Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика

Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА В ДЕСЯТИ ТОМАХ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКИИЯ ФИЗИКОИЕАТЕАТАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ ББК 22.31 Л22 УДК 530.1(075.8) Ла ндау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика« Учеб. пособие. — В 10.тн т. Т. 1, Механика. — 4-е изд., испр. — М» Наука. Гл. ред. фиэ.-мат. лиг., 1938. — 2!б с. 1ЯВ14 3-02-013830-9 (т.

11 Отэетстленнмй редактор член-корреспондент Ао СССР доктор физико-математических наук Л. П. Питпеэскид 01 Ианк«ел>ство «матка>. Главная редакция фкаико.математической литературы, е исправлениями. 198а 1704020000 — 061 033(02)-38 15БХ 5-02-013850л9 (т. 1) Настоящим томом начинается переиздание полного курса теоретической фвзики, заслужившего широкое признание в ношей стране к эа рубежом.

Первый том посвящен изложению механики как части теоретической физики. Рассмотрены лаграижеэа и гамильтонова формулировки уравнений механики, законы сохранения в механике, теория столкновений частиц, теория колебаний и движение твердого тела.

3-е изд. «Механики» выходило и !973 г. Длн студентов старших курсов, аспирантов и научных работников, спецнализируюшихса в области теоретической физики. ОГЛАВЛЕНИЕ 8 8 Предисловие редактора к четвертому изданию Предисловие к третьему изданию Из предисловия к первому изданию . 9 9 10 13 15 17 Г л а в а 1.

Уравнения движения $ 1. Обобшенные координаты . $ 2. Приязни наименьшего действия $ 3. Принцип относительности Галилея 4. Функция Лагранжа свободной материальной точки . 5. Функция Лагранжа системы материальных точек Глава П. Законы сохранения 24 26 28 30 34 6. Энергия . 7. Импульс $8. Певтр инерции . $9. Момент импульса .

$ 10. Механическое подобие Гл аз а П1. Интегрирование уравнений движения 39 39 44 45 51 $11. Одномерное движение $ 12. Определение потенциальной 'энергии по периоду колебаний $ 13. Приведенная масса $14. Движение в центральном поле $15. Кеплерова задача . Г л а в а 1Ч. Столкновения частиц 58 58 62 66 72 75 Распад частиц Упругие столкновения частиц . Рассеяние часткц . Формула Резерфорда Рассеяние под малыми угламв . Ч, Мадые колебания 78 $16. $17.

$18. $19 $20. Глава $2!. $22. $23. $24. $25. ~ 26. $30. Свободные одномерные колебания . Вынужденные колебания Колебания систем со многими степенями свободы . Колебания молекул Затухаюшне колебания Вынужденные колебания при наличии трения . Параметрический резонанс Днгармонвческие колебания . . . . . .

.*. Резонанс в нелинейных колебаниях Движенне в быстро осциллирующем поле . 78 82 87 94 99 103 106 1!2 116 123 ОГЛАВЛЕИИН Глава ЧЛ. Движение твердого тела 4 31. Угловая скорость . в 32. Тензор -инерции 6 ЗЗ. Момент импульса твердого тела . й 34. Уравнения движения твердого тела .

6 35, Эйлероаы углы $ 36. Уравнения Эйлера $37. Асимметрический волчок 6 38. Соприкосновение твердых тел . в 39. Движение в неинерциальной системе отсчета . Г л а в а УП. Канонические уравнения $40. Уравнения Гамильтона й 41. Функция Рауса $42 Скобки Пуассона $ 43. Действие ках функция координат . 6 44. Принцип Мопертюи ' 45. Канонические преобразования 46.

Теорема Лыувилля 47. Уравнение Гамильтона — Якоби 48. Разделение переменных $49. Адиабатические инварианты й 50. Канонические переменные 6 51, Точность сохранения адиабатического ивварианта . $52. Условно-периодическое движение . Предметный указатель 126 126 128 138 140 143 Г48 150 Г68 163 169 169 172 174 178 180 184 188 190 192 199 202 204 208 214 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Этим томом издательство «Наука» начинает переиздание «Теоретической физики» Л. Д.

Ландау и Е. М. Лифшица. Впервые она выходит после смерти Е. М. Лифшица. На меня легла печальная и ответственная обязанность готовить Курс к печати без авторов. В настоящем издании <Механики» исправлены опечатки, замеченные с момента выхода третьего издания, и внесены небольшие изменения, уточняющие изложение. Эти поправки были приготовлены Е. М, Лифшицем н мною и частично учтены в последнем английском издании книги. Маа 198? г. Л, П, Питаеескиб ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании эта книга почти не отличалась от первого издания. Не возникло необходимости в сколько-нибудь значительной ее переработне и при подготовке нового издания.

