П.А. Форш - Задачи по теоретической механике для химиков, страница 12

Каждая точка этого пространства отвечает определенномусостоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точкаописывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемуюфазовой траекторией. Если система совершает колебательное движение, тоее фазовая траектория представляет собой замкнутую кривую в фазовойплоскости , . Интеграл (16.1), взятый вдоль этой кривой, есть заключеннаявнутри нее площадь.Задача 16.2. Определите изменение амплитуды линейных колебанийматематического маятника при медленном изменении длины его подвеса.□ Функция Гамильтона математического маятника,22.Фазовая траектория определяется законом сохранения энергии,,с учетом которого (16.2) можно переписать в виде121  16.21.2216.3Уравнение (16.3) представляет собой уравнение эллипса с полуосями √2и2.

Площадь эллипса есть 2, откуда.Частота16.4изменяется при изменении длины подвеса маятника .есть амплитуда колебаний маятника при частоте . Тогда полнуюПустьэнергию маятника, предполагая колебания малыми, можно записать в виде.2С учетом написанных выражений дляииз (16.4) получаем:/.■С помощью величины можно дать новую формулировку уравнениямдвижения системы (с постоянными параметрами), совершающейпериодическое движение, в частности, получить частоты, характеризующиеэто движение. Пусть механическая система с одной степенью свободысовершает финитное движение, а ее функция Гамильтона не зависит явно отвремени. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (15.1) для даннойсистемы можно представить в виде,.16.5В (16.5) константаиграет роль полной энергии системы, а,называется укороченным действием и, как можно убедиться прямойподстановкой (16.5) в уравнение Гамильтона-Якоби, удовлетворяетуравнению,,122  .16.6Укороченное действие определяется при заданной энергии системы.Поскольку адиабатический инвариант I системы с постоянными параметрамиявляется функцией одной только энергии, то укороченное действиеможнопредставить в виде функции, зависящей от и I.

Используем укороченноедействие, в качестве производящей функции, зависящей от старойкоординатыи нового импульса I. Каноническое преобразование,задаваемое функцией, , определяется равенствами:,,,,16.7гдестарый импульс, аиграет роль новой координаты. Величину Iназывают переменной действие, а- угловой переменной. Новая функцияГамильтона,.Уравнения Гамильтона в переменных действие-угол будут иметь вид:,0,откуда следует, что.,Можно показать, что величина16.8является частотой периодического движения системы.Задача 16.3. Найдите переменные действие-угол и частоту вращениясвободного твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции телаотносительно оси вращения равен .□ Кинетическая энергия твердого тела12гдеугол поворота тела, а потенциальная энергия123  ,0.

Функция Лагранжа12,откуда обобщенный импульс,и, следовательно, функция Гамильтона.216.9Уравнение (16.6) принимает вид:.2Отсюда, считая0, находим:2.16.10Тогда переменная действие22122.16.11Функция,,откуда по формуле (16.7) переменная угол,.Сравнивая (16.10) и (16.11) видим, чтоимеем:2Частотуопределяем по формуле (16.8):.124  . С учетом этого из (16.9).Пусть теперь имеется механическая система с степенями свободы(по-прежнему предполагается, что система совершает финитное (по всемкоординатам) движение).

Будем и далее полагать, что функция Гамильтонане зависит от времени и ограничимся случаем, когда переменные вуравнении (16.6) разделяются, т.е.,,,…,,.,(1,2, … ,фазовогоВ этом случае движения в плоскостяхпространства независимы и каждое из них можно исследовать также, как этобыло сделано ранее в случае одной степени свободы. При этом переменныедействия1212,1,2, … , ,где интеграл берется по полному циклу периодического движения. Принимаявеличины , , … , за новые импульсы, можно укороченное действие (16.8)записать в виде функции,,…,, , ,…,.Соотношения,1,2, … ,в неявном виде задают каноническое преобразование от переменныхпеременным действие-угол , . Частоты движения, ,…,где, ,…,,1,2, … , ,16.12,к16.13- новая функция Гамильтона.Задача 16.4.

Найдите адиабатические инварианты и частоты финитногодвижения двух тел с приведенной массой и энергией взаимодействия,125  0.□ Функция Гамильтона двух точек относительно их центра масс12,где и- обобщенные импульсы по координатам и полярной системыкоординат, соответственно. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченногодействия в данном случае запишется как121.2Его решение представим в виде (учитывая, чтокоордината):,где посредством(16.14), имеем:|,- циклическая16.15обозначена еще одна константа. Подставляя (16.15) в2 |где |,16.14|2,16.16в силу финитности движения.

Отсюда2 ||2.Обобщенный импульс.Из последнего соотношения видно, что постояннаяесть момент импульсаприведенной массы , который должен сохраняться (см. § 7) при движении вцентральном поле.Адиабатические инварианты (переменные действия)12126  ,12.22В силу очевидной периодичности движения первый интеграл можнопредставить в виде удвоенного интеграла отдо, т.е.1Значенияи2|2 |.16.17определяются из уравнения (7.6):,2||42 ||2||42 ||.С учетом этого интеграл (16.17) будет равен:2|2|||.Отсюда|Частоты,|,2.вычисляем по формуле (16.13):,,.Задачи для самостоятельного решения84.

