П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛомоносоваП.А. Форш   ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙМЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВ        Москва2010  Оглавление Предисловие ............................................................................................................. 3Глава 1. Ньютоновская механика .......................................................................... 4§ 1. Уравнения Ньютона ...................................................................................... 4Глава 2.

Уравнения Лагранжа .............................................................................. 13§ 2. Обобщенные координаты ........................................................................... 13§ 3. Уравнения Лагранжа в независимых координатах.................................. 16§ 4. Уравнения Лагранжа при наличии диссипативныхи электромагнитных сил .................................................................................... 24Глава 3. Интегрирование уравнений движения ................................................. 33§ 5.

Законы сохранения ...................................................................................... 33§ 6. Одномерное движение ................................................................................ 39§ 7. Движение частицы в полях. Задача двух тел ........................................... 46§ 8. Рассеяние частиц ......................................................................................... 59§ 9. Колебания систем со многими степенями свободы ................................ 67Глава 4.

Движение твердого тела ........................................................................ 80§ 10. Тензор инерции ......................................................................................... 80§ 11. Углы Эйлера. Интегрирование уравненийдвижения твердого тела ..................................................................................... 84§ 12. Уравнения Эйлера ..................................................................................... 94Глава 5. Канонический формализм ..................................................................... 98§ 13.

Уравнения Гамильтона ............................................................................. 98§ 14. Канонические преобразования. Скобки Пуассона .............................. 103§ 15. Уравнение Гамильтона-Якоби ............................................................... 110§ 16. Адиабатические инварианты. Переменные действие-угол ................ 120Ответы ..................................................................................................................

129Приложение ......................................................................................................... 138Криволинейные системы координат .............................................................. 138Литература ........................................................................................................... 144   2  Предисловие  Содержание пособия составляют задачи, которые в течение ряда летпредлагались на лекциях и семинарских занятиях по теоретической механикестудентам химического факультета МГУ. Несмотря на то, что к настоящемумоменту имеется большое количество прекрасных задачников потеоретической механике, использование их вызывает определенныетрудности у студентов нефизических специальностей.

Это связано с тем, чтоимеющиеся задачники, как правило, ориентированы на физиков и поэтомусодержат большой объем материала и часто изобилуют сложнымматематическим аппаратом. В данном учебном пособии собраны задачи,которые, не выходя за рамки программы по теоретической механике длястудентов химических факультетов университетов, демонстрируютприменение основных законов механики к исследованию конкретных систем.Пособие состоит из пяти глав, в которых рассматриваются задачи последующим разделам механики: уравнения Ньютона, уравнения Лагранжа,задача двух тел, линейные колебания, динамика твердого тела, уравненияГамильтона, канонические преобразования, уравнения Гамильтона-Якоби иадиабатические инварианты.

В начале каждого параграфа приводятсяосновные теоретические сведения, необходимые для решения задач. Затемпредставлены подробные решения типичных задач по изучаемой теме и взаключение даны задачи для самостоятельного решения. Начало и конецрешений задач отмечены соответственно знаками □ и ■. При подборе задачиспользовались различные источники, список которых содержится в разделе“литература”. В приложении более подробно, чем в основном тексте,рассмотрены криволинейные системы координаты и, в частности, полученывыражения для скорости и ускорения точки в ортогональных криволинейныхкоординатах.Автор выражает самую искреннюю благодарность доцентуфизического факультета МГУ К.А.

Казакову за большую помощь в работе,важные указания, замечания и многие полезные советы, способствовавшиезаметному улучшению данного пособия. Также автор считает приятнымдолгом поблагодарить за ряд ценных рекомендаций и помощь в подборезадач сотрудников физического факультета МГУ: доцентов Л.А. Голованя,Г.Б. Демидовича, Е.А. Константинову и научного сотрудникаД.М.

Жигунова.3  Глава 1. Ньютоновская механика  § 1. Уравнения Ньютона Пусть – радиус-вектор материальной точки массыотносительнокакой-либо инерциальной системы отсчета, а– равнодействующая всехсил, приложенных к данной точке. Тогда уравнения движения (уравненияНьютона) материальной точки в проекциях на оси прямоугольнойдекартовой системы координат имеют вид:,уу1.1у,.Основной задачей механики является определение закона движенияматериальной точки, т.е. зависимости (t). Для нахождения закона движенияточки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему(1.1), являющуюся системой трех дифференциальных уравнений второгопорядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решениесистемы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядкасодержит шесть произвольных постоянных. Для однозначного определенияэтих постоянных необходимо задать начальные условия, т.е. в какой-тоопределенный момент времени, например при t=0, задать координатыдвижущейся точки , , и проекции ее скорости , , .Задача 1.1. Материальная точка массы m брошена с поверхности Земли соскоростьюпод угломк горизонту.

