получаем элементарным интегрированием:ZZ122|Ψ1 (θ, ϕ)| dΩ = |A1 |dΩ = 4π|A1 |2 = 1, откуда A1 = √ .4πПри вычислении A2 сделаем замену переменных cos θ = t (при этомdt = − sin θ dθ):Z22|Ψ2 (θ, ϕ)| dΩ = |A2 |В результате A2 =rZ2πdϕ0Z+1t2 dt =−14π|A2 |2 = 1.33.4πПример 1.6. Нормировать волновую функциюZrΨ(r) = A exp −,a0заданную во всем пространстве в сферических координатах.

Здесьa0 > 0 — константа с размерностью длины, Z > 0 — безразмернаяконстанта.Решение. Элемент объема в сферических координатахd3 r = r2 dr dΩ,где dΩ определяется выражением (1.14).10(1.15)Радиальный интеграл заменой t = 2Zr/a0 приводится к виду (Б.11):Z|Ψ(r)|2 d3 r = |A|2Z0∞ Z2Zrr2 exp −dr dΩ =a0| {z }4π=32 a04π|A|8Z 3Z|∞02 −tt e{z2πa30dt = 3 |A|2 = 1.Z}pОтсюда A = Z 3 /πa30 . Приведем окончательное выражение для нормированной волновой функции:Ψ(r) =sZ3Zrexp −.πa30a0Обращаем внимание на ее размерность.(1.16)Задачи для самостоятельного решения1. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражениемx2Ψ(x) = Ax exp − 2 ,2x0где x0 — константа с размерностью длины.

Вычислить нормировочнуюконстанту A. p√(Ответ: A = 2/x30 π . Указание: воспользоваться (А.3).)2. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражениемx2Ψ(x) = A 1 + 2x0−1,где x0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормировочнуюконстанту A. p(Ответ: A = 2/πx0 .)3. Волновая функция задается на положительной полуоси выражениемxΨ(x) = Ax exp −,x011где x0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормировочнуюконстанту A.p(Ответ: A = 2/ x30 .)4.

Волновые функции задаются на единичной сфере в сферическихкоординатах выражениямиΨ± (θ, ϕ) = A± sin θ e±iϕ .Вычислить нормировочныеконстанты A± .p(Ответ: A± = 3/8π .)5. Волновая функция задается во всем пространстве в сферическихкоординатах выражениемr2Ψ(r) = A exp − 2 ,2r0где r0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормировочнуюконстанту A.√(Ответ: A = (r0 π)−3/2 .)12Глава 2.Физические величины. Операторы2.1.Понятие оператораВ квантовой механике для изображения физических величин служат операторы. С математической точки зрения оператор представляет собой некий способ перехода от одной волновой функции к другой.Для обозначения оператора используется буква со шляпкой, например,Â. Запись ÂΨ(ξ) означает действие оператора Â на функцию Ψ(ξ), которое в общем случае не сводится к обычному умножению.

Результатом действия оператора на функцию будет функция.Пример 2.1. Подействовать на функцию Ψ(ξ) = sin ξ операторами:Â1 = ξ;Â2 =d.dξРешение. В первом случае действие оператора сводится к обычномуумножению функции Ψ(ξ) на координату ξ:Â1 Ψ(ξ) = ξ sin ξ.Во втором случае действие оператора будет эквивалентно взятию производной функции Ψ(ξ):Â2 Ψ(ξ) =dsin ξ = cos ξ.dξОператор определяется на некотором множестве, или классе, функций.

В квантовой теории — это функции, удовлетворяющие стандартным условиям (конечность, однозначность, непрерывность). Определить оператор — значит задать правило его действия на произвольнуюфункцию данного класса.132.2.Алгебра операторовОпределим важнейшие правила алгебраических действий над операторами.1◦ . Операторное равенство F̂ = Ĝ. Операторы F̂ и Ĝ равны другдругу, если при их действии на одну и ту же произвольную функцию 1Ψ(ξ) получаются одинаковые функции.F̂ Ψ(x) = ĜΨ(ξ).В качестве предостережения рассмотрим действие операторов F̂1 =d2= −ξ и F̂2 =на функцию e−ξ /2 . Совпадение результатов не означаdξd= −ξ, поскольку оно выполняется не для произвольет равенстваdξ2ной функции. Проверьте это самостоятельно для функции ξe−ξ /2 .2◦ . Нулевой оператор 0̂. Оператор будет нулевым, если при егодействии на произвольную функцию Ψ(ξ) результатом будет тождественный нуль:def0̂Ψ(ξ) ≡ 0.Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится.

Вместоэтого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,что приведенное равенство является определением.3◦ . Единичный оператор 1̂. Оператор будет единичным, если егодействие на произвольную функцию Ψ(ξ) не изменяет последнюю:def1̂Ψ(ξ) = Ψ(ξ).Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.Вместо этого пишется число единица.4◦ . Умножение оператора на константу: αF̂ . При умноженииоператора на константу получается новый оператор, действие которогона произвольную функцию Ψ(ξ) задается правилом:def(αF̂ )Ψ(ξ) = α[F̂ Ψ(ξ)].5◦ .

Сумма операторов: F̂ + Ĝ. Суммой операторов F̂ и Ĝ называется оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ заключается в независимом действии на нее каждого оператора по отдельности с последующим сложением результатов:def(F̂ + Ĝ)Ψ = (F̂ Ψ) + (ĜΨ).1Из данного класса — здесь и далее.14Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагаемых, сумма операторов тоже не зависит от порядка следованияслагаемых. Иными словами, сумма операторов всегда коммутативна(т. е.

всегда подчиняется «переместительному закону»):F̂ + Ĝ = Ĝ + F̂ .(2.1)6◦ . Произведение операторов: F̂ Ĝ. Произведением операторовF̂ и Ĝ называется оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ заключается в последовательном действии на нее сначала оператора Ĝ, а затем F̂ :def(F̂ Ĝ)Ψ = F̂ (ĜΨ).В отличие от суммы, произведение операторов в общем случае зависитот порядка следования сомножителей:F̂ Ĝ 6= ĜF̂ ,т.

е. произведение операторов некоммутативно (т. е. не подчиняется «переместительному закону»). Если все же имеет место равенствомежду произведениями F̂ Ĝ и ĜF̂ , то операторы F̂ и Ĝ называют коммутирующими.В квантовой механике оказывается удобным ввести специальнуюконструкцию, построенную из произведений операторов, — коммутатор:[F̂ , Ĝ] = F̂ Ĝ − ĜF̂ .(2.2)Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится нулевым оператором.Также вводится антикоммутатор:{F̂ , Ĝ} = F̂ Ĝ + ĜF̂ .(2.3)Для антикоммутатора иногда используется обозначение [F̂ , Ĝ]+ .7◦ . Обратный оператор: F̂ −1 .