П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 6

■.,√2и(7.22)являютсярешениемв7.22квадратурахЗадача 7.5. Проинтегрируйте уравнения движения частицы массы, находящейся в магнитном поле бесконечного прямого тока.и заряда□ Введем цилиндрическую систему координат, ось которой направим вдольтока. Силовые линии магнитного поля представляют собою концентрическиеокружности, плоскость которых перпендикулярна току.

Поэтому векторнапряженности магнитного полябудет иметь единственную отличную отнуля составляющую. Для ее нахождения воспользуемся законом полноготока. В качестве замкнутой кривой(контура интегрирования) выберемокружность радиуса , перпендикулярную к току и имеющую центр на оситока. Тогда4π2π,7.23где - сила тока. Из (7.23) находим, что2.В цилиндрических координатах (см. приложение)1,53  а равенствоимеет вид:10,2,7.241Положим0.0,0. Из второго уравнения системы (7.24) имеем2,.Посколькузависит только от , то при сделанном выборе векторногопотенциала все уравнения системы (7.24) обращаются в тождества.

При этомфункция Лагранжа частицы2,2Из (7.25) видно, что.2и- циклические координаты, а7.250. Этоозначает, что интегралами движения являются обобщенные импульсы,7.262,7.27и энергия.27.28Интегралы движения (7.26)-(7.28) позволяют найти закон движениячастицы в квадратурах. Действительно, выражаяи из (7.26) и (7.27),представим энергию (7.28) в виде2254  ,откуда2.7.29Здесь1222.Разделяя переменные в (7.29) и интегрируя, имеем (полагаем, что):.27.30Интегрирование выражения (7.27) приводит к равенству:2.,27.31Наконец, из равенства (7.26) находим:.,√27.32Интегралы (7.30)-(7.32) задают закон движения частицы.

■Задача 7.6 Частица массывекторным потенциаломи зарядаμдвижется в поле магнитного диполя с, μ,в плоскости перпендикулярной μ. Определите возможные типы движения инайдите закон движения в квадратурах.□ Воспользуемся цилиндрической системой координат, оськоторой0 совместим с плоскостью движениянаправим вдоль μ, а плоскостьчастицы.55  Векторный потенциал1000μμ,0а функция Лагранжа (4.10) естьμ2.Поскольку функция Лагранжа явно от времени не зависит, акоордината– циклическая, то интегралами движения являютсяобобщенная энергия,27.33и обобщенный импульсμ.7.34Из (7.34) находим, чтоμ.Подставляя выражение для7.35в (7.33), имеем:,27.36гдеμ2С цельюпроанализируемопределениязависимость7.37возможных типов движения частицы. Очевидно, что при∞,56  .0, а приэффективная потенциальная энергияПриравнивая производную0,∞.к нулю, получим:1μ12 μ0.7.380 уравнение (7.38) не имеет решений, а,Отсюда следует, что приследовательно, функция (7.37) не имеет локальных экстремумов.

Схематичнографик функциидля данного случая представлен на рис. 7.1 (а). Вэтом случае при любой энергии частица совершает инфинитное движение.UeffUeffE1maxUeffEE200ρρ ρ(1) ρ ρ(2) ρ312баρРис. 7.10, решениями (7.38) будутВ противном случае,μЗначение2 μ,соответствует минимуму функции57  , а значение– еев (7.37), найдем значениелокальному максимуму. Подставляялокального максимума функции:32.μ.Графикдля0 приведен на 7.1 (б). Видно, что придвижение инфинитно, а приинфинитным (в области(.движение может быть какдля энергиина рисунке), так и финитнымИз соотношения (7.36) следует:.27.39С учетом (7.37) из (7.35) получаем:μ.7.402Выражения (7.39) и (7.40) определяют закон движения частицы.

■Задачи для самостоятельного решения34. Найдите уравнение траектории материальнойдвижущейся в центральном поле с потенциаломα35. Материальная точка массыпотенциаломточкимассы,.движется в центральном поле сαα0 .Постройте график зависимости, опишите возможные типы движенияи для случая равенства нулю полной энергии точки найдите уравнениетраектории.36. Найдите уравнение траектории материальнойдвижущейся в центральном поле с потенциалом58  точкимассы,αα0 .37. Частица массыи заряда движется в однородном поле тяжести подбесконечно длинным тонким проводом с постоянным током (рис.

7.2).IДвижение происходит в вертикальнойOx плоскости, проходящей через провод стоком. Определите возможные типыgдвижения частицы и найдите закондвижения в квадратурах.m,q38.Потенциальнаяэнергиявзаимодействия двух частиц имеет видyРис. 7.2,Найдите,2и..39. Атом состоит из ядра массыиэлектронов одинаковых масс .Исключите движение центра инерции и сведите задачу к задаче о движениичастиц. Найдите функцию Лагранжа рассматриваемой системы.40.

Найдите функцию Лагранжа и уравнения движения двух частиц сии с зарядамии, находящихся в однородноммассамиэлектрическом поле напряженности , если.§ 8. Рассеяние частиц Рассмотрим однородный поток одинаковых частиц, налетающих нанеподвижный силовой центр из бесконечности, где все они имеютодинаковую скорость. Если послепрохождения силового центра частицыотклоняются от своего первоначальногоA~направления и снова уходят наϕχm бесконечность, то такой процессназывают рассеянием частиц.

Пустьρпотенциальная энергия взаимодействия~ϕчастиц с полем зависит только отOрасстояниядо силового центра, т.е.. На рис. 8.1 схематичноРис. 8.1изображена траектория движения одной из частиц потока. Угол между59  асимптотами траектории называется углом рассеяния (на рисунке уголрассеяния обозначен посредством χ). Если бы частица не взаимодействовалас силовым центром, то она прошла бы на расстоянии от него.

