П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 2

ЗдесьиВоспользуемся тем, что при0,проекции скоростина оси и , соответственно. Подставляя в (1.22)0, имеем:sin ,cos10  .1.23Отсюда,.Интегрируя (1.22), приходим к уравнениям:cos,1.24sinДля нахождения константначальный момент временисистему (1.24):.и0,0используем начальные условия: в0. Положив0, перепишемcossin0,1.25.Из системы (1.23) следует, что sin, cosПодставляя эти выражения в (1.25), определяем константы,.и:.В итогеcossin,1.26.1.27Формулы (1.17), (1.26) и (1.27) определяют закон движения частицы. ■11  Задачи для самостоятельного решения1.

Точка массыпадает вертикально вниз без начальной скорости поддействием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха,значение которой пропорционально квадрату скорости, то есть(. Найдите закон движения точки.2. Частица массы и заряда движется в переменном электрическом поле снапряженностьюcos , гдеи- постоянные величины. Вначальный момент времени скорость частицы . Найдите закон движениячастицы.3. Частица массыи заряда движется в однородных постоянных взаимноперпендикулярных полях: электрическом, магнитном и гравитационном. Вначальный момент частица покоилась.

Найдите величину максимальнойскорости, приобретенной частицей.4. Найдите закон движения заряженного гармонического осциллятора(частицы массыи заряда , движущейся под действием упругой силы,), находящегося в однородном стационарном магнитномполе напряженности . В начальный момент времени смещение частицы0, а ее скорость 0.12  Глава 2. Уравнения Лагранжа § 2. Обобщенные координаты Для однозначного определения положения материальной точки впространстве необходимо задать три декартовы координаты x, y, z. В случаеописания механической системы, состоящей из N свободных материальныхточек, необходимо, очевидно, задать 3N декартовых координат.

Однакоиспользование именно декартовых координат не является обязательным. Взависимости от условий задачи может оказаться целесообразнымиспользование каких-либо других координат. Любые s независимых величин,однозначно определяющих положение механической системы, называются ееобобщенными координатами. Число обобщенных координат называетсячислом степеней свободы системы. Обобщенные координаты будемобозначать буквами , , … , . Производные от обобщенных координат повремени , , … , называются обобщенными скоростями.Механическая система может представлять собой не толькосовокупность свободных материальных точек.

На материальные точкисистемы могут быть наложены связи. Под связями будем понимать любыеусловия, ограничивающие свободу перемещения точек механическойсистемы. Математически связи могут быть выражены уравнениями илинеравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точексистемы и их производные по времени. В дальнейшем мы будемрассматривать голономные или интегрируемые связи, аналитическую записькоторых можно свести к виду,,…,,0,, ,…,– радиусы-векторы точек системы.

Для системы Nгдематериальных точек, на которую наложено n голономных связей, числостепеней свободы равно3.Задача 2.1. Найдите число степеней свободы материальной точки,движущейся по поверхности сферы радиуса (сферический маятник).□ На точку наложена одна голономная связь, которую можно записать в виде. Число степеней свободы3313  12. ■Задача 2.2. Найдите число степеней свободы твердого тела.□ Под твердым телом в механике понимается система материальных точек,расстояние между которыми не изменяется. Очевидно, что положениетвердого тела в пространстве определяется заданием любых трех его точек,не лежащих на одной прямой.

Поскольку расстояние между точками должнооставаться неизменным, то на выбранные точки наложено n=3 связей. Такимzобразом, число степеней свободы3⋅33A36. ■Рассмотримцилиндрическую,сферическую и полярную системыкоординат, которыми будем частопользоваться в дальнейшем*.OyВцилиндрическойсистемекоординат положение точки задаетсяρBее аппликатойАВ и полярнымиxкоординатамиВ,∠(рис.Рис. 2.12.1). Координаты, ,могутизменятьсявпределах:0∞, 02 , ∞∞.Прямоугольные и цилиндрические координаты связаны соотношениямиϕz,ArθOϕ,BРис. 2.2∞, 02 , 0. Осьбудем называть полярной осьюсферическойсистемыкоординат.Прямоугольныеисферическиекоординаты связаны равенствами                                                            *Более подробно криволинейные системы координат описаны в приложении.14  2.1В сферической системе координатположение точкиможно определитьследующимитремявеличинами(рис.

2.2): расстояниемА, углом∠между лучами Oz и OA,углом∠(В – проекция точки Аy на плоскость ). При этом0x.,yArϕOРис. 2.3,.2.2В случае движения точки поплоскости бывает удобным использоватьполярную систему координат. В этойсистеме координат положение точкиопределяется полярным радиусоми полярным углом∠(рис. 2.3).Полярные координаты изменяются впределах: 0∞, 02 . Связь,с координатами,x координатзадается соотношениями,.2.3Задача 2.3. Найдите выражение для квадрата скорости материальной точки всферической системе координат.□ Продифференцируем соотношение (2.2), связывающие прямоугольные исферические координаты, по времени. Получим:,,2.4.Квадрат скорости точки.2.5Возводя соотношения (2.4) в квадрат и подставляя полученныевыражения в (2.5), находим:.