На точку действует силасопротивлениявоздуха,направленнаяпротивскоростиипропорциональная скорости точки, т.е.. Найдите закон движенияточки.□ Выберем прямоугольную декартову систему координат таким образом,чтобы ее начало находилось в точке бросания, а скоростьлежала вплоскости . Ось направим по вертикали вверх. При сделанном выбореосей координат начальные условия будут иметь следующий вид:0,0,0;0,4  cos ,sin .Помимо силы сопротивления воздуха на точку будет действовать силатяжести, где– ускорение свободного падения, направленное пооси вертикально вниз.

Уравнения движения в проекциях на оси выбраннойсистемы координат записываются следующим образом:,1.2,.Интегрируя каждое уравнение системы (1.2), получим выражения дляпроекций скорости точки в произвольный момент времени t:,,1.3.Полагая в уравнениях (1.3) t=0 и используя начальные условия, найдем:С0,cos ,СsinС.После подстановки постоянных интегрирования С , С , С в (1.3) и заменыпроекций скорости на оси координат производными от координат по времениполучим:0,cos1.4,sin.Интегрируя уравнения (1.4), имеем:,cos,sin.5  1.5С помощью начальных условий определяем, чтоС0,cos ,sin.Подставляя найденные константы в (1.5), получим закон движения точки:0,cos1sin,1.■Задача 1.2. Гармонический осциллятор. На точку массы m действует сила,направленная к неподвижному центру О и пропорциональная расстоянию отточки до центра.

В начальный момент времени t=0 точка находилась нарасстоянииот центра и имела скорость. Найдите закон движения иуравнение траектории точки.□ Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ееначало совпадало с центром О, а векторыилежали в плоскости.Силу, действующую на точку, можно записать в виде, где k –коэффициент пропорциональности. Уравнения движения в проекциях на осивыбранной системы координат будут иметь вид:,,.Перепишем эти уравнения в более привычной для гармонических колебанийформе:0,0,0,где.

Решение системы (1.6) можно записать какcoscoscossinsinsin6  1.6,,.1.7Дифференцируя систему (1.7) по времени, найдем выражения для проекцийскорости точки:sinsinsincoscoscos,,.1.8Начальные условия для координат и проекций скорости точки имеют вид:0,00,0;00,,00., ,и , ,- проекции векторови , соответственно, наЗдесьоси координат. Используя начальные условия, из (1.7) и (1.8) находим:,,,,Таким образом, зависимостиопределяются выражениями:0,координатcossin,cossin,точки0.отвремени1.90.Используя тригонометрические формулы, первые два уравнениясистемы (1.9) можно представить в виде,coscosгде,1.10,,,,.Из первого выражения в (1.10) следует, что.cos7  1.11Тогда1sin.1.12Второе выражение в (1.10) представим в формеcoscoscossinsin .1.13Учитывая (1.11) и (1.12), из (1.13) получаемcos1sin ,откуда2cossin.Это выражение и является уравнением траектории, которая представляетсобой эллипс, произвольно ориентированный относительно осейисцентром в начале координат.

■Задача 1.3. Найдите закон движения частицы массы m и заряда q воднородных и постоянных электрическом и магнитном полях снапряженностями и , соответственно. Начальная скорость частицы .□ Выберем систему координат так, чтобы ось совпадала с направлением ,векторлежал в плоскости, а начало отсчета было совмещено сположением точки в начальный момент времени. Уравнение движения точки,находящейся в электрическом и магнитном полях имеет вид:.1.14Правая часть данного уравнения представляет собой силу Лоренца,записанную в гауссовой системе единиц ( - скорость света).8  Распишем векторное произведение в уравнении (1.14):,0где,,1.150– орты осей ,и , соответственно.Учитывая (1.15), запишем уравнение (1.14) в проекциях на оси координат.Имеем:,1.16,.Интегрируя третье уравнение системы (1.16), находим:.0,Константуопределяем из условия: приось ).

Тогда(- проекцияна,откуда интегрируя, получаем:.2Из начального условия00 следует, что,2т.е. по оси0. Таким образом,1.17частица движется с постоянным ускорением.Для нахождения зависимостей x(t) и y(t) умножим первое уравнениесистемы (1.16) на мнимую единицу i и сложим со вторым:,9  1.18гдеесть так называемая циклотронная частота.

Введемобозначение ≡. Тогда (1.18) запишется в виде.1.19Решение уравнения (1.19) можно записать в виде суммы общегорешения однородного уравнения (без правой части) и частного решениянеоднородного уравнения (с правой частью). Общее решение естьС, а частное можно представить в виде.Таким образом.С1.20Константа С – в общем случае комплексная. Ее можно записать как,С1.21где A и α – действительные числа. Подставляя (1.21) в (1.20) и пользуясьформулой Эйлера, получим:cos.sinОтделяя мнимую и действительную части, находим:sin,.cos1.22,.