Параметрназывают прицельным расстоянием. Траектория частицы в центральном полесимметрична по отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центруточку орбиты (отрезокна рисунке). Поэтому обе асимптоты пересекаютуказанную прямую под одинаковыми углами. Обозначим эти углы через .Угол связан с центральным углом соотношениемχ|2 |.8.1Поместим началополярной системы координат в силовом центре.Полярный уголбудет определяться формулой (7.5). Будем отсчитыватьуголот радиуса-вектора.

Поскольку частица уходит набесконечность, то для определения верхний предел интегрирования в (7.5)следует положить равным ∞. Учитывая также, что2ρ,ииз формулы (7.5) получим:.8.221Минимальное расстояние между частицей и силовым центром определяетсяформулой (7.6), которая в новых обозначениях запишется в виде:210.8.3В физических приложениях, как правило, приходится иметь дело срассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на силовой центр содинаковой скоростью . Этот пучок можно охарактеризовать плотностьюпотока частиц , под которой подразумевается число частиц, пролетающихза секунду через перпендикулярную к пучку единичную площадку.

Частицыпучка рассеиваются на разные углы χ в зависимости от того, с какимприцельным расстоянием они летят. Будем считать, что связь между и χявляется взаимно однозначной. Тогда частицы, прицельное расстояние60  которых лежит в пределах,, рассеиваются в интервал угловχ, χχ . В случае однородного по сечению пучка поток частиц,прицельное расстояние которых попадает в интервал,, равен2. Основной характеристикой процесса рассеяния являетсядифференциальное эффективное сечение рассеяния,σ, котороеопределяется как отношение числа частиц, рассеянных в интервал угловχ, χχ в единицу времени к плотности потока налетающих частиц, т.е.σ2к χ, получим:Отсюда, переходя от переменнойσЗдесь производнаяχχχχχ2χ.8.4χ взята по модулю, поскольку, как правило,0 (как правило, чем меньшеχ., тем больше угол рассеяния χ).Часто σ относят не к элементу плоского угла χ, а к элементу телесногоугла .

Телесный угол между конусами с углами раствора χ и χχ есть2χ χ. Учитывая это, из (8.4) находим:σχχχχ.8.5Полное сечение рассеяния, σ, можно получить либо интегрированием (8.4) поуглу рассеяния χ в пределах от 0до , либо интегрированием 8.5по всему телесному углу.~χR ~ AϕϕρO□ Поскольку в данном случае уголпадениячастицравенуглуотражения, траектория каждойРис.

8.261  Задача8.1.Найдитедифференциальноеиполноесечения рассеяния частиц отповерхности абсолютно твердогошара радиуса .частицы будет состоять из двух прямых, расположенных симметричноотносительно радиуса, проведенного в точку столкновения частицы с шаром.Схематично процесс рассеяния показан на рис. 8.2. Из рисунка видно, что.Пользуясь равенством (8.1), перепишем выражение дляχχ22в виде:.Подставляя это выражение в (8.5), найдем:σ.4Для нахождения полного сечения рассеяния проинтегрируемвсему телесному углу , получим:σσ по.4Отсюда виден геометрический смысл найденного полного сечениярассеяния: для того, чтобы частица могла вообще рассеяться ей необходимопопасть в площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр ирасположенной перпендикулярно скорости частицы.

■Задача 8.2. Найдите дифференциальное сечение рассеяния частиц в полеαα0 .□ Формула (8.2) принимает вид:2α.8.6Вычислив интеграл (8.6), найдем:2α.2α62  8.7Значениеищем из условия (8.3):2α10,откуда2αПодставляяв (8.7), имеем:2α2Выражая отсюда.через.χи учитывая, что2αχ2 χχ2, получаем:.8.8Дифференцирование этого выражения по χ дает:χχ2α2 χ.χ8.9Дифференциальное сечение рассеяния получим, подставив (8.8) и (8.9)в формулу (8.5):σ2αχχ 2χχ.■При движении в центральном поле (см. § 7) наличие центробежнойэнергии, обращающейся при →0 в бесконечность, как 1 ,2приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц кцентру поля.

“Падение” частицы в центр поля возможно лишь при условии,что→∞ либо какαс α63  2 , либо пропорционально1c2. Полное сечение захвата или “падения” в центр поляопределяется как отношение числа всех частиц данного пучка, захваченныхза единицу времени, к плотности потока этого пучка до рассеяния.Задача 8.3. Определите полное сечения захвата частиц в центр поляα, α0.□ Чтобы частица достигла центра поля необходимо выполнение условияα, данное условие можно переписать в2 .

Учитывая, чтовиде 2α. Отсюда видно, что захватываются полем частицы, укоторых прицельное расстояние2α.Поэтому искомое сечение захвата2πασ.■Задача 8.4. Определите полное сечение захвата в центр поляαβα,0, β0.□ На рис. 8.3 схематично представлены зависимости “эффективной”потенциальной энергииα2для случаев2β (а) иВидно, что в случае22β8.10β (б).β частицы не могут попасть в центрполя, при любой энергии падающих частиц возможно лишь их рассеяние.64  Для случаяβ найдем максимальное значение “эффективной”2потенциальной энергии.

Из равенстваαβ02определяем координату максимума функции (8.10):2βααПодставляя.в (8.10), получаем:α4βЗдесь учтено, что.2.UeffUeffEmaxUeffE00r0rrбаРис. 8.3.Очевидно, что “падают” в центр те частицы, у которыхМаксимальное значение прицельного расстоянияилиα4βгде учтено, чтоα4β2,8.112. Из (8.11) находим, чтоβ65  4находится из условияα4.8.12Полное сечение захватаσπβα4.■Задачи для самостоятельного решения41.