Поэтому ббльшая часть книги воспроизведена стереотипно (с исправлением лишь опечаток). Переработке и дополнению„ произведенным мной совместно с Л. П. Питаевским, подверглись лишь последние параграфы, посвященные адиабатическим инвариантам. Июнь 1972 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящей книгой мы рассчнтываем начать последовательное переиздание всех томов нашей «Теоретической физики». Окончательный план ее сейчас представляется в следующем виде: 1.

Механика. 2. Теория поля. 3. Квантовая механика (нерелятивистсхая теория). 4. Релятивистская квантовая теория. 5. Статистическая физика. 6. Гидродинамика. 7. Теория упру1ости. 8. Электродивамика сплошных сред. 9. Физическая кинетина. Мы благодарны И. Е. Дзялошинскому и Л. П. Пнтаевскому за помощь при чтении корректуры книги. Л, Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Иосвва, июль 1957 г. ГЛАВА 1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ $1. Обобщенные координаты Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки '). Под этим названием понимают тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения, Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи.

Так, планеты можно считать материальными точками при изучении нх движения вокруг Солнца, но, конечно, не при рассмотрении их суточного вращения. Положение материальной точки в пространстве определяется ее радиус-вектором г, компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами х, у, г.

Производная г по времени с ог к=в ит называется скоростью, а вторая производная — „, — ускорением вмг точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать дифференцирование по времени точкой над буквой: ч = г. Для определения положения системы из гт' материальных точек в пространстве надо задать М радиус-векторов, т. е. ЗМ координат.

Вообще число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы; в данном случае это число равно Згт'. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких- либо других координат. Любые з величин дь дт, ..., д„ вполне характеризующие положение системы (с з степенями свободы)„ называют ее обобщенными координатами, а производные сд— ее обобщенными скоростями.

Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать положение системы в последу|о~вне моменты времени. При задан- ') Вместо термина чматернавьнан точка» мм будем часто говорить о «ча. стинакь. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ (гл в 1О ных значениях координат система может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значении последних будет различным и положение системы в следующий момент времени (т. е.

через бесконечно малый временной интервал с(г). Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы н позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат д и скоростей д в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений д в этот момент '). Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения.

По отношению к функциям д(() это — дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т. е, траектории движения механической системы. (2,1) ') Для краткости обозначений мы будем часто условно понимать под д совокупность всех координат Чь Чь ..., д* (и под ф аналогично совокупность всех скоростей). ') Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наимень- шего действия ие всегйа справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого нз достаточно малых ее участков; для всей же траекто.

рии может оказаться, что интеграл (2д) имеет лишь экстремальное, не обя- зательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно не сушественно пря выводе уравнений движения, нспользуюшем лишь условие экстремальности, 2 2. Принцип наименьшего действия Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждан механическая система характеризуется определенной функцией 1.(ч» Чэ ° ° .э Чз 4 г)х ° ° > Чз. 1) пли, в краткой записи, ь'(д, д, г), причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в моменты времени г' = (1 н г = (з система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат уи1 и д<а1. Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл ь ~=~А(д, д, ()д( ь имел наименьшее возможное значениез). Функция Е называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2,1)— действием. лгннцип нхнмвньшвго данствия (2,4) Тот факт, что функция Лагранжа содержит только сГ и с), но не более высокие производные и, д, ..., является выраже- нием указанного выше утверждения, что механическое состоя- ние полностью определяется заданием координат и скоростей. Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решаю- щих задачу об определении минимума интеграла (2,1).

Для упрощения записи формул предположим сначала, что система обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть определена всего одна функция сГ(1). Пусть сс = с)(1) есть как раз та функция, для которой Б имеет минимум. Это значит, что 5 возрастает при замене ст(1)' на любую функцию вида сс (с) + бсс (с) (2,2) где бс1(Г) — фУнкциЯ, малаЯ во всем интеРвале вРемени от сс до 1а (ее называют ваРиаЦией фУнкции сГ(1)); посколькУ пРи г =гс и 1= гт все сравниваемые функции (2,2) должны при.

нимать одни и те же значения с1ссс и сГстс, то должно быть: бд(1,) =бй(1,) =О. (2,3) Изменение Б при замене сс на ст+ бсГ дается разностью с, с, ~ Г.(д+б), д+б), 1)йг-" Г.(п, д, 1)а. с~ с, Разложение этой разности по степеням бсс и бс) (в подынте- гральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности Я ') является обраще- ние в нуль совокупности этих членов; ее называют первой ва- риацией (или обычно просто вариацией) интеграла.

Таким об- разом, принцип наименьшего действия можно записать в виде с, М=б~ан, д, 1)йг=б, нли, произведя варьирование: с, ~(фдад+ фЦ) И=О. с~ и Замечая, что бд = — бсГ, проинтегрируем второй член по ча- стям и получим: с, с, д ' бсГ ! + ~ 1, д дс д ) бсс сй = О. (2,5) с, с, с) Вообще — экстремальности. ггл. и КРДВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 12 Но в силу условий (2,3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, который должен быть равен нулю при произвольных значениях бгу. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль.