П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков (1115220), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Формула (6.4) позволяет найтиE1закон движения системы. Из нее видно,что движение может происходить лишь втех областях пространства, где.E2q2q1Пусть зависимостьимеет вид,qq3изображенный на рис. 6.1. Если энергиясистемыили, то движение будетE3инфинитным, т.е. частица может уйти наABбесконечность. Если полная энергиясистемы, то движение будетпроисходить в ограниченной областиРис. 6.1пространства между точкамии В. В этом случае движение являетсяфинитным. Точки и В называются точками остановки, поскольку скоростьчастицы в них равна нулю. Координаты этих точекиопределяются изусловия:U.x3x2x1E<06.5ОдномерноефинитноедвижениеE>0 является колебательным – частицасовершаетпериодическиповторяющееся движение между двумяПериодэтогоx границами.колебательного движения определяетсяформулой:-U0Рис.
6.22Точки поворотаи.6.6в (6.6) задаются условием (6.5).Задача 6.1. Потенциал Морза. Найдите закон движения частицы в поле2.40 □ Схематично данный потенциал представлен на рис. 6.2. Видно, что взависимости от энергии частицы возможно два типа движения: 1)0финитное движение; 2)0 - инфинитное движение.Рассмотрим эти случаи. Для определенности будем считать, чточастица движется вправо и0.10. В этом случае движение колебательное и происходит междуточками и .
Воспользовавшись формулой (6.4), находим:2| |2| |12| |,| |6.7где| || |Выражая.через из соотношения (6.7), получаем:| | s12| |.| |6.82)0. В этом случае движение будет инфинитным, частица может уйти набесконечность вправо. Рассмотрим сначала случай0. Формула (6.4) приэтом запишется в виде:2.26.9Интегрирование (6.9) дает:√2√21√,2Отсюда41 √21 .1ln12.6.100.
Интегрируя (6.4), имеем:Перейдем к случаю221,26.11где.Из (6.11) находимch12.6.12Формулы (6.8), (6.10) и (6.12) определяют закон движения частицы взависимости от ее полной энергии. ■UЗадача 6.2. Точка движется в поле с⁄ .потенциаломНайдите закон движения точки ипериод колебаний.E2x10Рис. 6.3x22□ Схематично один период графикафункциипредставлен на рис. 6.3.Как видно из рис. 6.3, движение можетпроисходить лишь в ограниченнойиx области между точками поворота. Пусть0, а0. Тогдаформула (6.4), будет иметь вид:,242 откуда,26.13.гдеВыражаячерез с помощью (6.13), получаем закон движения точки:2.По формуле (6.6) определяем период:√2√2Точки остановкииarcsinEsin.6.14находим из уравнения0,решая которое, имеем:,.6.15Подставляя (6.15) в (6.14), окончательно получаем:2.■Задача 6.3.
Определите период нелинейных колебанийматематического маятника, представляющего собой точку массынити длиной в поле тяжести.43 плоскогона конце□ В качестве обобщенной координаты выберем угол - отклонение нити отвертикали. За ноль потенциальной энергии примем точку подвеса маятника.Тогда потенциальная и кинетическая энергии маятника равны:,22,а его полная энергия,26.16где- максимальный угол отклонения нити от вертикали. Из (6.16)находим, что2.Пусть в начальный момент временивертикали равен нулю, т.е. 00. Тогда0 угол отклонения нити от.26.17Знак “+” (“-”) перед радикалом берется в интервалах изменения угла от 0дои отдо 0 (отдо 0 и от 0 до). Используя (6.17), получаемвыражение для периода колебаний:2222422.244 26.18C помощью подстановкизапишем соотношение (6.18)следующим образом:441,126.192.гдеИнтеграл вида1называется эллиптическим интегралом первого рода.
Разложимподынтегральное выражение в (6.19) в ряд, считая колебания малыми.Получим:11211.6.20С учетом (6.20) представим равенство (6.19) в форме:4При1211 имеем418.2. Поэтому22216.6.21Видно, что колебания маятника не являются гармоническими,поскольку период зависит от амплитуды.
Первый член в (6.21) дает хорошознакомую формулу для периода линейных колебаний математическогомаятника. ■45 Задачи для самостоятельного решения30. Найдите, используя закон сохранения энергии, закон движения и периодколебаний одномерного гармонического осциллятора (система с2,потенциальной энергией.31. Найдите закон движения частицы в потенциальном поле⁄,0. В начальный момент времениесли ее полная энергия0.0 и32.
Определите закон движения и период колебаний частицы в поле,если полная энергия0.33. Частица движется в потенциальной одномерной прямоугольной ямеширины . Вычислите среднюю силу, с которой частица действует на стенку,если энергия частицы равна .§ 7. Движение частицы в полях. Задача двух тел Рассмотрим движение материальной точки массыво внешнем поле,в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния доопределенной неподвижной точки (центра поля).
Если это расстояниеобозначить посредством , то. Такое поле называют центральным.Сила,действующая при этом на частицу, зависит тоже только от и направлена вкаждой точке вдоль радиуса-вектора. При движении в центральном полесохраняются энергия и момент импульса, вычисленный относительно центраполя.Задача 7.1. Покажите, что траектория частицы, движущейся в центральномполе, лежит в одной плоскости.46 □ Момент импульса при движении в центральном поле сохраняется, т.е..Из определения векторного произведения следует, что,0, т.е.
