П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 11

Каноническое преобразование, порождаемоеэтой функцией, будет иметь вид:,,0,15.2гдеиграют роль новых координат. Новая функция Гамильтона0,поскольку функция действия удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби.Учитывая, что0, уравнения Гамильтона для новых переменныхизапишутся следующим образом:0,Отсюда следует, чтосоотношений (см. (15.2))и0..Следовательно, из15.3можно найти координаты системы как функции времени и 2 произвольныхпостоянныхи .111  Таким образом, чтобы найти закон движения механической системыметодом Гамильтона-Якоби надо:1) найти функцию Гамильтона системы;2) с помощью найденной функции Гамильтона записать уравнениеГамильтона-Якоби (15.1);3) найти полный интеграл (с точностью до аддитивной константы) этогоуравнения,содержащийпроизвольные, ,…, , , , ,…,постоянные , , … , в числе, равном числу степеней свободы системы;4)продифференцироватьнайденнуювпункте3)функциюпо произвольным постоянным, ,…, , , , ,…,и приравнятьрезультаты дифференцирования новым произвольным постоянным, т.е.записать соотношения (15.3);5) из соотношений (15.3) найти координаты системы как функции времени и2 произвольных постоянных.Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в ряде случаев удаетсянайти методом разделения переменных.

Пусть координатаивходят в уравнение Гамильтона-соответствующая ей производнаяЯкоби в виде некоторой комбинации,,не содержащей в явном виде других переменных (в неявном виде в функциювходят все переменные). При этом уравнение Гамильтона-Якоби можносхематично записать, как,…,,,…,,,…,,…,,,,0.Решение данного уравнения будем искать в виде,,…,,112  ,…,,.15.4Подставляя это решение в уравнение (15.4), получаем:,…,,,…,,,…,,…,,,,0.В этом уравнении переменная15.5,входит только в функцию,котораяниявно,нинеявнонесодержитпеременные, ,…,,, … , . Поэтому при изменениибудет меняться толькофункция . А поскольку уравнение (15.5) должно выполняться при любомзначении , то функция может быть равна только некоторой константе,т.е.,.15.6При этом уравнение (15.5) принимает вид:,…,,,…,,,…,,…,,,0.15.7Уравнение (15.6) является уже обыкновенным дифференциальнымуравнением, которое может быть решено в квадратурах, а уравнение (15.7)содержит на одну независимую переменную меньше по сравнению сисходным уравнением (15.4).

Если таким способом можно последовательноотделить всекоординат и время, то нахождение полного интегралауравнения Гамильтона-Якоби целиком сводится к квадратурам.Частным случаем разделения является случай циклическойкоординаты. Циклическая координата не входит в явном виде в функциюГамильтона и, следовательно, в уравнение Гамильтона-Якоби. В этом случае,,и уравнение (15.6) запишется в виде.113  Отсюдаи функция,,…,,,…,,.Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то в роли“циклической координаты” выступает переменная .

При этом зависимостьдействия от времени сводится к слагаемому(выбор знака “-”обусловлен тем, что константав этом случае является обобщеннойэнергией системы).Задача 15.1. Пользуясь определением, найдите действиедвижущейся в отсутствие поля и проходящей через точки.частицы,и□ По определению, ,С помощью уравнения движения2.15.80 находим, что.Подставляя это значение в (15.8), получаем:22.■Задача 15.2. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и закондвижения свободной частицы массы , движущейся вдоль одной прямой.□ Направим ось вдоль прямой, по которой движется точка. Для свободнойчастицы функция Гамильтона2114  ,а уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид:120.Поскольку функция не зависит явно от времени, решение уравненияГамильтон-Якоби будем искать в виде,15.9,а- некоторая функция координаты, которая не зависитгдеот времени явно.

Для нахождения функцииподставим решение в виде(15.9) в уравнение Гамильтона-Якоби. Получим:120,откуда± 2,и, следовательно,± 2,гдеесть произвольная постоянная. Далее для определенности оставимперед радикалом знак “+”. Как будет видно из закона движения выбор знака“+” или “-” определяется начальными условиями – начальной координатой инаправлением начальной скорости. Подставляя в (15.9), находим:2.Здесь опущена аддитивная постоянная .

Теперь запишем уравнение (15.3):2Вводя обозначения2,,.2, получаем закон движенияточки:.115  Видим, чтоимпульса. ■играет роль начальной координаты, а- начальногоЗадача 15.3. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби,траекторию и закон движения материальной точки массы в поле тяжести.□ Направим осьвертикально вверх. Тогда функция Гамильтона,2а уравнение Гамильтона-Якоби:120.Отсюда видно, что координаты и являются циклическими.

