П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков (1115220), страница 4
Текст из файла (страница 4)
задачу 3.1).2Полагая0 в выражении (4.10), получаем функцию Лагранжа:2φθ.2■Задачи для самостоятельного решения20. Покажите, что уравнение движения одномерного гармоническогоосциллятора с вязким трением (сила сопротивления) можнозаписать как уравнение Лагранжа0,используя функцию Лагранжа (4.1).21. Два одинаковых груза массыстенками пружинами жесткостидействует сила сопротивлениясвязаны между собой и с неподвижными, и(рис. 4.2). На каждый из грузов1, 2 . Найдите функцию31 Лагранжа системы. Можно ли построить функцию Лагранжа, если массыгрузов и коэффициенты тренияразличны?k1mk2m22.
Найдите в прямоугольныхдекартовых координатах функциюЛагранжа и уравнения движениячастицы массыи заряда,воднородномx находящейсямагнитном поле , если векторныйпотенциал задан в видеk3Рис. 4.20,.Сравните полученный результат с результатом задачи 4.4.23. Найдите в сферических координатах функцию Лагранжа частицы массыи заряда , движущейся в поле магнитного монополя,.Указание: записать соотношениев сферических координатах (см.приложение) и убедиться, что ему удовлетворяет векторный потенциал,выбранный в виде0,24.
Частица массыи зарядавекторный потенциал которогоμ.движется в поле магнитного диполя,, μ.Напишите функцию Лагранжа частицы в а) цилиндрической и б)сферической системах координат.32 Глава 3. Интегрирование уравнений движения § 5. Законы сохранения Интегралом движения называется функция времени, координат искоростей точек, сохраняющая при движении механической системыпостоянное значение. Таким образом, интеграл движения определяетсясоотношением вида,,…,,,,…,,,где индексы у радиусов-векторов и скоростей нумеруют точки механическойсистемы, а является постоянной величиной, значение которой определяетсяначальными условиями. Среди интегралов движения есть такие, постоянствокоторых связано со свойствами пространства и времени, а именно иходнородностью и изотропией. К таким интегралам движения относятсяэнергия, импульс и момент импульса механической системы.
Называют этиинтегралы движения законами сохранения. Рассмотрим их последовательно.1) Закон сохранения энергии. Если время не входит явно в функциюЛагранжа, т.е.0, то механические свойства этой системы не зависятот выбора начала отсчета времени. Это свойство, называемое однородностьювремени, приводит к закону сохранения обобщенной энергииαα,α5.1где- число степеней свободы системы. В простейшем случае, когда, а радиусы-векторы точек системы как функции обобщенныхкоординат явно от времени не зависят, обобщенная энергия совпадает сполной энергией системы, т.
е..Задача 5.1. Найдите обобщеннуюнаходящейся в электромагнитном поле.энергиюзаряженнойчастицы,□ Функция Лагранжа частицы в электромагнитном поле имеет вид (4.10).Найдем, что,,33 .5.2С учетом (5.2), пользуясь определением обобщенной энергии (5.1), имеем:,Видно, что член,,22., линейный по скорости частицы, не входит ввыражение для обобщенной энергии, которая в данном случае совпадает сполной энергией системы.
■2) Закон сохранения импульса. Пусть механические свойства системы неменяются при любом параллельном переносе системы как целого впространстве. Это свойство, называемое однородностью пространства,приводит к закону сохранения обобщенного (декартова) импульса системы:.5.3Здесь индекснумерует частицы механической системы. Обобщенныйимпульс отдельной частицы системы.Если функция Лагранжа имеет вид (3.2), т.е.,2то обобщенный импульссистемы:5.3,…,,,совпадает с механическим импульсом.В случае, когда движение описывается обобщенными координатами,обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате α ,определяется равенством:αα34 .5.4Обобщенный импульс α сохраняется, если функция Лагранжа независит явно от координаты α . Координата α , от которой функцияЛагранжа явно не зависит, называется циклической координатой.Задача 5.2.
