TERM1 (А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии)

Лекции по классической дифференциальной геометрии. А. О. Иванов., А. А. Тужилии 17 декабря 2001 Содержание 1 Кривые в евклидовом пространстве. Плоские кривые 2 Кривые в трехморном пространство 3 Поверхности. Первая фундаментальная форма 3.1 Определение поверхностей . 3.2 Три способа задания поверхностей 3.3 Кривые, координатные линии, касательное пространство и канонический репер на регулярной поверхности 3.4 Индупированная лстрика или первая фундаментальная форма регулярной поверхности 3.5 Изометрии поверхностей 21 21 4 Поверхности. Вторая фундаментальная форма 4.1 Определение второй квадрати шой формы регулярной поверхности 4.2 Геометрический смысл второй формы кривизны плоских сечений 4.3 Главные кривизны и главные направления.

4Л Средняя и гауссова кривизна |ииерповерхности 4.5 0 выборе координат на поверхности 4.6 Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны 4.7 О теореме Ионне 38 41 44 48 52 54 57 5 Элементы дифференциального исчисления на поверхностях 58 5.1 Деривапиоипые формулы Всйнгартсна — 1'аусса......... 59 5.2 Те р;- Г-:.'. 62 !ьо 69 75 6 Кри 6.1 6.3 бд 6.5 6.6 99 99 !02 !04 130 130 130 135 Абсолютная и ковариантпая производная касательного век- торного поля Геоделгьескпе Экстремальные свойства геодезических волинейные координаты в области и на поверхности Определение криволинейной системы координат Примеры криволинейных систем координат ..

622.1 Евклидовы координаты 6.222 Линейная система координат 6.2.3 Полярная система координат 6.2.4 Цилиндрическая система координат 6.2.о Сферические координа ил Касательное пространство к области в точке Евклидова метрика в криволивеиных координатах 6.1.1 Закон изменения компонент метрики при замене координат 6.4.2 Примеры вычислешья евклидовой метрики Криволинейные координаты на поверхностях . Стереографические координаты на сфере .

7 Риманова и псевдориманова метрики 8 Гоодозичоские и кривизна 8.1 Нормальные координаты 8.2 Полугеодезн ьеские координаты на двумерной поверхности . 8.3 Двумерные поверхности постоянной гауссовой кривизны . 9 Геометрия Лобачевского 9.1 Нссвклиловы геометрии 9.1.1 Эллиптическая геометрия 9.1.2 Плоскость, Лобачевского (гипсрбо.ьичсская геохьстрия) 9.1.3 Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского 9.2 Дробно линейные преобразования плоскости 9.3 Запись метрики в комплексной форме 9Л Модель верхней полуплоскости 9.5 Изоьььетрии плоскости Лобачсвскоьо 9.6 Расстояния меьиду точками и треугольники на плоскости Ло- бачевского 10Элементы общей топологии !0.1 Метрические и топологические пространства.

10.1.1 Метрические пространства 10.1.2 "!'опологичсскис пространства . 80 82 82 83 83 83 84 86 109 109 1!О 111 112 113 118 119 120 124 150 150 153 164 168 169 169 175 200 200 10.2 Непрерывные отображения 10.3 Связность, отделимость, компактность 10.3.1 Связность 10.3.2 Аксиомы отделимости ! 0.3.3 Компактность 11Функциональная отдпиимость и разбиение единицы 11.1 Функциональная отделимость 11.2 Разбиение единицы 12Многообразии !2.1 Топологичсские лпогообразия 12.2 Функции и отображения 12.3 Гладкие многообразия 12Л Первые примеры гла;!ких многообразий ..

12.5 Задание структуры гладкого мяогообразия на множестве 12.6 Гладкие функции, гладкис отображения, диффеоморфизмы 12.7 Задание многообразий уравнениями ~ еометрический смысл теоремы о неявной функции 12.8 Полмногообразия 13Касательное пространство к многообразию. 13.1 Определение касательного вектора . 13.2 Касательное расслоение 14Дифференциал отображения, погружения и вложения 14. ! Определение дифференциала 11.2,Чокальные свойства отображений и дифференциал 14.2. ! Субмерсии. 14.2.2 Погружония и вложонин.

15Вложенин многообразий в евклидово пространство 15.1 Сугнествование вложения 1о.2 Теорема Сарда .. ! 5. 3 Теорема У итнн 16Римановы многообразия 16.1 Подмногообрезия евклидового пространства 16.2 Ооьций ..у .и 16.3 Инлунированная метрика 1б.с! Изометрии 170риентируомость многообразия 17.1 Два определения ориентнруемого многообразия 139 113 143 115 147 154 155 156 !о7 159 160 161 177 177 178 178 180 184 184 187 !90 103 193 195 198 !99 Крььвые на плоскости. 18Классификация связных двумерных компактных замкнутых многообразий 206 18.~ Склейки ушогоугольников 206 18.2 Заклеивапие сферы 208 18.3 '1сорг яа классификации 209 18.3.1 Триангуляции.

210 18.3.2 Канонические склейки многоугольников. 211 18.3.3 Последний ьпагь Эйлерова характеристика.... 211 1 Кривые в евклидовом пространстве. Плос- кие кривые Пусть л" стандартное и-ььерььос свклидово пространство со скалярным произведением о [и и) = ~ ~с'ш", где ь~ = [и,...,по) и и = [и,..., пм) произвольныг векторы из 2п. '!срез ]ц ] обозначим стандартную норму вектора ш ]7' ] сз Яьь, ьь). Определение. Пьпрсрыоиой ььарижсьььричсской криеой е зьп называется произвольное непрерывное отображение;: [а, о] — ь Рп из некоторого отрезка [а, й] вешественвой прямой в пространство =„'"'.

