П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 7

Поток частиц, скорости которых первоначально параллельны осирассеивается на неподвижном упругом эллипсоиде вращения1,,.Найдите дифференциальное сечение рассеяния.Указание: угол наклона касательной в точке падения частицы равен углупадениярассеяния χи определяется соотношением(рис. 8.4). Угол2 . Далее решение аналогично решению задач 8.1 и 8.2.ρ~ϕ~ϕ~ϕχ0Рис. 8.466  z 42. Формула Резерфорда. Найдите дифференциальное сечение рассеяниячастиц в полеα.43. Найдите полное сечение захвата частиц в центр поляαα,0,2.44. Найдите полное сечение захвата в центр поляαβα,0, β0.§ 9. Колебания систем со многими степенями свободы Рассмотрим механическую систему с степенями свободы на которуюналожены стационарные идеальные голономные связи и действуютпотенциальные силы. Пусть потенциальная энергия системы зависит только.

Обозначимот обобщенных координати имеет минимум в точкеотклонения системы от положения равновесия посредством ααα,α 1,2, … , . Потенциальную энергию разложим в окрестности точкивряд по малому параметру α с точностью до членов второго порядка малости,0:полагая12!αα,βгде введено обозначениеα ββαβαβ12αβ α β ,9.1α,β. Ряд (9.1) не содержит членас первыми производными отпо координатам, поскольку потенциальнаяэнергия имеет экстремум в точке .

Кинетическая энергия рассматриваемойсистемы (см. задачу 3.2)12αβα,βгде67  α β,9.2αβα;βи- радиусы-векторы и массы точек системы, соответственно. Будемсчитать, что скорости α малы. Тогда, чтобы получить в (9.2) форму второгопорядка малости (такого же порядка малости, что и потенциальная энергия)разложим коэффициентыв ряд, ограничиваясь первым членомαβразложения:αβ.αβПри этом (9.2) сводится к выражению12αβ α β ,α,βгде для сокращения записи введено обозначение:αβ .αβФункция Лагранжа системы12αβ α β .αβ α β,α,βа уравнения Лагранжа имеют вид:αβ β0,αβ βα1,2, … , .9.2βЧастные решения системы (9.2) будем искать в видеβгдеββωβ,1,2, … , ,– комплексные постоянные (“ ” в экспоненте – мнимая единица).Подставляя β в (9.2) и сокращая на ω , получаем систему линейныходнородных алгебраических уравнений относительно β :ωαβαββ68  β0, α1,2, … , .9.3Чтобы эта система имела нетривиальные решения, ее определитель долженбыть равен нулю, т.е.ωαβαβ0.9.4Уравнение (9.4) называется характеристическим уравнением.

Онопредставляет собой алгебраическое уравнение степени относительно ω иимеет корней ω ( =1,2,…, ). Величины ω называются собственнымичастотами системы. Значения ω могут оказаться кратными, т.е. какие-то изчастот могут совпадать. Такие частоты называются вырожденными.После того как частоты ωнайдены, подставляя каждую из них всистему (9.3), можно найти соответствующие значенияβ. В случае когдавсе корни характеристического уравнения различны, система (9.3) имеет длякаждого ω ровно одно линейно независимое решениеβ, которое можнопредставить в видеΔββгдеβ,β1,2, … , ,- произвольная комплексная постоянная, а Δββ– алгебраическиедополнения элементов β -ой строки характеристического детерминанта (9.4),взятого при значении ω ω . Строка β выбирается произвольно, но так,чтобы в ней был хотя бы один элемент с отличным от нуля алгебраическимдополнением (такой элемент существует в силу предположения оневырожденности собственных частот).выразимКомплексную постояннуюпостоянныеи δ с помощью соотношенияδчерез.ТогдаβΔβδβ,β1,2, … , ,, β1,2, … , .а частное решениеβΔββωδ69  действительныеПереходя к вещественной части, имеем:βΔβcos ωβδ , β1,2, … , .Общим решением системы (9.2) будетΔβββcos ωδ, β1,2, … , .9.5и δ определяются начальными условиями.

