П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 9

Изинтегралов движения (11.7), (11.8) следует, что центр инерции тела движетсяв горизонтальной плоскости с постоянной скоростью. С целью облегчения89  дальнейших выкладок исключим поступательное движение волчка, перейдя всистему отсчета, в которой0. Из уравнения (11.10) следует, что2 .

Далее, стретий член в правой части (11.11) есть постоянная величинапомощью (11.9) и (11.10) находим:.Выражая отсюда(11.11), получим:11.12и подставляя в выражение для обобщенной энергииμ2гдеμ22,2 .Разделение переменных в этом уравнении дает:μ,11.132μ2откуда путем интегрирования находим:μ.,11.142μ2Знак “+” (“-”) в формулах (11.13) и (11.14) берется на участках траектории с00 .Разделяя переменныеимеем:ив уравнении (11.12) и используя (11.13),μ2μ290  .11.15Отсюдаμ,11.162μ2.гдеНаконец, разделение переменных в уравнении (11.10) с учетомуравнения (11.15) дает:μ,11.172μ2.гдеФормулы (11.14), (11.16) и (11.17) определяют закон движения волчка вквадратурах.

■zz’AθOЗадача 11.5. Одна из половинокоднородного шара массы μ находитсяна горизонтальной плоскости (рис.11.4). Найдите частоту плоских малыхколебанийвдвухслучаях:а) шероховатой плоскости; б) гладкойплоскости.□ Пусть– радиус шара. Осьнеподвижнойсистемыкоординатнаправим вертикально вверх.

Плоскостьсовместим с горизонтальной поверхностью. Центр инерции (точкажестко связанной с теломнаходится на оси симметрии полушара (оси3системы координат) на расстоянии8 от центра шара (см.PРис. 11.4задачу 10.3).91  Момент инерции относительно оси вращения (см. задачу 10.3)83μ320Пусть.11.18- угол поворота полушара,полушара с плоскостью. Обозначим вектор– точка соприкосновениячерез .а) В случае шероховатой поверхности движение происходит безпроскальзывания. При этом (поскольку скорость точки касания должна бытьравна нулю) скорость центра инерциисвязана с угловой скоростьюсоотношением:0,откуда.Кинетическая энергия полушараμμ2черезВыразивимеем:с2и83μ32022.и положив в силу малости колебаний25642.0,11.19С учетом (11.19) кинетическая энергия принимает вид:208μ640.11.20Потенциальная энергия определяется высотой центра инерции надплоскостью, т.е.μ,или, с учетом малости колебаний,5μ83μ16.11.21С помощью выражений (11.20) и (11.21) составляем функциюЛагранжа:92  208μ640(опущена константа58μ3μ16).Записывая уравнение Лагранжа по переменной :3μ8208μ3200,видим, что частота малых колебаний1526ω.б) В случае абсолютно гладкой поверхности центр инерции смещаетсятолько по вертикали, следовательно,.

Координата центра масс, откуда. Полагая, в силу малости колебаний0, имеем:μ2283μ6402.11.22Потенциальная энергия по-прежнему определяется формулой (11.21),так что функция Лагранжа3μ1683μ640,а уравнение Лагранжа есть83μ3203μ80.11.23Из (11.23) видно, чтоω12083.■93  Задачи для самостоятельного решения54. Выразите через углы Эйлера кинетическую энергию вращательногодвижения шарового волчка – твердого тела, у которого все главные моментыинерции равны.55. Тонкий стержень массы μ скользит по вертикальной неподвижной нити,проходящей через отверстие, проделанное в его середине. Найдите функциюЛагранжа.56. Найдите закон движения свободного симметрического волчка массы μ.57. Одна из половинок однородного сплошного полуцилиндра массы μнаходится на горизонтальной плоскости. Найдите частоту малых колебаний вдвух случаях: а) шероховатой плоскости; б) гладкой плоскости.58.

Твердое тело подвешено на нити, которая представляет собой упругийкруглыйцилиндр,подчиняющийсязаконуГука(коэффициентпропорциональности ). Длина цилиндра - , радиус и плотность - .Момент инерции твердого тела относительно нити равен .

Найдите частотукрутильных колебаний системы.§ 12. Уравнения Эйлера Использование углов Эйлера для описания вращательного движениятвердого тела не всегда оказывается удобным. В ряде случаев прощеиспользовать уравнения Эйлера, которые имеют следующий вид:,,12.1.Индексы 1, 2, 3 в (12.1) нумеруют направленные вдоль главных осей инерцииоси , , жестко связанной с телом системы . , ,- проекции наоси системырезультирующего момента сил,94  вычисленного относительно центра инерции тела (суммирование ведется повсем точкам тела). Уравнения Эйлера есть ни что иное, как закон изменениямомента импульса тела,12.2записанный в системе .