В этом случаезависимость действия от переменных и сводится к слагаемыми( ,). Поскольку функция Гамильтона также не зависит явно отвремени, то полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби будем искать ввиде,.15.10Подставляя (15.10) в уравнение Гамильтона-Якоби, имеем:120,откуда±221322,и, следовательно, с точностью до аддитивной постоянной132Подставляя эту функцию в уравнения (15.3), находим:116  2.1где, ,видно, что2222,15.1222,15.13,15.11- произвольные постоянные.

Из уравнений (15.12) и (15.13).Это означает, что траектории точки лежит в плоскости, параллельной оси .Если совместить с этой плоскостью плоскость , то0. Тогда следуетположить0. При этом из (15.12) получим уравнение параболы с осью,параллельной оси , а именно2Уравнение (15.11) определяет функциюуравнения имеем:2. Положив2т.е. координата.2изменяется пропорционально, из этого,.

■Задача 15.4. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби,траекторию и закон движения частицы массыи зарядав полеэлектрического диполя.□ Функция Лагранжа для заряда, находящегося в электрическом поле диполя,найдена в задаче 4.5 и равна,2где – дипольный момент, а , , - сферические координаты (полярная осьнаправлена вдоль диполя, а начало отсчета совмещено с диполем).

Спомощью функции Лагранжа найдем обобщенные импульсы:117  ,,,и затем функцию Гамильтона12.Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид:12110.Замечая, что функция Гамильтона не зависит явно от времени и координаты, ищем полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в виде,Подставляя,.в уравнение Гамильтона-Якоби, имеем:1210.15.14Представим функцию в виде суммы функции, зависящей только от , ифункции, зависящей только от , т.е.,.Подставим данное представление функции в уравнение (15.14), умножимобе части уравнения на 2и перенесем все члены, зависящие от , вправую часть.

В результате, находим:22.15.15Правая часть уравнения (15.15) является функцией только переменной , алевая – только . Поэтому равенство (15.15) может выполняться только приусловии, что левая и правая части равны одной и той же постоянной.Обозначив эту постоянную посредством, получаем два уравнения:,2118  2θ.Из этих уравнений следует, что,22.Тогда функция действия22.Пользуясь найденным полным интегралом, составим уравнения (15.3):,2,212212.2Два последних равенства задают в квадратурах траекторию заряда и вместе спервым определяют закон движения.

■Задачи для самостоятельного решения78. Пользуясь определением, найдите действие одномерного гармоническогоосциллятора, проходящего через точкии.79. Запишите уравнение Гамильтона-Якоби для точки в а) прямоугольной, б)цилиндрической, в) сферической системах координат.119  80.

Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для тела,движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α сгоризонтом.81. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби дляматематического маятника и закон его движения в квадратуре. Длинаматематического маятника , а масса .82.

Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и закондвижения одномерного гармонического осциллятора.83. Найдите в цилиндрических координатах полный интеграл уравненияГамильтона-Якоби, закон движения и траекторию частицы, движущейся впостоянном однородном магнитном поле напряженности .§ 16. Адиабатические инварианты. Переменные действие­угол Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерноефинитное движение.

Пусть данная система характеризуется каким-топараметром , определяющим свойства самой системы или внешнего поля, вкотором она находится. Предположим, что параметрмало меняется завремя периода движения системы, т.е..Энергия такой системы, вообще говоря, не сохраняется. Но в силумедленности изменения существует такая комбинацияи , которая всреднем остается неизменной при движении системы. Эта величина,называемая адиабатическим инвариантом ( ), может быть вычислена поформуле:12.16.1В (16.1) интеграл берется по полному изменению обобщенной координатыза время периода при заданных и .Задача 16.1. Частица массы движется в прямоугольной потенциальной ямеширины . Найдите, как изменяется энергия частицы при медленномизменении .120  □ Обобщенный импульс частицы√2,где - полная энергия частицы при фиксированном значении .

С помощьюформулы 16.1 находим:12√21√2√2.Отсюда следует, что.■Интегралу (16.1) может быть приписан наглядный геометрическийсмысл, если воспользоваться понятием о фазовом пространстве. В случаесистемы с одной степенью свободы, под фазовым пространством понимаетсядвухмерное пространство c введенной декартовой системой координат, поосям которой отложены значения обобщенной координаты и обобщенногоимпульса .