П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 13

В цилиндрической системе координат координатными линиямиявляются (рис. П.1): прямая (,const), прямая (,const) и окружность,const , а в сферической системекоординатные линии (рис. П.2) – это окружность (,const),*окружность (,const) и прямая (const,const) .Условимся положительным направлением на координатной линииназывать направление, в котором перемещается точка при увеличении                                                            *Координатные линии на рис. П.1 и П.2 обозначены пунктиром.138  .Направления координатных линий определяют при помощи трех единичныхвекторов , , .

Эти векторы являются касательными к соответствующимкоординатнымлинияминаправленывсторонувозрастаниясоответствующих координат. Векторы, ,образуют локальный(местный) базис системы координат. Для цилиндрической и сферическойсистем координат локальные базисы показаны на рисунках П.1 и П.2,соответственно. Касательные к координатным линиям, на которыхустановлено положительное направление базисными векторами, называютсякоординатными осями криволинейной системы координат. Следуетотметить, что в случае декартовой системы координат (прямоугольной икосоугольной), базисные векторы совпадают для всех точек пространства.Этим свойством обладает только декартова система координат.

Для любойкриволинейной системы координат, базисные векторы различны дляразличных точек пространства.zzezAOϕρereϕAeρθrOyeϕeθyϕxxРис. П.2Рис. П.1Системы координат, в которых векторы базиса в каждой точкепространства взаимно перпендикулярны, называются ортогональными.Цилиндрическаяисферическаясистемыкоординатявляютсяортогональными. Ортогональные системы наиболее распространены вприложениях, хотя, конечно, условие ортогональности системы не, ,.обязательно для обобщенных координатВ случае ортогональной системы координат, основными еехарактеристиками являются коэффициенты Ламе.

Если радиус-вектор точкирассматривать как вектор-функцию обобщенных координат , , , т.е.,139  ,,то коэффициенты Ламе определяются соотношениями:ααα1,2,3 .П. 1Для вычисления коэффициентов Ламе удобно радиус-векторчерез декартовы координаты, посредством равенствавыразить,и переписать формулу П. 1 в виде:ααααα1,2,3 ,где , , рассматриваются как функции обобщенных координатП. 2,,.В качестве примера с помощью формулы П. 2 найдем коэффициентыЛаме для сферической системы координат. Связь декартовых координат сосферическими выражается равенствами (2.2), учитывая которые, получаем:1,,ϕ.Абсолютно аналогично можно найти, что для цилиндрической системыкоординат1,,1.140  При движении точки ее радиус-вектор зависит через обобщенныекоординаты от времени, т.е.,,.По определению скорость точки,гдеП.

3- обобщенные скорости точки. Поскольку производныенаправлены также как и базисные векторы, можно записать:.П. 4С помощью этого равенства из П. 3 находим:,откуда видно, что проекции скорости на оси криволинейной системыкоординатα1,2,3 .П. 5Для квадрата скорости имеем:.С помощью П. 5 легко найти, что в цилиндрической системе координатпроекции скорости,,,а в сферической системе,,.Найдем теперь ускорение точки в ортогональных криволинейныхкоординатах. Для ортогональных базисных векторов проекции ускоренияточки на координатные оси можно записать в виде141  ,,.П. 6из П.

4 , представим выражение П. 6 в форме:Выражая11,,,.П. 7Из П. 3 следует равенство.П. 8Кроме того найдем, что.П. 9Правые части равенств П. 8 и П. 9 совпадают, так как они отличаютсятолько порядком частного дифференцирования. Поэтому.Дифференцируя П. 3 поП. 10, имеем:.П. 11Используя П. 10 и П. 11 , равенство П. 7 можно записать в виде:1,С помощью П. 12проекции ускорения21,2.П.

12найдем, что в цилиндрической системе координат,2,,а в сферической системе,2142  2,2.С помощью коэффициентов Ламе можно записать выражения длядифференциальныхоператороввортогональныхкриволинейнойкоординатах. В частности:Φ1Φ1Φ1Φ,1,1.  143  Литература 1. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. - М.: Наука, 1972.2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. - М.: Физматлит,2002.3. Голдстейн Г. Классическая механика. - М.: Наука, 1975.4. Казаков К.А.

Введение в теоретическую и квантовую механику. – М.: Издво МГУ, 2008.5. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. - М.:Наука, 1977.6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Физматлит, 2001.7. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Ижевск: НИЦ “РХД”, 1999.8. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990.9.

Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. - М.: Изд-воМГУ, 1974.10. Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачитеоретической механике для физиков. - М.: Изд-во МГУ, 1977.по11. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. - М.: Физматлит,2002.12. Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. - М.: Физматлит, 2003.13. Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборникзадач по аналитической механике. - М.: Физматлит, 2002.14. Татаринов Я.В.

Лекции по классической динамике. - М.: Изд-во МГУ,1984.15. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. - Ижевск: НИЦ “РХД”, 1999.16. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: Бином.Лаборатория знаний, 2004.144  Учебное изданиеФОРШ Павел АнатольевичЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ХИМИКОВУчебное пособиеФизический факультет МГУЛицензия ЛР-021293 от 18.06.1998119991 Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В.

Ломоносова  .