Момент импульсатвердого тела в (12.2), такжекак и , вычисляется относитедьно центра инерции тела, а его проекции наоси системы координатравны:,,.Уравнения (12.1) определяют зависимости от времени проекций угловойскорости твердого тела, т.е. функции,,. Если необходимонайти зависимости от времени эйлеровых углов, то систему (12.1)необходимо дополнить соотношениями (11.1), которые выражают проекцииугловой скорости через углы Эйлера , , .

Часто систему (12.1) называютдинамическими уравнениями Эйлера, а систему (11.1) – кинематическимиуравнениями Эйлера.Задача 12.1. Получите уравнения Эйлера (12.1) из закона изменения моментаимпульса твердого тела (12.2).□ Уравнение (12.2) справедливо в неподвижной инерциальной системеотсчета . Для того, чтобы записать это уравнение во вращающейся вместе стелом системе , оси которой совпадают с главными осями инерции тела,представим приращение вектора в виде:,.12.3- приращение вектораза время , наблюдаемое вВ формуле (12.3)системе , а- угол поворота системыза тот же интервал времени(уголнаправлен вдоль оси поворота). Учитывая (12.3), запишемуравнение (12.2) в следующей форме:,где- угловая скорость вращения тела. Абсолютно аналогично(12.3) записываем выражение для приращения угловой скоростиформуле (12.3) меняется на ) и получаем, что.95  12.4(вТак как0, то,и, следовательно, скорости изменения вектора12.5в системахЗаписывая теперь выражение (12.4) в проекции на осьучетом того, что, имеем:.Проекция на осьиравны.системы,с12.6векторного произведения.12.7и.

С помощью соотношений (12.5) иЗдесь учтено, что(12.7) записываем уравнение (12.6) в виде:.Видно, что данное уравнение совпадает с первым из уравнений системы(12.1). Аналогично получаются два оставшихся уравнения Эйлера дляпроекций на оси и . ■Задача 12.2. Найдите для случая свободного симметрического волчказависимости проекций вектора угловой скорости на главные оси инерции отвремени..

Поскольку волчок свободный, т.е. на него не□ Пустьдействуют внешние силы, то0. При этом уравнения Эйлера(12.1) принимают вид:0,0,12.80..Из третьего уравнения системы (12.8) сразу следует, чтоДля определения зависимостейиумножим второе уравнениесистемы на мнимую единицу и сложим с первым:96  ωгде ω,12.91 . Интегрируя (12.9), находим:ωωω.12.10Здесь комплексная постоянная выражена через действительные величиныи с помощью соотношения.

Отделяя в (12.10) действительнуюи мнимую части, приходим к выражениям:ωω,.Из полученных соотношений видно, что проекция угловой скорости наплоскость, перпендикулярную оси , вращается в этой плоскости с угловойскоростью ω. При этом величина проекции угловой скорости на указанную. Посколькуплоскость имеет постоянное значение равное, то и весь вектор угловой скоростипроекция угловой скоростиравномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси волчка (оси ). ■Задачи для самостоятельного решения59. Найдите временные зависимости проекций угловой скорости вращения наглавные оси инерции свободного шарового волчка ().60. Найдите с помощью уравнений Эйлера для свободного симметрическоговолчка зависимости от времени эйлеровых углов.Указание: если осьнеподвижной системы координат направить вдольпостоянного вектора момента импульса , то, проектируя на оси , , ,получаем три соотношения:sin sin,sin cos,cosДля нахождения зависимости эйлеровых углов от времени удобно даннымисоотношениями дополнить систему (11.1).61.

Пользуясь уравнениями Эйлера, покажите, что интегралами движениядля свободного асимметрического волчка () являются выражения2 и97  .Глава 5. Канонический формализм § 13. Уравнения Гамильтона Рассмотрим систему с степенями свободы. Функция,,….,,,,….,,, ,,α α13.1αв которой все обобщенные скорости выражены через обобщенные импульсыи обобщенные координаты с помощью уравненийαα, называетсяфункцией Гамильтона. Сравнивая выражение (13.1) с (5.1) видим, чтофункция Гамильтона представляет собой обобщенную энергию системы.Уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями называетсяследующая система 2 дифференциальных уравнений первого порядка для2 неизвестных функций α , α :αα,ααα1,2, … ,.13.2Уравнения (13.2) полностью эквивалентны уравнениям Лагранжа (3.1).Однако уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеютболее симметричную форму и являются инвариантными по отношению кканоническим преобразованиям (см.

следующий параграф). В связи с этимуравнения Гамильтона имеют ряд преимуществ по сравнению с уравнениямиЛагранжа при исследовании различных общих вопросов механики.Задача 13.1. Напишите функцию Гамильтона материальной точки,находящейся в потенциальном поле, в а) декартовых и б) цилиндрическихкоординатах.□ а) Функция Лагранжа в декартовых координатах имеет вид:, , ,2,где– масса точки,– потенциальная энергия.