векторлежит в плоскости, перпендикулярной вектору . А поскольку,то радиус-вектор частицы все время лежит в одной плоскости. ■Поскольку траектория частицы в центральном поле лежит целиком водной плоскости, то для описания движения частицы необходимо выбратьдве обобщенные координаты. Направим ось вдоль сохраняющегося вектора, а на плоскостивведем полярные координаты ( , ϕ), совместив началоотсчета полярной системы координат с центром поля. При этом функцияЛагранжа.2КоординатавфункцииЛагранжа(7.1)7.1являетсясохраняется иСоответствующий ей обобщенный импульссовпадает с моментом импульсациклической., т.е..Выражая с помощью 7.2через7.2, запишем энергию частицы в виде:22.27.3Из этого выражения следует, что2,откуда, разделяя переменные и интегрируя,,247 .7.4Равенство 7.4 определяет в неявном виде расстояние движущейсяточки от центра поля как функцию времени.
Знак “+” (“-”) перед радикаломберется на участках траектории, где0(0).Из (7.2) имеем.2Отсюда находим зависимость, определяющую траекторию частицы:.,7.52Формулы (7.4) и (7.5) определяют в квадратурах закон движениячастицы в центральном поле.В центральном поле энергия частицы определяется выражением (7.3),из которого видно, что радиальную часть движения можно рассматривать какодномерное движение в поле с “эффективной” потенциальной энергией.2Величину2называют центробежной энергией. Границы областидвижения по расстоянию от центра определяются равенством.7.6Значения , при которых выполняется равенство (7.6) называются точкамиповорота, поскольку в этом случае радиальная скорость0, а угловаяскоростьне обращается в нуль, т.е.переходит от увеличения куменьшению или наоборот.Задача 7.2. Найдите уравнение траектории частицы массыполе с потенциаломαβ,αОпределите условие замкнутости траектории.48 0, β0.в центральном□ Пусть в начальный момент времени частица находится на минимальномрасстоянииот силового центра.
Будем отсчитывать уголотнаправления радиуса-вектора в этот момент времени, т.е. положим0.Тогда, подставляяв формулу (7.5) и производя интегрирование, найдем:α2β12 βα12 β2 β212β2 βααβ4α.7.72воспользуемся формулой (7.6):Для нахожденияαβ.2Отсюда1ααβ42.2β7.8Подставляя это значение в (7.7), имеем:π2 β212βαβ4α212β2 βα49 4βα2.7.9Введем обозначения:2βαα,14βα2, ω12 β.С учетом сделанных обозначений из (7.9) получаем уравнение траектории:ω1.7.10Из (7.10) следует, что в случае01 движение частицы будетфинитным.
При этом условие замкнутости траектории имеет вид:Δ2α22π ,β7.11где и - произвольные целые числа. Условие (7.11) означает, что черезполных оборотов точка займет первоначальное положение. С помощью (7.6)находим, чтоα1α4β2.2β7.12Вычисляя интеграл в выражении (7.11) с учетом (7.8) и (7.12),определяем, что траектория будет замкнутой приω. ■иЗадача 7.3. Задача двух тел.
Имеются две материальные точки массами. Потенциальная энергия их взаимодействия зависит только от расстояниямежду точками, а внешние силы отсутствуют. Определите закон движениясистемы.□ Функция Лагранжа системы двух частиц имеет вид:22|| ,гдеи- радиусы-векторы частици, соответственно. Выберем вкачестве обобщенных координат системы радиус-вектор центра инерции50 7.13и вектор взаимного расстояния точек.7.14Из выражений (7.13) и (7.14) находим:,,откуда,.7.15Подставляя (7.15) в функцию Лагранжа, получим:μ2Здесь μ.27.16- полная масса системы, аназывается приведенной массой.Из (7.16) видно, что функция Лагранжа в координатах , распадаетсяна два слагаемых, зависящих от различных наборов переменных.
А именно,первый член в (7.16) описывает свободное движение материальной точки смассой μ и радиусом-вектором , а остальные – движение материальнойточки с массойи радиусом-вектором в центральном поле. Такимобразом, исходная задача двух тел сведена к задачам о движении центраинерции системы и движении точки в центральном поле.Компонентыявляются циклическими координатами.
Поэтомуесть сохраняющийся импульс системы, т.е.μ.Отсюда следует, чтоμ51 0 ,т.е. центр инерции движется прямолинейно и равномерно.Закон движения приведенной массыопределяется интегралами (7.4) и (7.5). ■в центральном полеЗадача 7.4. Сферический маятник. Проинтегрируйте уравнения движенияматериальной точки массы, движущейся по абсолютно гладкойповерхности сферы радиуса в однородном поле тяжести.□ Функция Лагранжа для сферического маятника (задача 3.3).2Видно, что координата0. Следовательно,- циклическая, аимеется два интеграла движения – обобщенный импульс ϕ (совпадающий смомента импульса на полярную ось ) и энергия :проекцией,ϕ7.17.27.18Из интеграла движения (7.17) следует, что.7.19Подставляя это выражение в (7.18), получим:,27.20где.2Из (7.20) находим, что252 ,откуда (разделяя переменные и интегрируя).,27.21С учетом (7.21) из равенства (7.19) имеем:Формулы (7.21)поставленной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