Из (9.5) следует,Константычто изменение каждой из координат системы со временем представляетсобой суперпозицию гармонических колебанийcos ωδ .Спомощью 9.5 можно выразитьчерез, , … , . Таким образом,координатыможно рассматривать как новые обобщенные координаты.Эти координаты (изменяющиеся по гармоническому закону, и,ω0 называютследовательно, удовлетворяющие уравнениюнормальными или главными координатами.km1ϕxlm2y,Задача9.1.Теломассысоединенное с пружиной жесткости ,другой конец которой закрепленнеподвижно, может двигаться безтрения по горизонтальной плоскости.К телу прикреплен математическиймаятник массыи длины (рис. 9.1).Найдите функцию Лагранжа системы ичастоты малых колебаний.Рис.

9.1□ В качестве обобщенных координатот положения равновесия ивыберем координату смещения тела массыугол отклонения от вертикали математического маятника. Кинетическуюэнергию можно записать в виде:22,гдеи– декартовы координаты частицыобобщенные координаты с помощью формул, выраженные через,.Отсюда,70  .9.6С учетом (9.6) кинетическая энергия системы2.29.7Ограничиваясь членами второго порядка малости, полагаем в (9.7)1. При этом2.2Потенциальная энергия системы.29.8Разлагая (9.8) в ряд до членов второго порядка малости, имеем:12Опуская постояннуюсистемы:.2, находим функцию Лагранжа малых колебаний2222.Составим уравнения Лагранжа:ϕ0,9.90.Частные решения этой системы ищем в виде:ωω,Подставляя их в (9.9) и сокращая наω, получим:ωωω.ω0,0.Запишем характеристическое уравнение системы (9.10):ωωωω71  0,9.10откуда получаем квадратное уравнение относительно ω :ωω0.Решая это уравнение, находим собственные частоты малых колебанийсистемы:ω,124.■Задача 9.2.

Проинтегрируйте уравнения движения и определите нормальныекоординаты колебаний плоского двойного математического маятника (рис.3.1) при условии, что длины и массы математических маятников одинаковы.□ Функция Лагранжа двойного математического маятника получена в задаче3.4.

В случаеи, она имеет вид:cos2.2Считая колебания малыми, полагаем12,12,1.cosПри этом22,а уравнения Лагранжа:220,9.110.Ищем частные решения системы (9.11) в видеω,72  ω.Подставляяив (9.11), получаем систему уравнений:22ωωω0,ω0.Характеристическое уравнение этой системы:22ωωω0.ωОтсюда находим, чтоω2,.√2Частным решением системы (9.11), соответствующим частоте ωявляется:ωωΔωωΔδδωδω√2,δ.Вторым частным решением системы (9.11) будет:ωωΔωωΔϕϕω√2δω,δ.Общее решение системы (9.11) записывается в виде:ωωcos ωϕ ωcos ω√2δδcos ω1√273  9.12ϕ ωcos ωδcos ωδ ,Из (9.12) и (9.13) видно, что12δ ,.9.13и121cos ω√2δ .являются нормальными координатами. ■Рассмотрим теперь колебания молекул. -атомная молекула имеет 3степеней свободы. Поступательному движению молекулы соответствует тристепени свободы.

Если не все атомы молекулы расположены вдоль однойпрямой (нелинейная молекула), то также три степени свободы отвечаютвращательному движению. Для линейной молекулы имеется всего двевращательные степени свободы. Таким образом, в случае нелинейноймолекулы имеется 36, а в случае линейной молекулы - 35колебательных степеней свободы. Представим радиус-вектор -го атомамолекулыв виде, где- радиус-вектор положения- его отклонение от положенияравновесия атома с номером , аравновесия. Исключение из рассмотрения поступательного движениямолекулы как целого приводит к равенству0,9.14а исключение вращения молекулы – к выражению0.yOOu1u30α1u2α2- масса -го атома.ЗдесьПри рассмотрении задачи околебанияхмолекулыусловия (9.14) и (9.15)являютсяголономнымиx идеальнымисвязями,наложенными на систему.Задача9.3.Найдитечастоты и закон движениямалых колебаний молекулы.CРис.