Докажите, что если α - циклическая координата, тосоответствующий этой координате обобщенный импульс α сохраняется.□ Уравнение Лагранжа по координатеααимеет вид:0,αоткудаαα.5.5Поскольку функция Лагранжа не зависит явно отУчитывая, что по определениюα,ααα,тоα0.из (5.5) имеем0,следовательно,.■α3) Закон сохранения момента импульса. Если механические свойствасистемы не изменяются при любом повороте системы как целого впространстве (это свойство называется изотропией пространства), тоследствием этого является сохранение момента импульса системы:.5.6, моментОтметим, что в случае, когда обобщенный импульсимпульса, определяемый равенством (5.6), совпадает с обычным вмеханическом смысле моментом импульса,35 .5.7В общем же случае момент импульса (5.6) может не совпадать с (5.7) (см.задачу 5.5).Если в качестве обобщенной координаты выступает угол поворотасистемывокруг какой-то оси, например оси , то обобщенный импульссовпадает с проекциеймомента импульса на ось .Задача 5.3.
Найдите обобщенные импульсы свободной частицы в а)прямоугольной, б) цилиндрической и в) сферической системах координат.□ а) Функция Лагранжа.2Обобщенные импульсы:,б,;2,в.,.;2,,.■Задача 5.4. Найдите, исходя из свойств однородности и изотропиипространства-времени, законы сохранения для частицы, движущейся в полетяжести.□ Поскольку на частицу не наложены переменные силовые поля, тосохраняется энергия частицы.
Направим осьпрямоугольной декартовойсистемы координат вертикально вверх. Очевидно, что трансляцииотносительно осей и , а также поворот относительно оси не изменяютмеханических свойств системы. Поэтому сохраняются проекции импульса,и проекция момента импульса. Однако, из четырех интегралов36 движения,Действительно,соотношением,,,независимыми являются всего лишь три.связаны, по определению момента импульса,,.Учитывая, чтои, находим:0..Следовательно,Законы сохранения для данной задачи можно найти и анализируяфункцию Лагранжа. Записав функцию Лагранжа в прямоугольныхдекартовых координатах в виде,2видим, что0,0. Это означает, что сохраняется0,энергия,2и обобщенные импульсы,.■Задача 5.5.
Найдите законы сохранения для частицы массыи заряда ,движущейся в однородном магнитном поле напряженности, есливекторный потенциал задан в виде12.□ Функция Лагранжа частицы в цилиндрических координатах имеет вид(задача 4.4):2237 .Функция Лагранжа не зависит явно от времени, а координатыциклические. Поэтому сохраняется энергияи-,2и обобщенные импульсы2,.Видно, что обобщенный импульсналичиемслагаемогомеханическогокоординатахмомента). ■2отимпульсав данном случае отличаетсяпроекции(равнойнавосьобычногоцилиндрическихЗадачи для самостоятельного решения25. Математический маятник прикреплен к частице, способной двигатьсявдоль гладкой горизонтальной прямой. Найдите интегралы движениясистемы, исходя из свойств однородности и изотропии пространствавремени.26.
Найдите обобщенные импульсы в сферической системе координат дляпространственного осциллятора, функция Лагранжа которого22.Какие из обобщенных импульсов сохраняются?27. Найдите компоненты импульсаи момента импульса, которыесохраняются при движении заряженной частицы в следующих полях:а) поле электрического и магнитного диполя;б) поле равномерно заряженной бесконечной плоскости;в) поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра.38 28.
Найдите сохраняющиеся величины в случае движения частицы массыи заряда в однородном магнитном поле напряженности , если векторныйпотенциал задан в виде0,.Сравните полученный результат с результатом задачи 5.5.29. Частица с массойи зарядом движется в аксиально-симметричноммагнитном поле. Запишите функцию Лагранжа частицы в цилиндрическихкоординатах и найдите интегралы движения.Указание: векторный потенциал удобно выбрать в виде0,,,0.§ 6. Одномерное движение Одномерным называют движение системы, имеющей одну степеньсвободы.
Если на систему наложены стационарные идеальные голономныесвязи и потенциальные силы, независящие от времени, то функцию Лагранжаможно записать в виде:,26.1где- некоторая функция обобщенной координаты (см. задачу 3.2).Поскольку функция Лагранжа (6.1) не зависит явно от времени, то длярассматриваемой системы сохраняется энергия.26.2Преобразуя (6.2), имеем:2,6.3откуда,239 .6.4Знак “+” (“-”) в выражениях (6.3) и (6.4)Uберется на участках траектории, где0(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