Отметим, что каждая такая кривая; задается набором из и коордььнотныт функций г,'[1), где 1 координата на отрезке [а, 6], называемая шьралеларож для -1 вли коордиььптой ва 1, а,ь',..., лп стандартные свклиловы координаты в й". При этом непрерывность 0 равносильна непрерывности всех функпий г'[1). Ввсденнььй класс параметрических кривых является слишком широким и, в частности, содержит примеры, не согласующиеся с естественным пре,лставлением о кривых как одномерных обь,ектах [вспомните известную из курса математического анализа кривукэ Псано, отображающую непрерывно отрезок на треугольник или квадрат). Кривая Поено н 'гроугольнико.

1буиеея 11еака непр*рыенаякриеая,запозняющая еььутр~ниьсть кааярага или трьугояьника, мозьеет быть пвтроена, например, так. Возьзь~ м рлянобедренный прнмоугояьный треугольник Т, разобьем его на даа раанобедрсипых ирямоугоььььых гроуго ььника 1 ь и 1з, проясдя высоту Ь из вершины прямого угла. Пбощачим через гЬ отрезок, гоеди»яюпЬпй пентры треугольников Т, у = Ь,2, '1тобы построить ломаную гз, льы и каждом из трсугояьникоа Тьо У = 1,2, построим такую жс .ьомаиую, как яо асом треугояьнико Т иа первом шаго. Другими словами, мы аозьмсм диа экземпляра треугольника Т с уьке построенной ломаной гь, умсныпим их,ьо 1(рьгвыг на плоскости.

размера треугольников Тч, п отождествим каждый из экземпляров с соответствующим треугольником 7', 1 = 1,1. Получеяное объединение огречков достроим ~ьо связной .ч наной, соединив две кони выь вершины, ближашние к высоте Я. Наконец, на ч-'г 1 шаге мы и чччьл ил ломаную ч, ч из.чоучаных г,, построенных на ч-ом шаго, так. Вновь разобьем чрвугольник Т на два треугольника Тч и Та, проведя в Т высо»у из вершины прямого угла; возьмем два экземпляра треугольника Т с уже построенной .чоманой г, и уменьппчм их до размера треугольников Тч, отождсствпм каждый из этих экземпляров с соответствующим треугольником Тю Г = 1, 11 полученное ччсчъедин| ние,чч»ух ломлных, .ю клших в треугольнике '1', ьчсчсгроим до ьвяэн й.ч маной, соч линие двч кони выв веьлпины:чтил ломаных, ближайшие к высоте й.

Продолжим этот процесс ло бесконечности 1сэч. рис. 1). Предельная кривая» называется кривой Пеано. Пссложно показать, что кривая Псано прохолит через каждую точку внутри треугольника. Поэтому ес образ зто внутренность треугольника Т. ®,,4~ Рис. 1: Кривая Неано в треугольнике Отметим, что можно построить многомсрныс и лаже бесконечномерныс аналоги кривои Пч:лпо 1теорема Зйа»уркевича). Згпражнение 1.1 ГГохл»шль, что имеют, .место гледучоичие учччввоо юдсиил. 1) Кривая Псояо ччроходит чвгеэ каждую точку внутри трвувотиихл Т. о) Яочччвал Г!вючо ширерывиа.

З1 Криаая Пслио имеет ьрачччкьчс точки, т.с. существуют тлхис точки внутри члусуво.чинила Т, ~сусл котоуьчс кривая Псаио проходит несколько раз. Д Плети краткость крат чых то сх куаьоа Пьаио, т.в. число их прообразов. Мы сузим понятие кривой следующим обрьичоы. Определение. Непрерывная параметрическая кривая "1: ~а, й] — > льи называется гладкой. если всг задающие ее координатные функции х'(1) гладкис. В этом случае определен вектор»11) = (я~11),..., и" (1)), называемый вски»ором скорогти П в точкче;(1). Сехчсйство векторов;ф называется полем скоросчией кривой П.

эгпражнение 1.2 Показать, что образ гладкой ьривой ис мозкст содгроктиь ьщкакого открытого шара, т.е. миолсестьа вида 1я Е 1Г' ! 'йл— хв! < "1 Кривыг на плоскости. Хотя кодномерпостие мы, возл1олп1о, и добились [во всяком случае, мы исключили из рассмотрения кривые типа кривой Пеано), тем не монсе, интуитивное представление о гладкости кривой не вписывается в данное определение, что кллкжтрируется следующим обязательным упражнением.

",Упражнение 1.3 Доказать, ~нго обьгг)ингнис двуи отрезков, стылующилсл под произвольиыж уело.и, лолсно предспивить как образ гладкой пара.истрической криьо11 Решение Ллл отрезков, лежащих в плоскости на координатных осях. Рассмотрилл отображоьпльЬ отрезка [ — 1, 1] в илоскосгьгсз, заданное координатными функциями я'[1) так: (О при 1с [ — 1,0] 2 (е /~ при 1с [ — 1,О) ] е '/' при 1Я [0,1] [ О при 1б [ОЛ] Легко проверить, что так определенные функции .г [1) и л [1) явяяются гладкими.