9.274  9.15□ Молекулаявляется линейной молекулой. Совместим положениеравновесия атома углерода с началом прямоугольной декартовой системыкоординат, а ось направим вдоль молекулы. Рассмотрим вначале колебаниямолекулы в плоскости(рис. 9.2). Из симметрии задачи ясно, что дляплоскостиситуация будет полностью аналогичной. Перенумеруем атомыслева направо и обозначим расстояния между атомами и в положенииравновесия посредством . Тогда радиусы-векторы атомов в положении, 0,0 ,0,0,0 ,, 0,0 . Смещенияравновесия будутатомов от положения равновесия имеют компоненты:, ,0 ,, ,0 ,, , 0 . Пусть- массы атомов кислорода, ауглерода.

Для рассматриваемого случая условие (9.14) сводится к двумуравнениям:0,9.160;9.17а условие (9.15) принимает вид.9.18В случае линейной молекулы различают колебания, сохраняющие еепрямолинейную форму (валентные колебания) и колебания, выводящиеатомы с прямой (деформационные колебания). Будем считать, что валентныеи деформационные колебания являются независимыми.Будем предполагать, что между атомами молекулы действуют упругиесилы. Потенциальную энергию валентных колебаний тогда можно записатькак (считаем, что потенциальные энергии валентных связейнезависимы друг от друга)22,где0 – коэффициент пропорциональности.

Потенциальная энергиядеформационных колебаний зависит от угла α равного отклонению углаот значения π, т.е. угол α αα (см. рис. 9.2). В случае малых колебанийα,α. Поэтому α.С учетом этого потенциальная энергия деформационных колебанийæ α2 æ2,75 где æ0 - еще один коэффициент.Функция Лагранжа молекулы22æ22.9.19Так как имеется три уравнения связей (9.16)-(9.18), то из шестипеременных , , , , , только три являются независимыми. Выберемв качестве независимых координаты , , . С помощью уравнений связей(9.16)-(9.18) остальные переменные выражаются через , , :,2,.Подставляя эти выражения в функцию Лагранжа, найдем:2112122211.Рассмотрим сперва уравнение движения по переменной221,4æ 1и уравнение Лагранжа22æ 10.Общее решение этого уравнения естьωδ ,гдеω2æ176  222æ 1.2.

Имеем:,Таким образом, частное решение уравнений движения, описывающеедеформационное колебание молекулы, имеет вид:001ωδ .Заметим, что частота ω является двукратно вырожденной, поскольку с такойже частотой будут происходить деформационные колебания в плоскости .Рассмотрим теперь валентныеЛагранжа по переменным и :1колебания.222Здесь1Запишем0,21уравнения9.200..Частные решения ищем в видеωω,.Подставляя частные решения в систему (9.20), находим:ω122ω2ωω10,9.2120.Составим характеристическое уравнение для системы (9.21), получим:ω12ω2ωω221Отсюда находим, чтоω2, ω77  .0.По стандартной процедуре (для невырожденных частот) получаемчастные решения, соответствующие частотам ω и ω :110ω110δ ,ωδ .Общим решением уравнений движения, описывающим колебаниемолекулы в плоскости , будет001ωδ110ωδ110ωδ .Как уже отмечалось ранее, еще одним независимым нормальнымколебанием является деформационное колебание в плоскости.Соответствующее решение получится, если в вышеприведенных формулахзаменить на .

■Задачи для самостоятельного решенияиприкреплены к пружинам жесткости45. Два груза массами9.3). Найдите частоты малых колебаний системы в поле тяжести.(рис.46. Два математических маятника одинаковой длины и массысвязанымежду собой пружиной жесткости,закрепленной на расстоянииот точкиподвеса (рис. 3.2). Проинтегрируйтеуравнения движения и найдите нормальныеkкоординаты малых колебаний.m1gk47. Найдите закон движения и нормальныекоординаты системы с двумя степенямисвободы, если ее функция Лагранжаm2ω2Рис. 9.378  2,.48.

Найдите частоту колебаний двухатомной молекулы. Массы атомовкоторой равныи.49. Найдите частоты колебаний трехатомной линейной несимметричноймолекулы, массы атомов которой равны,и(рис. 9.4). Считать, чтосилы, действующие между атомами при колебаниях молекулы, описываютсязаконом Гука, с коэффициентамиk2 , l 2k1 , l1пропорциональности,дляm3 валентных колебаний и æ дляm2m1деформационных колебаний.Рис.