■Задачи для самостоятельного решения5. Найдите число степеней свободы тонкого массивного стержня.6. Найдите число степеней свободы трехатомной молекулы.7. Найдите число степеней свободы твердого тела с неподвижной осью.15  8. Найдите число степеней свободы твердого тела с одной закрепленнойточкой.9. Найдите число степеней свободы деформируемого тела или жидкости.10. На цилиндр, который может двигаться безпроскальзывания по горизонтальной плоскости,положен прямоугольный брусок (рис. 2.4).Считая, что проскальзывание между бруском ицилиндром отсутствует, определите количествостепеней свободы системы.Рис. 2.411.

Запишите выражение для квадрата скоростиматериальной точки в а) полярной и б)цилиндрической системах координат.§ 3. Уравнения Лагранжа в независимых координатах Пусть на механическую систему cстепенями свободы наложеныголономные идеальные связи. Под идеальными связями будем пониматьсвязи без трения. Кроме того будем считать, что на точки системы действуюттолько потенциальные силы. Потенциальную силу , действующую на -уюточку системы, можно представить в виде.Функцияназывается потенциалом сил или потенциальной энергией. Онаможет зависеть только от обобщенных координат и времени, т.е.,Движениерассматриваемойуравнениямиα,…,,.механическойα0,αсистемы1,2, … , ,описывается3.1в которых функция,гдеесть кинетическая энергия системы.16  3.2Уравнения (3.1) называются уравнениями Лагранжа в независимых*координатах (в дальнейшем просто уравнениями Лагранжа) , а функция функцией Лагранжа.

В (3.2) кинетическая энергия2,- масса -ой частицы, - ее скорость, выраженная через обобщенныегдекоординаты α и обобщенные скорости α , а суммирование ведется по всемчастицам системы. Часто, для краткости, совокупность обобщенныхмы будем обозначать посредством , а совокупностькоординат, ,…,обобщенных скоростейпосредством ., ,…,Уравнения (3.1) представляют собой уравнения движения, которые вкачестве неизвестных содержат обобщенные координаты. Нахождениезакона движения механической системы с помощью уравнений (3.1) посравнению с законами Ньютона имеет два существенных преимущества.1) Вид уравнений Лагранжа не зависит от конкретного выбораобобщенных координат.

При другом их выборе изменяется толькофункция Лагранжа, а форма уравнений (3.1) остается такой же. В связис этим говорят, что уравнения Лагранжа обладают свойствомковариантности.2) Если на систему наложены связи, то в уравнениях Ньютона появляютсяреакции связей, под которыми понимаются силы, действующие наточки системы со стороны тел, осуществляющих связи. В уравненияЛагранжа реакции связей не входят в явном виде, хотя, конечно,уравнения Лагранжа полностью учитывают влияние связей на систему.Задача 3.1. Напишите функцию Лагранжа свободной материальной точки ва) декартовых и б) сферических координатах.□ Поскольку точка свободная, т.е. на нее не действуют никакие силы, топотенциальная энергия0.

Поэтому функции Лагранжа будет совпадать скинетической энергией точки.а) В декартовых координатах кинетическая энергия,2                                                            *Уравнения Лагранжа в независимых координатах называют также уравнениямиЛагранжа второго рода.17  а функция Лагранжа.2б) Кинетическая энергия (см. задачу 2.3).22Функция Лагранжа.2■Задача 3.2. Напишите функцию Лагранжа механической системы в видефункции от обобщенных координат , обобщенных скоростей и времени .На систему наложены голономные идеальные связи, а внешние силыявляются потенциальными.□ Найдем сначала выражение для кинетической энергии в виде функции от, , . Пусть – радиус-вектор -ой частицы, а– ее масса. Радиус-векторв случае голономных связей является функцией обобщенных координат ивремени, т.е., , … , , , где - число степеней свободы системы.Дифференцируя по времени, получим:α.αα3.3С учетом (3.3) кинетическая энергия системы будет равна12212αβα,βααα βα,α3.4αгде - количество точек системы, а функцииопределяются выражениями18  ααβ,α,в (3.4)αβαα,α, ββα,α1,2, … ,121,2, … ,,,.Функция Лагранжа12αβ α βα,β,α α,…,,.αЕсли радиусы-векторы точек системы не зависят явно от времени (этоимеет место в случае стационарных голономных связей), то0,α0,следовательно,12αβ α β,,…,,.α,β■Задача 3.3.