Шарик, находящийся в лифте, подскакивает над упругой плитой. Какизменяется максимальная высота подъема шарика , если плита медленноподнимается?127  85. Частица движется внутри упругого параллелепипеда. Как изменяетсяэнергия частицы, если размеры параллелепипеда медленно изменяются?86. Частица движется внутри сферы с упругими стенками, радиусмедленно изменяется. Как изменяется при этом энергия частицы?которой87. Найдите адиабатические инварианты и частоты колебаний неизотропногопространственного осциллятора, функция Гамильтона которого1212,,.128  ,Ответы ..1.cos,2.,,;– напряженности электрического и магнитного полей соответственно,– ускорение свободного падения,.ω,ωω,ω;ωωωωωωω42ω,5...

а...9..1..3.;,∞.9.10.2...2;20.22129  ,., б2ω,ось z направлена вдоль.ω,ωω,ω,ω,ωωωω,скорость света.ωωω0.;0,0..;2.;2ось0.0;направлена вертикально вниз..;20;0 и вниз приточка подвеса маятника движется вверх при.;2.ω20.0;ωω;ω0..12;В случае, если массы и коэффициенты трения грузов различны и равны,и,для 1-го и 2-го грузов, соответственно, функциюЛагранжа можно записать при условии...2;0,0..2130  0,μ. аμб.;2.2,; ось.направлена по горизонтали.,,;.. а), в случае электрического диполя ось направлена вдоль диполя(вдоль дипольного момента ), в случае магнитного диполя осьнаправлена вдоль вектора μ; б) ,,, плоскость xy совмещена сбесконечной плоскостью; в) ,, (ось является осью цилиндра)...,2,,2,....21,;| || |22.2| |,;22| |.,1| |,знак "+" ("-") берется при12.131  ,2.21;.,..00 ;..21.;2ωω;ω.21,,.2.,2;22.,.2,,2ωω,ωω;ω,,.,,.122,,- расстояние от -го электрона до ядра.здесь - заряд электрона, аНачало отсчета выбрано в центре инерции атома.μ.μ.μ;22,σ4χ2;,χ.,.2132  0,σα2.χ .2.

σ. ω2,ωcos ωδcos ωδ ,cos ωδcos ωδ ,,2ω;2δ,. ω. ω;cos ωcos ω.;2;α.42β22, ω,. σ.2.. ωα2,,δ ,δδcos ω.cos ωδ ;,δ ,δ.,.æδ ,2,,44ω,,2..23,2,23133  2;центр инерции лежит на высоте треугольника на расстоянии3 отоснования.1μ3.1μ3,3μ20.14μ.4μ1693μ10,1μ3;ось конуса.μ,12,43.μ,2132;9– ось, перпендикулярная плоскости разреза полуцилиндра,– ось,направленная вдоль полуцилиндра параллельно плоскости разреза..вр22μ.,μ22,координата центра масс,- эйлеровы углы..,μ,.,,,,,,,;ось направлена вдоль вектора момента импульса. a ω. ω89161;;, б ω24π329при →0, ω...6..,,,ср.

с задачей 51 .,.;12,,,,, , ,134  ..312μ.,2μгде , ,- координаты центра инерции стержня; ,..12.0,2.ω.,0,ωω,ω12б12,.(преобразование Галилея).0.;2ω√2 ω.0,, ,135 ω2, ,12,ωω. а;.2ω.2λ,,2,,,.,,..,ω1,.;.,. - углы Эйлера.0,ω.12в1, ,2 √2.;3√.22;2.21ρ2.,.,sin ω,0.,12.1; ω,,.ось направлена вдоль22;,22ρ2,22.2Из выражений для2и136  :..~..;2, ,,, , – длины ребер параллелепипеда....,2,2,,;137  ,2,,.Приложение Криволинейные системы координат  Положение точкив пространстве можно определить ее радиусомвектором , отсчитываемым от некоторой фиксированной точки .

Радиусвектор в пространстве трех измерений определяется тремя числами , , .В отличие от самого радиуса-вектора числа, ,зависят отустанавливаемого способа их определения, т.е. от принятой системыкоординат. Например, если эти три числа определять как расстояния, ссоответствующими знаками, до трех взаимно перпендикулярных плоскостей,,,, то говорят опроходящих через точку , положивпрямоугольной декартовой системе координат.Очевидно, если зафиксировать одну из величиннапример(1,2,3 ,,и, то полученные точки будути изменять непрерывно две другиепринадлежать некоторому семейству поверхностей. Таким же образом,уравнения(и- переменные) и(ипеременные) определяют, соответственно, еще два других семействаповерхностей.

Если поверхности таковы, что через каждую точкупространства проходит одна и только одна поверхность каждого семейства,то положение точки однозначно определяется пересечением этих трехповерхностей. Они носят название координатных поверхностей, а величины, , криволинейных (обобщенных) координат точки .Пересечение двух координатных поверхностей дает линию. Очевидно,что на этой линии значения двух координат постоянны, а третья меняется.Эти линии изменения одной из координат называются координатнымилиниями.